2020年高考文科数学大题篇立体几何提分分类解析(13页)

2020年高考文科数学大题篇立体几何提分分类解析

题型一平行、垂直关系的证明

【例】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

【证明】(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC.

∵AD⊂平面ABC，

∴AD⊥CC1.

又∵AD⊥DE，DE∩CC1＝E，DE，CC1⊂平面BCC1B1，

∴AD⊥平面BCC1B1.

∵AD⊂平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

∴A1F⊥B1C1.

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，

∴A1F⊥CC1.

又∵B1C1∩CC1＝C1，B1C1，CC1⊂平面BCC1B1，

∴A1F⊥平面BCC1B1.

又∵AD⊥平面BCC1B1，

∴A1F∥AD.

∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，

∴直线A1F∥平面ADE.

【思维升华】(1)平行问题的转化

利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．

(2)垂直问题的转化

在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．

【训练】】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD.

【证明】(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD，所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，

所以AB⊥AD.

又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面P AD，

又PD⊂平面P AD，

所以AB⊥PD.

又因为P A ⊥PD ，P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ， 所以PD ⊥平面P AB . 又PD ⊂平面PCD ， 所以平面P AB ⊥平面PCD .

(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .

因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝1

2

BC ，

因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝1

2BC .

所以DE ∥FG ，DE ＝FG .

所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG .

又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .

题型二 立体几何中的计算问题

【例】如图，在多面体ABCA 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，△A 1CB 是等边三角形，AC ＝AB ＝1，B 1C 1∥BC ，BC ＝2B 1C 1.

(1)求证：AB 1∥平面A 1C 1C ； (2)求多面体ABCA 1B 1C 1的体积．

(1)【证明】 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，B 1D ，C 1D ， ∵B 1C 1∥BC ，BC ＝2B 1C 1，

∴BD ∥B 1C 1，BD ＝B 1C 1，CD ∥B 1C 1，CD ＝B 1C 1，

∴四边形BDC 1B 1，CDB 1C 1是平行四边形， ∴C 1D ∥B 1B ，C 1D ＝B 1B ，CC 1∥B 1D ， 又B 1D ⊄平面A 1C 1C ，C 1C ⊂平面A 1C 1C ， ∴B 1D ∥平面A 1C 1C .

在正方形ABB 1A 1中，BB 1∥AA 1，BB 1＝AA 1， ∴C 1D ∥AA 1，C 1D ＝AA 1， ∴四边形ADC 1A 1为平行四边形， ∴AD ∥A 1C 1.

又AD ⊄平面A 1C 1C ，A 1C 1⊂平面A 1C 1C ， ∴AD ∥平面A 1C 1C ，

∵B 1D ∩AD ＝D ，B 1D ，AD ⊂平面ADB 1， ∴平面ADB 1∥平面A 1C 1C ，

又AB 1⊂平面ADB 1，∴AB 1∥平面A 1C 1C . (2)【解】 在正方形ABB 1A 1中，A 1B ＝2， ∵△A 1BC 是等边三角形，∴A 1C ＝BC ＝2，

∴AC 2＋AA 21＝A 1C 2，AB 2＋AC 2＝BC 2

，

∴AA 1⊥AC ，AC ⊥AB .

又AA 1⊥AB ，∴AA 1⊥平面ABC ， ∴AA 1⊥CD ，

易得CD ⊥AD ，又AD ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面ADC 1A 1.

易知多面体ABCA 1B 1C 1是由直三棱柱ABD －A 1B 1C 1和四棱锥C －ADC 1A 1组成的， 直三棱柱ABD －A 1B 1C 1的体积为12×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＝1

4， 四棱锥C －ADC 1A 1的体积为13×22×1×22＝1

6，

∴多面体ABCA 1B 1C 1的体积为14＋16＝5

12

.

【思维升华】 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．