人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试1(含解析)

人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试1（含解析）
综合考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人
一、单选题(共10题；共40分)
得分
1．（4分）（2018七下·桐梓月考）若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA＝
5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点P到直线l的距离 ( )
A．等于3 cm B．大于3 cm而小于4 cm ；
C．不大于3 cm D．小于3 cm
2．（4分）点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA=5cm，PB=6cm，PC=3cm，则点P到直线m的距离为（ ）
A．小于3cm B．5cm C．3cm D．不大于3cm 3．（4分）（2023七下·定兴期末）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释
4．（4分）（2021·裕华模拟）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB ＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为（ ）
A．4米B．5米C．6米D．7米
⊥，垂足为点O．若5．（4分）（2023七下·遵义月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE CD
∠BOE=50°，则∠AOC= （ ）
A．140°B．50°C．60°D．40°
6．（4分）（2021七下·舞阳期末）如图， AB/¿CD ， EF⊥AB 于点 E ， EF 交 CD 于点 F ， EM 交 CD 于点 M ，已知 ∠1=55° ，则 ∠2=¿ （ ）
A．55°B．35°C．125°D．45°
7．（4分）（2019七下·巴南期中）若点 P 为直线 l 外一定点，点 A 为直线 l 上一定点，且
P A=2 ，点 P 到直线 l 的距离为 d ，则 d 的取值范围为（ ）
A．0<d<2B．d=2 或 d>2
C．0<d<2 或 d=0D．0<d<2 或 d=2
8．（4分）（2020八上·禹州期中）如图，四边形 ABCD 中， ∠A=90° ， AD=3 ，连接 BD ，BD⊥CD ，垂足是D且 ∠ADB=∠C ，点P是边 BC 上的一动点，则 DP 的最小值是（　
　）
A ．3
B ．2
C ．1.5
D ．1
9．（4分）（2022七下·赵县月考）在如下所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（ ）①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
10．（4分）如图，PO OR ⊥，OQ PR ⊥，则点O 到PR 所在直线的距离是线段 的长．（ ）
A ．PO
B ．RO
C ．OQ
D ．PQ
阅卷人
二、填空题(共8题；共32分)
得分
11．（4分）（2018七下·龙岩期中）如图，为了把河中的水引到 C 处，可过点 C 作 CD ⊥AB 于D ，然后沿 CD 开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是 ．
12．（4分）如果两条直线相交成 ，那么这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线．互相垂直的两条直线的交点叫做 ．
13．（4分）（2021七下·宣汉期末）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD. ⊥若∠1= 40°，则∠BOE 的大小是 .
14．（4分）如图，AO OC ⊥，DO OB ⊥，∠AOD=61°，则∠BOC= °．
15．（4分）（2023七下·永吉期末）如图，在△ABC 中，D 为线段BC 上一动点，当∠ADB =90°时，在线段AB ，AC ，AD 中，线段AD 最短，理由是 ．
16．（4分）（2019八下·诸暨期中）如图，在Rt ABC △中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P 为BC 边上一动点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，连结EF ，点M 为EF 的中点，则AM 的最小值为 ．　
17．（4分）（2021九上·秦都月考）如图，点P 是 Rt △ABC 中斜边 AC （不与A ，C 重合）上一动点，分别作 PM ⊥AB 点M ，作 PN ⊥BC 于点N ，点O 是 MN 的中点，若 AB =6 ，BC =8 ，当点P 在 AC 上运动时，则 BO 的最小值是 .
18．（4分）（2023九下·大冶月考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝7√3，点P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，将线段AP 绕着点A 逆时针旋转60°得到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为 .
第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释
阅卷人
三、解答题(共4题；共36分)
得分
19．（9分）如图所示，已知AO BC ⊥于O ，DO OE ⊥，∠1=65°，求∠2的度数．
20．（9分）（2021七下·黄陂期中）在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）如图，在三角形ABC 中，已知∠ADE ＝∠B.1∠＝∠2，FG AB ⊥于点G ，求证：CD AB.⊥
证明：∵∠ADE ＝∠B （已知），
∴DE ∥　▲　（ ），
∴∠1＝　▲　（ ），
又∵∠1＝∠2（已知），∴　▲　＝　▲　（等量代换），
∴CD ∥　▲　（ ）.
∵FG AB ⊥（已知），
∴∠FGB ＝90°（垂直的定义），
即∠CDB ＝∠FGB ＝90°，
∴CD AB ⊥（垂直的定义）.
21．（9分）如图所示，直线AB 与CD 交于点O ，MO AB ⊥，垂足为O ，ON 平分∠AOD ．若∠COM=50°，求∠AON 的度数．
22．（9分）（2022七下·静安期中）如图，已知∠ED B +B= 180°∠，∠1=2∠，GF AB ⊥，请填写CD AB ⊥的理由
解：因为∠ED B +B= 180°∠（ ）所以 ▲ ∥ ▲ （）
所以∠1=3∠（ ）因为 ▲ = ▲ （ 已 知 ）
所以∠2=3∠（ 等量代换 ）所以 ▲ ∥ ▲ （）
所以∠FGB=CDB ∠（ ）
因为GF AB ⊥（已 知 ）
所以∠FGB=90° （ ）
所以∠CDB =90°（ ）
所以CD AB ⊥（ 垂直的意义 ）
阅卷人
四、综合题(共3题；共42分)
得分
23．（14分）（2016八上·高邮期末）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD BC ⊥，CE AB ⊥，AE=CE ．求证：
（1）（7分）△AEF CEB ≌△；
（2）（7分）AF=2CD ．
24．（14分）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，射线OF ，OD 分别是∠AOE ，∠BOE 的角平分线．
（1）（3分）请写出∠EOF 的所有余角： ；
（2）（3分）请写出∠DOE 的所有补角： ；
（3）（4分）若∠AOC= 16 FOB ∠，求∠COE 的度数；
（4）（4分）试问射线OD 与OF 之间有什么特殊的位置关系？为什么？
25．（14分）（2021九上·朝阳期末）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P 给出如下定义：Q 为图形M 上任意一点，若P ，Q 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P 为图形M 的“二分点”．
已知点N （3，0），A （1，0），B (0，√3)，C (√3，−1)．
（1）（8分）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）（6分）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的定义，点P到直线L的距离即为点P到直线L的垂线段的长度，垂线段的长度不能超过PC的长．
故答案为：C．
【分析】因为直线外一点到直线的距离，垂线段最短，所以PC的长不会大于3.
2．【答案】D
【解析】【分析】点P到直线m的距离即为点P到直线m的垂线段的长度，是点P到直线m上各点的连线段中，长度最小的线段．
【解答】由图可知，PC长度为3cm，是最小的，
则点P到直线m的距离小于或等于3cm，即不大于3cm．
故选D．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：现象1：可用“垂线段最短”进行解释；
现象2：可用“两点之间，线段最短”进行解释；
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短解释现象1，根据两点之间，线段最短解释现象2.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DE，
∵AB＝5米，AC＝7米，
∴根据垂线段最短得出AM＜AB=5，
故答案为：A
【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短即可得到结论。

5．【答案】D
⊥，
【解析】【解答】解：∵OE CD
∠，
∴DOE=90°
∠∠∠，
∴BOD=DOE-BOE=90°-50°=40°
∴AOC=BOD=40°.
∠∠故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠DOE=90°，根据∠BOD=DOE-BOE ∠∠，代入计算求出∠BOD 的度数；然后根据对顶角相等，可求出∠AOC 的度数.
6．【答案】B
【解析】【解答】∵AB /¿CD ， EF ⊥AB ，
∴EF CD ⊥，
∴∠MFE=90°，
∵∠1=EMF=55°∠，
∴∠2=180°-90°-55°=35°，
故答案为：B.
【分析】利用已知AB CD ∥，EF AB ⊥，可证得EF CD ⊥，利用垂直的定义可证得∠MFE-90°，再利用三角形的内角和定理求出∠2的度数.
7．【答案】D
【解析】【解答】由垂线段最短可知：0<d 2⩽，
当d=2时
此时PA l
⊥故答案为：D.
【分析】利用垂线段最短的性质可得答案。

8．【答案】A
【解析】【解答】解：过点D 作DE BC ⊥于E ，则DE 即为DP 的最小值，
∵∠BAD =∠BDC =90° ， ∠ADB =∠C ，
∴∠ABD =∠CBD ，
又∵DA AB ⊥，DE BC ⊥， AD =3 ，
∴DE=AD=3 ，
故答案为：A.
⊥于E，则DE即为DP的最小值，由三角形内角和定理可得
【分析】过点D作DE BC
∠，然后结合角平分线的性质进行解答.
∠ABD=CBD
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵因为两直线相交所成的四个角都是直角，即四个角都是90°，
∴所以两条直线互相垂直．
∴①结论符合题意．
∵两直线相交，对顶角互补，（对顶角相等）
∴两条直线相交所成的对顶角是180°
=90°．
2
∴所以两条直线互相垂直．
∴②结论符合题意．
∵两直线相交所成的四个角都相等，
∴四个角都是360°
=90°．
4
∴所以两条直线互相垂直．
∴③结论符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用垂直的判定方法逐项判断即可。

10．【答案】C
⊥，
【解析】【解答】解：∵OQ PR
∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长．
故选C．
【分析】根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离，结合图形判断即可．
11．【答案】垂线段最短
⊥于D，然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，根据垂线段最短．【解析】【解答】过C点引CD AB
故答案为垂线段最短
【分析】根据垂线段最短进行分析即可.
12．【答案】直角；垂足
【解析】【解答】解：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另
一条直线的垂线．
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足．
故答案为：直角，垂足．
【分析】根据垂线的定义分别回答即可．
13．【答案】130°
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠BOD =∠1=40°，
∵ OE CD ⊥，
∴∠DOE =90°，
∴∠BOE =∠DOE +∠BOD =130°.
故答案为：130°.
【分析】根据对顶角的性质求出∠BOD 的大小，根据垂直的定义得到∠DOE 的度数，然后根据角的和差求∠BOE 大小即可.
14．【答案】61
【解析】【解答】解：∵AO OC ⊥，DO OB ⊥，
∴∠AOD+COD=90°∠，
∠BOC+COD=90°∠，
∴∠AOD=BOC ∠，
∵∠AOD=61°，
∴∠BOC=61°．
故答案为：61．
【分析】根据垂线的定义求出∠AOD=BOC ∠，代入数据即可得解．
15．【答案】垂线段最短
【解析】【解答】解：由题意得当∠ADB =90°时，AD CB ⊥，
∴理由是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短
【分析】根据垂线段最短结合题意即可求解。

16．【答案】6
5
【解析】【解答】∵四边形AEPF 是矩形，
∴EF ，AP 互相平分．且EF=AP ，
∴EF ，AP 的交点就是M 点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP BC
⊥时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵1
2AP．BC=
1
2 AB．AC，
∴AP．BC=AB．AC．
∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°，
∴在Rt ABC
△中，由勾股定理，得BC= √32+42 =5，∴5AP=3×4
∴AP= 12 5 .
∴AM= 6 5 .
故答案为 6 5
【分析】根据矩形的性质就可以得出，EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质可以得出AP BC
⊥时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
17．【答案】12 5
【解析】【解答】解：∵PM⊥AB ， PN⊥BC ， ∴∠PMB=∠PNB=90° ，
∵∠ABC=90° ，
∴四边形MBNP是矩形，
∵AB=6 ， BC=8 ，
∴AC=√A B2+B C2=10 ，
∵点O是 MN 的中点，
∴BO=1
2
MN ，
连接BP，如图所示：
∴MN=BP，OB=OP=OM=ON ，
∴点B、O、P三点共线，
要使 BO 的值为最小，则需满足BP的值最小，∴当BP AC
⊥时，BO有最小值，如图所示：
∵S△ABC=1
2
AC⋅BP=
1
2
AB⋅BC ，
∴BP=AB⋅BC
AC
=24
5 ，
∴BO=1
2
BP=
12
5 ，
∴BO 的最小值是 12
5 ；
故答案为 12 5.
【分析】先证明四边形MBNP是矩形，根据勾股定理求出AC，连接BP，根据矩形的性质得出点
B、O、P三点共线，从而把BO长度转化为求MN的长度，然后根据垂线段最短，可知当BP AC
⊥时，BO有最小值，在△ABC中，利用等积法求出BP，即可解答.
18．【答案】7 2
【解析】【解答】解：如图，以AB为边作等边△ABE，过点D作DH QE
⊥于H，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∵将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴∠BAP=EAQ
∠，
在△ABP和△AEQ中，{AB=AE
∠BAP=∠EAQ
AP=AQ
，
∴△ABP AEQ
≌△（SAS），
∴∠AEQ=ABP=90°
∠，
∴点Q在射线EQ上运动，
当Q与H重合时，DQ最小，
在Rt AEF
△中，∠EAF=30°，
∴EF=√3
3
AE=
7√3
3，
∴AF=2EF=14√3 3，
∴DF=AD-AF=7√3-14√3
3
=
7√3
3，
∴DH=√3
2
DF=
√3
2
×
7√3
3
=
7
2，
∴DQ的最小值为7 2，
故答案为：7 2.
【分析】以AB为边作等边△ABE，过点D作DH QE
⊥于H，则AB=AE，∠BAE=60°，由旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，则∠BAP=EAQ
∠，利用SAS证明△ABP AEQ
≌△，得到
∠AEQ=ABP=90°
∠，推出当Q与H重合时，DQ最小，根据三角函数的概念可得EF、AF，由
DF=AD-AF求出DF，进而可得DH，据此解答.
19．【答案】解：∵AO BC ⊥于O ，
∴∠AOC=90°，
又∠1=65°，
∴∠AOE=90°65°=25°﹣．
∵DO OE ⊥，
∴∠DOE=90°，
∴∠2=DOE AOE=90°25°=65°
∠∠﹣﹣【解析】【分析】由已知条件和观察图形可知∠1与∠AOE 互余，∠AOE 与∠2互余，利用这些关系可解此题．
20．【答案】解：∵∠ADE ＝∠B （已知），
∴DE BC ∥（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠DCB （两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠DCB ＝∠2（等量代换），
∴CD FG ∥（同位角相等，两直线平行）.
∵FG AB ⊥（已知），
∴∠FGB ＝90°（垂直的定义），
即∠CDB ＝∠FGB ＝90°，
∴CD AB ⊥（垂直的定义）.
故答案为：BC ；同位角相等，两直线平行；∠DCB ；两直线平行，内错角相等；∠DCB ；∠2；FG ；同位角相等，两直线平行.
【解析】【分析】利用同位角相等，两直线平行，可证得DE BC ∥，利用平行线的性质可证得∠1=DCF ∠；再证明CD FG ∥，利用平行线的性质及垂直的定义，可证得结论.
21．【答案】解：∵MO AB ⊥，
∴∠AOM=90°，
∵∠COM=50°，
∴∠AOD=180°90°50°=40°﹣﹣，
∵ON 平分∠AOD ，
∴∠AON= 12 AOD= ∠12 ×40°=20°
【解析】【分析】根据垂线的定义可得∠AOM=90°，然后根据平角等于180°求出∠AOD ，再根据角平分线的定义解答．
22．【答案】解：因为∠EDB+B=180°∠（已知）
所以DE BC ∥（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠1=3∠（两直线平行，内错角相等）
因为∠1=∠2（已知）
所以∠2=3∠（等量代换）
所以FG CD ∥（同位角相等，两直线平行）
所以∠FGB=CDB ∠（两直线平行，同位角相等）
因为GF AB ⊥（已知）
所以∠FGB=90°（垂直的意义）
所以∠CDB=90°（等量代换）
所以CD AB ⊥（垂直的意义）
【解析】【分析】利用同旁内角互补，内错角相等，判断直线平行，在利用平行线的性质证明角度为90°，说明两线垂直
23．【答案】（1）证明：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，∴∠BCE+CFD=90°∠，∠BCE+B=90°∠，∴∠CFD=B ∠，
∵∠CFD=AFE ∠，
∴∠AFE=B
∠在△AEF 与△CEB 中，{∠AFE =∠B
∠AEF =∠CEB AE =CE
，
∴△AEF CEB ≌△（AAS ）
（2）证明：∵AB=AC ，AD BC ⊥，∴BC=2CD ，∵△AEF CEB ≌△，
∴AF=BC ，
∴AF=2CD
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠BCE+CFD=90°∠，∠BCE+B=90°∠，根据同角的余角相等得出∠CFD=B ∠，然后由AAS 判断出△AEF CEB ≌△；
(2)等腰三角形的三线合一得出BC=2CD ，根据全等三角形的性质得出AF=BC ，从而得出AF=2CD 。

24．【答案】（1）∠EOD 、∠BOD 、∠AOC
（2）∠COE 、∠AOD
（3）解：设∠AOC=x°，则∠FOB=6x°，
∵∠BOD=AOC=x°∠，
又∵∠BOF BOD=FOD=90°﹣∠∠，
∴6x x=90﹣，
∴x=18
∴∠BOF=6x=108°，
∴∠AOF=180°108°=72°﹣．
∴∠COE=2AOF+AOC=2×72+18=162°
∠∠（4）解：射线OD 与OF 互相垂直．理由如下：
∵OF ，OD 分别是∠AOE ，∠BOE 的平分线，
∴∠DOF=DOE+EOF= ∠∠12 BOE+ ∠12 EOA= ∠12 （∠BOE+EOA ∠）= 12 ×180°=90°．
∴OD OF ⊥．
即射线OD 、OF 的位置关系是垂直
【解析】【分析】（1）根据互余的定义确定∠EOF 的余角；（2）根据互补的定义确定∠DOE 的补角；（3）先根据角平分线的定义得出∠FOD 的度数，再由∠AOC= 16
FOB ∠，设∠AOC=x°，则∠FOB=6x°然后根据∠FOD=90°，即可列方程求得x 的值，进而求解；（4）运用平角的定义和角平分线的定义，证明∠DOF 是90°，得直线OD 、OF 的位置关系．
25．【答案】（1）解：①B 和C ②若0<a ≤√3时，如图所示：
点C 到OD 的最小值为CD =√¿¿，最大值为OC =2，
∵点C 为线段OD 的“二分点”，
∴2√¿¿，
解得：a =√3；
若√3<a ≤2√3，如图所示：
点C到OD的最小值为1，最大值为OC=2，满足题意；若a>2√3时，如图所示：
点C到OD的最小值为1，最大值为CD=√¿¿，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴2=√¿¿，
解得：a=2√3（舍）；
若a<0时，如图所示：
点C到OD的最小值为OC=2，最大值为CD=√¿¿，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴4=√¿¿，
解得：a1=√3−√15或a2=√3+√15（舍），
综上所得：a的取值范围为√3≤a≤2√3或a=√3−√15；
（2）1
3
≤r<1或3<r≤9
【解析】【解答】解：（1）①
∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，
点B到ON的最小值为OB=√3，最大值为BN=√32+¿¿，
∴点B是线段ON的“二分点”，
点C到ON的最小值为1，最大值为OC=√¿¿，
∴点C是线段ON的“二分点”，
故答案为：B和C；
（2）
如图所示，设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)，当0<r<1时，最小值为：m−r，最大值为：m+r，
∴2(m−r)=m+r，即r=1
3 m，
∵1≤m≤3，
∴1
3
≤r≤1
∴1
3
≤r<1；
当1<r<3，m<r时，最小值为：r−m，最大值为：r+m，∴∴2(r−m)=r+m，即r=3m，
∵1≤m≤3，
∴3≤r≤9，
∵1<r<3，
∴r不存在；
当1<r<3，m>r时，最小值为：m−r，最大值为：m+r，
∴2(m−r)=m+r，即r=1
3 m，
∴1
3
≤r≤1，
∵1<r<3，
∴r不存在；
当r>3时，最小值为：r−m，最大值为：m+r，∴2(r−m)=m+r，即r=3m，
∴3≤r≤9，
∵r>3，
∴3<r≤9，
综上所述，r的取值范围为1
3
≤r<1或3<r≤9．
【分析】（1）①根据图示即可得出答案；②若0<a≤√3时，若a>2√3时，若a<0时，分三种情况讨论即可；
（2）当0<r<1时，当1<r<3，m<r时，当1<r<3，m>r时，当r>3时，由此即可得出r的取值范围。

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