初中数学知识点精讲精析 实数 (5)

6 实数
学习目标
1. 了解无理数和实数的概念及实数的分类。

2. 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

知识详解
1. 有理数和无理数统称实数。

2. 实数按正、负数来分类：
实数⎩⎪⎨⎪
⎧ 正实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数正无理数0
负实数⎩⎪⎨⎪⎧ 负有理数负无理数
3. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

4. 有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方。

5. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满。

6.在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以根据精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

在计算的中间过程，所取的近似值要比要求的精确度多取一位小数，计算出最后结果，再将最后结果按精确度取近似值。

【典型例题】
例1：下列各数中，是负数的是（ ）
A ．-2
B ．0
C ．0.3
D
【答案】A
【解析】根据小于0的数是负数即可判断。

例2：下列说法不正确的有 （只填序号）
①有理数，无理数统称实数
②任何实数的相反数都是非负数
③数轴上的点都表示有理数
⑤没有绝对值最小的实数
【答案】②③④⑤
【解析】①是实数的定义，正确；②正数的相反数是负数，故命题错误；③数轴上的点都表示实数，故命题错误；④没有最小的无理数，故命题错误；⑤绝对值最小的实数是0，故命题错误。

例3：和统称实数．
【答案】有理数和无理数
【解析】实数的定义：有理数和无理数统称实数。

【误区警示】
易错点1：有理数和无理数
1.现有下列说法：①有限小数一定是有理数；②无限小数一定是无理数；③无限不循环小数叫做无理数；④任何一个有理数的绝对值一定是正数；⑤若一个数的平方等于这个数的立方，则这个数是0，±1．其中正确说法的序号是
【答案】①③
【解析】∵有限小数一定是有理数，∴①正确；∵无限小数不循环小数是无理数，∴②错误；∵无限不循环小数叫做无理数，∴③正确；∵任何一个有理数的绝对值一定是正数和0，∴④错误；∵若一个数的平方等于这个数的立方，则这个数是0和1，∴⑤错误
易错点2：实数的分类
2. 3.14-π是．（填“有理数”或“无理数”）
【答案】无理数
【解析】根据实数的分类进行判断．
【综合提升】
针对训练
1. 实数3的倒数是（）
A．- 1 3
B．1 3
C．-3 D．3
2. 如图，数轴上A、B
5.1，则A、B两点之间表示整数的点共
有（）
A．6个B．5个C．4个D．3个
3. 如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）
A．a+b＜0
B．-a＜-b
C．1-2a＞1-2b
D．|a|-|b|＞0
1.【答案】B
【解析】∵3×1
3=1，∴3的倒数是
1
3
2.【答案】C
【解析】∵1
2，5＜5.1＜6，∴A、B两点之间表示整数的点有2，3，4，5，共有4
个
3.【答案】C
【解析】a、b两点在数轴上的位置可知：-2＜a＜-1，b＞2，∴a+b＞0，-a＜b，故A、B错误；∵a＜b，∴-2a＞-2b，∴1-2a＞1-2b，故C正确；∵|a|＜2，|b|＞2，∴|a|-|b|＜0，故D错误．
【中考链接】
（2014年武汉）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（）
A．﹣2
B． 0
C． 2
D． 3
【答案】A
【解析】﹣2＜0＜2＜3，最小的实数是﹣2。

课外拓展
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。

而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。

于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。

不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。