21.1 二次根式(1)

该二次根式有意义。
1 (3)当 0且x 0, 即x 0时， x 该二次根式有意义。
（4）当 5 0且1 x 0, 即1-x 0, 1-x 所以，x 1时，该二次根式有意义。
含有分式，被开 方数为非负数且 分母不为0
4、下列各式中，是二次根式的是（ D 3 3 D. 5 C. a B . 2 A. 2 5.（2013鞍山）要使式子 范围是（ D ） A.x>0 B.x≥-2
2
）
2 x 有意义，则x的取值
C. x≥2
D.x≤2
1 6.已知： a 2 b 0, 求 4
【解】 由题意，得
a+2=0
1 0 4
b
a b 的值。 a 2 解得 1 b 4
1 7 7 a b 2 4 4 2
第21章 二次根式
§21.1二次根式（1）
南溪桂溪中学
邓永清
1、什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。 a的平方根表示为：
a
2、什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 a的 算术平方根表示为：
a
3、平方根的性质：
（1）正数有两个平方根且互为相反数； （2） 0有一个平方根就是0； （3） 负数没有平方根。 4、做一做： 2 （1）4的算术平方根是______,9 的平方根是_______. ±3 （2）下列说法不正确的是（ C ）
A.-6是36的一个平方根
C.36的平方根是6
B.6是36的一个平方根
a 6 | b 8 | c 10 0 a-6=0 a=6
2
你能发现 什么？
∴
2
b-8=0
c-10=0
2
解得， b=8
2
6 8 10
c=10 ∴△ABC是直角三角形
∴△ABC的周长为：6+8+10=24
课本P3页：
2 2 1 8） ；（2）（ 9） . 1、计算： （）（
D.36的平方根是±6
知识点1 二次根式定义
形如 a （a≥0） 的式子叫做二次根式.
二次根式特点： （1）含有二次根号； （2）被开方数必须是非负数。 注意：二次根式的被开方数必须是 非负数。
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是 二次根式？ 2 2 (5) a 2a 1 2 (4) x 1 3 （） 1 27 （2） -9 （3） 3a
要记住 三种类型的 非负数哦！
方法总结
非负数和为0的条件：几个 数同时为0.
变式练习
已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且 a、b、c满足：
a 6 | b 8| c2 20c 100 0
判断三角形的形状，并求三角形的周长。 【解】
a 6 | b 8| c2 20c 100 0
【解】 （）（ 1
8）=8；
2
2
利用性质：
( a )2 a
（2）（ 9）=9；
课本P3页： 2、x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
【解】 （1）当x+3≥0，即x≥-3时， 该二次根式有意义。 整式，被开方 5 （2）当2x-5≥0，即x≥ 2 时， 数为非负数
1 5 （） 1 x 3;(2) 2 x 5;(3) ;(4) . x 1 x
x 1 有意义，求x的取值范围。
点拨：由二次根式的定义，可知被开方数是非负数，从而可列 出不等式求解。但要注意，有分式，分母不能为0.
【解】 x-1≥0
即x≥1
x 1 有意义。
所以，当x≥1时，二次根式
尝试练习
1、（2013盐城）若式子 x 3 在实数范围 内有意义，则x的取值范围是（ A ） A.x≥3 B.x≤3 C.x>3 D.x<3
1 (6) 2 x 1 x 2
试一试
(7) ( 8)
2
(8) 3x ( x 0)
(9)
1 ( x 1) 2
(10) x 2 8x 16
【解】 （1）不是。没含二次根号
（2）不是。因为-9<0
(3)是。因为3a2 0 (4)是。因为x2 1 0 (5)是。因为a 2 2a 1 (a 1)2 0 （6）不是。因为2x-1<0
知识点3 二次根式的性质
wenku.baidu.com性质1： a 0,即 a是非负数，其最小值是0；
a a 0），即一个非负数的算术 性质2：（ a）=（
2
平方根的平方等于它本身；
【例3】 已知 | x 4 | y 7
2
x yz 0
求x、y、z的值。 点拨：几个非负数的和为0，只有这几个数同时为0 x-4=0 【解】 由题意，得 x=4 解得， y=-7 z=3 x+7=0 x+y+z=0
这节课我们学习了：
1、二次根式的定义 特别注意：被开方数一定要为非负数。 2、二次根式有意义的条件是什么？ 条件是被开方数为非负数。特别注意： 有分式时，要保证分母不为0. 3、二次根式的两个性质是什么？
1、 a 0(a 0) 2、 a

2
a (a 0)
4、非负数和为0的条件： 几个非负数分别为0
【例2】 x为何值时，下列各式有意义？ 5 (1) 3x ;(2) 3 x x ;(3) . 2 x 【解】 （1）当-3x≥0， 即x≤0时，
该根式有意义。 （2）当 3-x≥0 即0≤x≤3时，
整式，被开方 数为非负数
x≥0 该根式有意义。
（3）当
2-x≠0 该根式有意义。
5 0 2 x 即x<2时，
含有分式，被开 方数为非负数且 分母不为0
变式练习
指出当x是什么实数时，下列各式有 意义。 x 1 2
(1)
x 5
;(2)
【解】(1)
x 5
| x | 3
2
0,
∴当x为一切实数时，该根式都有意义。
x 1 0
（2）当
| x | 3 0
即x≥1且x≠3时，该根式有意义。
(7)是。因为(8)2 0
（ 10）不是。因为-x2 8x 16 ( x 4)2 0
1 (9)不是。因为当x=-1时， 无意义 2 （x 1）
（8）是。因为-3x≥0
知识点2 二次根式有意义的条件
根据二次根式的定义，在二次根式 a 中， 字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数， 所以，二次根式有意义的条件为： 被开方数为非负数。如果含有分式，还 要考虑分母不为0. 【例1】若二次根式