离散数学答案版(全)

则称 G1，G2，…，Gn 蕴涵 H，又称 H 是 G1，G2，…，Gn 的逻辑结果，记作（G1 ∧G2∧…∧Gn） H 或（G1，G2，…，Gn） H。 1.6.2 基本蕴涵式 （1）P∧Q P； （3）P P∨Q； （5） P （P→Q） ； （7） （P→Q） P； （9）P，P→Q Q； （11） P，P∨Q Q； （13）P∨Q，P→R，Q→R R； （15）P，Q P∧Q。 （2）P∧Q Q； (4) Q P∨Q； （6）Q （P→Q） ； （8） （P→Q） Q； （10） Q，P→Q P； （12）P→Q，Q→R P→R； （14）P→Q，R→S （P∧R）→（Q∧S） ；
变元，若将 A 和 A*写成 n 元函数形式，则 （1） A（P1，P2，…，Pn） A*（ P1， P2，…， Pn） （2）A（ P1， P2，…， Pn） A*（P1，P2，…，Pn） 定理（对偶原理）设 A、B 是两个命题公式，若 AÛB，则 A* B*，其中 A*、 B*分别为 A、B 的对偶式。 1.5.2 范式 定义 仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式，仅由有 限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。 定义 仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单 析取式构成的合取式称为合取范式。 定理（范式存在定理）任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。 1.5.3 主范式 定义 在含有 n 个命题变元 P1，P2，…，Pn 的简单合取范式中，若每个命
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
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出各赋值，直到 11…1 为止（或从 11…1 开始，按二进制递减顺序写出各赋值， 直到 00…0 为止） ，然后从低到高的顺序列出 G 的层次。 （3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出 G 的真值。 例：G= （ P→Q ）∧Q
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（15）等价否定等值式 A B A B B A （16）归缪式 （A→B）∧（A→ B） A 1.4.4 置换规则 定理（置换规则） 设 （A）是一个含有子公式 A 的命题公式， （B）是用公 式 B 置换了 （A） 中的子公式 A 后得到的公式， 如果 A B， 那么 （A） （B） 。
P
Q
R
1
1
0
是 G 的一个解释，在这个解释下 G 的真值为 1，即 TI（G）=1。
1.4
真值表与等价公式
1.4.1 真值表 定义 将公式 G 在其所有解释下所取得的真值列成一个表，称为 G 的真值表。 构造真值表的方法如下： （1）找出公式 G 中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成 P1，P2，…，Pn。 （2）列出 G 的 2n 个解释，赋值从 00…0（n 个）开始，按二进制递加顺序依次写
1.3
命题公式、翻译与解释
1.3.1 命题公式 定义 命题公式，简称公式，定义为： （1）单个命题变元是公式； （2）如果 P 是公式，则﹁P 是公式； （3）如果 P、Q 是公式，则 P∧Q、P∨Q、P Q、 P Q 都是公式； （4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变 元、联结词和括号的符号串是公式。 例如，下面的符号串都是公式： （ （ （ （﹁P）∧Q） R）∨S） （ （P ﹁Q） （﹁R∧S） ） （﹁P∨Q）∧R 以下符号串都不是公式： （ （P∨Q） （∧Q） ） （∧Q） 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的 翻译。 命题翻译时应注意下列事项： （1）确定所给句子是否为命题。 （2）句子中联结词是否为命题联结词。 （3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 解：设 P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里读书；S：我在家里看报。 本例可表示为： （ P Q）∧（P （R∨S） ） 。 1.3.3 命题公式的解释定义 设 P1，P2，…，Pn 是出现在命题公式 G 中的全部命题变元，指定 P1，P2，…， Pn 的一组真值，称这组真值为 G 的一个解释或赋值，记作 I，公式 G 在 I 下的真 值记作 TI（G） 。 例如，G=（ P∧Q） R，则 I：
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式中每一个合取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极小项，则称该析取范式为 G 的主 析取范式。矛盾式的主析取范式为 0。
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定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主析取范式。 用等值演算求主析取范式步骤如下： （1） 求 G 的析取范式 G'； （2）若 G 中某个简单合取式 m 中没有出现某个命题变元 Pi 或其否定 Pi，则 将 m 作如下等价变换：m m∧（Pi∨ Pi） （ m∧Pi）∨（m∧ Pi） （3）将重复出现的命题变元、矛盾式和重复出现的极小项都消去； （4）重复步骤（2） 、 （3） ，直到每一个简单合取式都为极小项； （5）将极小项按脚标由小到大的顺序排列，并用↖表示。如 m0∨m1∨m7 可表示 为↖（0，1，7） 。 定义 设 G 为公式，P1，P2，…，Pn 为 G 中的所有命题变元，若 G 的合取范
式中每一个析取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极大项，则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项， 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
1.6
公式的蕴涵
1.6.1 蕴涵的概念定义 设 G、H 是两个公式，若 G→H 是永真式，则称 G 蕴涵 H，记作 G H。 蕴涵关系有如下性质： （1） 对于任意公式 G，有 G G； （2）对任意公式 G、H，若 G H 且 H G，则 G H； （3） 若 G H 且 H L，则 G L。 广义的蕴涵概念 定义 设 G1，G2，…，Gn，H 是公式，如果（G1∧G2∧…∧Gn）→H 是永真式，
153主范式定义在含有n个命题变元p1p2?pn的简单合取范式中若每个命题变元或其否定不同时存在但二者之一必出现且仅出现一次且个命题变元或其否定出现在从左起的第i个位置上若命题变元无脚标则按字典顺序排列这样的简单合取式称为极小项
第一章
命题逻辑
内容： 命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵 式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。 教学目的： 1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。 4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5．熟练掌握形式演绎的方法。
1.2 命题联结词
1.2.1 否定联结词﹁P P 0 1 1.2.2 合取联结词∧
P
P 1 0
Q
PQ
0 0 1 1
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0 1 0 1
0 0 0 1
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1.2.3
析取联结词∨
P
Q
PQ
教学重点：
1．命题的概念及判断 2．联结词，命题的翻译 3．主析（合）取范式的求法 4．逻辑推理
教学难点：
1．主析（合）取范式的求法 2．逻辑推理
1.1 命题及其表示法
命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母 A，B，…，Z 或带下标的大写字母或数字表示，如 Ai， [10]，R 等，例如 A1：我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大 学生。R：我是一名大学生。
P
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
1.4.2 命题公式的分类 定义 设 G 为公式： （1）如果 G 在所有解释下取值均为真，则称 G 是永真式 或重言式； （2）如果 G 在所有解释下取值均为假，则称 G 是永假式或矛盾式； （3） 如果至少存在一种解释使公式 G 取值为真，则称 G 是可满足式。 1.4.3 等价公式 定义 设 A 和 B 是两个命题公式，如果 A 和 B 在任意赋值情况下都具有相同 的真值，则称 A 和 B 是等价公式。记为 A B。 性质定理 设 A、B、C 是公式，则 （1）A A （2）若 A B 则 B A （3）若 A B 且 B C 则 A C 定理 设 A、B、C 是公式，则下述等价公式成立： A A （1）双重否定律 （2）等幂律 A∧A A ； A∨A A （3）交换律 A∧B B∧A ； A∨B B∨A （4）结合律 （A∧B）∧C A∧（B∧C） （A∨B）∨C A∨（B∨C） （5）分配律 （A∧B）∨C （A∨C）∧（B∨C） （A∨B）∧C （A∧C）∨（B∧C） （A∨B） A∧ B （6）德·摩根律 （A∧B） A∨ B （7）吸收律 A∨（A∧B） A；A∧（A∨B） A （8）零一律 A∨1 1 ； A∧0 0 （9）同一律 A∨0 A ； A∧1 A （10）排中律 A∨ A 1 （11）矛盾律 A∧ A 0 （12）蕴涵等值式 A→B A∨B （13）假言易位 A→B B→ A （14）等价等值式 A B （A→B）∧（B→A）
题变元或其否定不同时存在，但二者之一必出现且仅出现一次，且第 i 个命题变 元或其否定出现在从左起的第 i 个位置上（若命题变元无脚标，则按字典顺序排 列） ，这样的简单合取式称为极小项。相应的，满足上述条件的简单析取式称为极 大项。n 个命题变元 P1，P2，…，Pn 的极小项用公式可表示为 表示为 Pi*，其中，Pi*为 Pi 或 Pi（i=1，2，…，n） 。 定义 设 G 为公式，P1，P2，…，Pn 为 G 中的所有命题变元，若 G 的析取范 Pi* ，极大项可
1.5
对偶与范式
1.5.1 对偶 定义 在仅含有联结词 Ø、∧、∨的命题公式 A 中，将联结词∧换成∨，将 ∨换成∧，如果 A 中含有特殊变元 0 或 1，就将 0 换成 1，1 换成 0，所得的命题 公式 A*称为 A 的对偶式。 例：公式（ P∨Q）∧（P∨ Q） 的对偶式为： （ P∧Q）∨（P∧ Q） 定理 设 A 和 A*互为对偶式，P1，P2，…，Pn 是出现在 A 和 A*中的所有原子
1.2.4
0 0 1 1 条件联结词→
P
0 1 0 1
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓