一元二次方程根与系数的关系教学设计

《一元二次方程根与系数的关系》教学设计

【教学设计总意图】：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根与系数关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键. 所以从绝绝大部分同学掌握的知

识水准出发，针对本班学生的特点，本课在(a ≠0 , b 2

–4ac ≥0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.

教学目标：1、理解根系关系的推导过程；

2、掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法；

3、体会从特殊到一般，再由一般到特殊的推导思路 教学重点：应用根与系数关系解决问题； 教学难点：根系关系的推导过程

教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知， 教学过程： 一．引入新知

师：同学们，这节课老师想和大家玩个游戏，大家先随意说出两个实数，老师能够快速的说出以这两个数为根的一元二次方程，大家相信吗？

学生兴趣盎然，纷纷举手，老师一一回答，并让学生通过解方程验证老师说得对不对。 学生惊奇的发现老师的回答都是准确的，老师再问学生们原因从而引入新课学习。 【设计意图】创设一个情境，师生娱乐的同时激起学生的探究欲望和学习数学的兴趣. 二．推导新知

1．方程的两根，计算两根和与两根积的值，并猜想两根和、两根积与一元二次方程各项

【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系. 2． 学生独立证明：

x 1和x 2 是一元二次方程 ax 2 +bx +c =0 (a ≠0 , b 2

–4ac ≥0)

x 1+x 2 = - b a , x 1x 2 = c

a

注意：负号不能漏写

【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，能够最快速度说出x 1和x 2的值，接下来将字母系数表示的x 1和x 2的值代入相对应的代数式 x 1+x 2 和x 1x 2 得出根与系数关系的结论，凭借学生自己的现有水平能够解决证明过程.还能够让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀. 三．巩固新知

例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积

（1） x 2

– 3x +1 =0

（2） 3x 2

– 2x - 2=0

（3） 2x 2

–3x =0

（4） 3x 2

=1

【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆，设计例1可引导学生发现应用根系关系解决两根和与两根积的问题

不需求出复杂的两根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例2巩固知识奠定基础.

例2：已知：x 1和x 2 是一元二次方程x 2

-4x +1=0的2根, 求下列代数式的值

（1）1x 1 + 1x 2

（2）x 12 + x 22

（3）（x 1 - x 2）2

学生练习：（1）x 2x 1 + x 1

x 2

（2）（x 1+1）（x 2+1）

【设计意图】 本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根与系数关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法 . 四．应用新知

1．一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是( ) A.x 2-6x+8=0 B.x 2+2x-3=0 C.x 2-x-6=0 D.x 2+x-6=0

2．x 2-(m+6)x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是( ) A.-2或3 B.3 C.-2 D.-3或2

3．关于x 的一元二次方程x 2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x 1,x 2. (1)求m 的取值范围；

(2)若2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0，求m 的值.

【设计意图】通过几个典型的题目，进一步深化理解一元二次方程根与系数的关系，提高学生应用知识的能力。 五．课堂小结

通过本课的学习，你有什么收获和疑惑？

【设计意图】通过小结加深学生对知识的记忆，教师进一步提醒学生易错点。 六．课后作业

1．关于x 的方程x 2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a 的值是多少？ 2．一元二次方程mx 2-2mx+m-2=0. (1)若方程有两实数根，求m 的范围.

(2)设方程两实根为x 1,x 2，且|x 1-x 2|=1，求m.

【设计意图】通过课后作业巩固所学，加深学生对知识的理解。