北师大版初中七年级数学下册第三章集体备课教案教学设计含教学反思

第三章变量之间的关系
1 用表格表示的变量间关系
【知识与技能】
1.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子.
2.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测.
【过程与方法】
经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感.
【情感态度】
了解可以用列表表示两个变量之间的关系，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力.
【教学重点】
借助表格，分清什么是变量，理解自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况.
【教学难点】
将具体问题抽象成数学问题，由数据进行推断，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点，并能根据表格中的有关信息预测变化趋势.
一、情景导入，初步认知
我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中经常发生变化的事物.如:随年龄的增长，身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了……
【教学说明】通过举例,希望学生体会身边的事物无时无刻不在发生变化，培养学生善于观察的能力.
二、思考探究，获取新知
1.实验操作：
利用实验器材——小车、木板、秒表、调节高度的装置，让学生参与到“小车下滑的时间”的实验中,并一起完成表格.
利用同一块木板，测量小车从不同的高度下滑的时间，然后将得到的数据填入下表：
根据上表回答下列问题：
（1）支撑物高度为70cm时，小车下滑时间是多少？
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t 的变化趋势是什么？
（3）h每增加10cm，t的变化情况相同吗？
（4）估计当h=110cm时，t的值是多少.你是怎样估计的？
（5）随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
【教学说明】通过数据感受具体的变化及其中的蕴含的规律；让学生参与到收集数据的试验过程中，亲身感受随着支撑物高度的增加,小车下滑所用的时间越来越少.问题(4)是进行预测,对学生来说有一定难度,鼓励学生充分进行交流,培养他们从表格获取信息的能力.
2.议一议∶
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
(2)x和y哪个是自变量?哪个是因变量?
(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？
(4)你能根据此表格预测2019年时我国人口将会是多少吗？
【归纳结论】
在“小车下滑的时间”中，
支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化.支撑物的高度h是自变量，小车下滑的时间t是因变量.
在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板的长度）一直没有变化.像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量.
在人口变化中，我国人口总数y随时间x的变化而变化，x是变量，y是因变量.
借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.在表格里，通常把自变量放在上（或左）面，把因变量放在下（或右）面.
【教学说明】通过两个例子,理解变量、自变量、因变量、常量这些概念，同时体会表格对于数据的整理和呈现起到的作用.对于解决日常生活中变化的事物很有帮助.
三、运用新知，深化理解
1.小明和他爸爸做了一个实验，小明由一幢245m高的楼顶随手放下一只苹果，由他爸爸测量有关数据，得到苹果下落的路程和下落的时间之间有下面的关系：
下列说法错误的是（A）
A.苹果每秒下落的路程不变
B.苹果每秒下落的路程越来越长
C.苹果下落的速度越来越快
D.可以推测，苹果下落7秒后到达地面
2.2017年1-12月某地大米的平均价格如下表所示，其中自变量是月份，因变量是平均价格；当自变量等于9,10时，因变量的值2.8最小.
3.下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：
（1）时间是8分钟时，水的温度为100℃；
（2）此表反映了变量温度和时间之间的关系，其中时间是自变量，温度是因变量；
（3）在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化.
4.下表给出了橘农王林去年橘子的销售额（元）随橘子卖出质量（千克）的变化的有关数据：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
解：表中反映了橘子的卖出质量与销售额之间的关系，橘子的卖出质量是自变量，销售额是因变量；
（2）当橘子卖出5千克时，销售额是多少？
解：当橘子卖出5千克时，销售额为10元；
（3）估计当橘子卖出50千克时，销售额是多少？
解：当橘子卖出50千克时，销售额为100元.
5.一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是测得的弹簧长度y（cm）与所挂砝码的质量x（g）的一组对应值：
（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
解：上表反映了弹簧长度与所挂砝码质量之间的关系；其中所挂砝码质量是自变量，弹簧长度是因变量；
（2）弹簧的原长是多少？当所挂砝码质量为3g时，弹簧的长度是多少？
解：因为不挂砝码时的弹簧长度即为弹簧的原长，所以弹簧的原长是18cm；
当所挂物体重量为3g时，弹簧长24cm；
（3）砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加2cm.
6.金融危机虽然给世界各国带来不小的冲击，但某公司励精图治，决定投资开发新项目，通过考察确定有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
解：上表反映了所需资金和预计年利润之间的关系，所需资金是自变量，预计年利润率是因变量；
（2）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有多少？
解：投资一个4亿元的项目，则其年利润预计有0.55千万元；
（3）如果要预计获得0.9千万元的年利润，投资一个项目需要多少资金？
解：预计获得0.9千万元的年利润，投资一个项目需要7亿资金；
（4）如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资，可以有几种投资方案？哪种方案年利润最大？最大是多少？
解：10亿元进行多个项目的投资，可以有一下几种投资方案：
①项目1与项目2与项目5，
②项目3与项目4，
③项目2与项目6；
∴最大收益是1.45（亿元）.
【教学说明】对本环节知识进行巩固练习.在教学中要让学生体会不同情境下的变量之间的关系，如一个量随着另一个量增加的，一个量随着另一个量减少的，一个量随着另一个量先增加后减少或先减少后增加的，等等，避免单一的情况.
四、师生互动，课堂小结
师生互相交流总结本节所学的知识,如何从表格中获取信息；如何用表格表示变量之间的关系；如何对变化趋势进行预测.
五、教学板书
1.布置作业:教材“习题3.1”中第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
1.这节课从现实生活入手，数据来自于学生可以参与的试验过程，来自于现实生活关注的人口问题、环境问题，培养了学生的探究、试验精神，而且始终贯穿对学生的德育教育.通过本节课的学习，学生可以意识到研究变量之间的关系是可以帮助我们把握事物发展的一定规律的，是可以帮我们找出影响事物发展的一些因素的.
2.由于实验用的时间不容易把握，可能导致后面学习、讨论的时间较为紧张，老师应该根据学生的具体情况做适当的调整，使教学达到最佳的效果.
2 用关系式表示的变量间关系
【知识与技能】
1.经历探索某些图形中变量之间关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感.
2.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
【过程与方法】
经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感.
【情感态度】
培养学生动手的能力，探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力.通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法.
【教学重点】
找问题中的自变量和因变量.
【教学难点】
根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系.
一、情景导入，初步认知
1.我们在以前学习过的面积和体积公式有哪些？
2.刚才同学们例举出的这些公式它其实反映了面积或体积与几何图形的长、宽、高或半径等之间的关系，我们能不能用这种方式来表示变量之间的关系呢？
3.今天我们一起来学习用关系式表示变量间的关系.
【教学说明】本环节的设置是让学生复习以前学过的公式，因为在用关系式表示变量间的关系中，很多时候需要用到之前学习过的公式，比如这堂课中的三角形的面积公式，圆锥的体积公式等.同时，在以前学生学习字母表示什么这个课题的时候，也知道了用字母可以表示运算规律、公式等.公式本身也可以看做是一个关系式，因此在这里我用学生熟悉的公式来引入课题.
二、思考探究，获取新知
1.三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？
2.如图所示，△ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点C运动时，三角形的面积发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量是底边长，因变量是三角形的面积.
（2）如果三角形的底边长为x（cm），那么三角形的面积y（cm2）可以表示为y=3x.
（3）当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从36cm2变化到9cm2.
（4）y=3x表示了三角形面积和底边长之间的关系，它是变量ｙ随ｘ变化的关系式.利用此关系式，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值.
3.同学们能根据要求填写下列的表格吗？
通过填表、探究，同学们能说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？
4.如图所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化.
(1)在这个变化过程中，自变量是底面半径，因变量是圆锥体积.
(2)如果圆锥底面半径为r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与r的关系式是V=4/3πr2.
(3)当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由4/3πcm3变化到400/3πcm3.
5.议一议：
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式.
（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为0.785a，其中的字母表示耗电量.
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW·h，二氧化碳排放量增加0.785kg.当耗电量从1kW·h增加到100kW·h时，二氧化碳排放量从0.785kg增加到78.5kg.
（3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
【教学说明】本环节的设计主要让学生在具体的情境中学会用关系式来表示变量间的关系，体会关系式能够直接的看出变量之间的数量关系这一特点，通过求值运算，体会关系式能够方便的根据其中一个变量精准的求出另一个变量.
三、运用新知，深化理解
1.已知变量x，y满足下面的关系则x，y之间用关系式表示为(C)
2.长方形的周长为24厘米，其中一边为x（其中x>0），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（C）
A.y=x2
B.y=(12-x)2
C.y=(12-x)·x
D.y=2(12-x)
3.如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x
表示圆珠笔的支数，那么y与x之间的关系应该是（D）
A.y=12x
B.y=18x
C.y=2/3 x
D.y=3/2 x
4.某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后，则本息和y（元）与所存月数x之间的关系式为y=100+0.2x（不考虑利息税）.
5.汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为y=40-5x，该汽车最多可行驶8小时.
6.地面温度为15℃，如果高度每升高1千米，气温下降6℃，则高度h(千米)与气温t(℃)之间的关系式为h=15-6t.
7.某校办工厂现在年产值是15万元，计划以后每年增加2万元.
（1）写出年产值y（万元）与年数x之间的关系式.
（2）求5年后的年产值.
解：（1）y=15+2x；
（2）25.
8.某移动通信公司开设了两种通信业务，“甲种套餐”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“乙种套餐”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为y1元和y2元.
（1）写出y1、y2与x之间的关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？
（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？
解：（1）y1=50+0.4x,y2=0.6x；
（2）由y1=y2，即50+0.4x=0.6x，解得x=250，当每个月通话250分钟时，两种移动通讯费用相同；
（3）当x=300时，y1=170，y2=180，y1＜y2，所以使用“甲种套餐”合算.
【教学说明】巩固用关系式表示变量间的关系，并感受表格与关系式这两种方法表示变量间关系的特征.
四、师生互动，课堂小结
这节课你们自我感觉学得怎么样？你们有哪些收获？哪个组合作最好？哪些小组成员表现最积极？
五、教学板书
1.布置作业:教材“习题3.2”中第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
在这节课中，以小组合作为主要的课堂学习手段，让学生通过独立思考、交流讨论、自我反思、总结经验等过程，从而获得相应的数学知识技能，体现了在课堂中学生是学习的主人，老师是课堂的导演者这一新课程理念，培养学生自主学习的能力和习惯，让学生在小组合作课堂中学会学习.同时，这节课利用二氧化碳排碳公式的计算，适时的向学生渗透生活中要尽量的做到节能减排.
3 用图象表示的变量间关系
第1课时曲线型图像
【知识与技能】
能够从图象中分析变量之间的关系，明确图象上点所表示的意义，会利用图象找到准确的信息.
【过程与方法】
培养学生的观察能力，预测能力，分析能力，动手操作能力，发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
【情感态度】
让学生体会数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学应用意识.
【教学重点】
结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义.并能从图象中获取变量间关系的信息.
【教学难点】
能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述.
一、情景导入，初步认知
通过前面的学习，我们知道，可以用表格或关系式表示变量间的关系，同时掌握了根据自变量的取值求出相应因变量的方法.请你根据前面的知识解决下列问题.
1.给定自变量x与因变量的y的关系式y=2x2-4x+8，填表：
2.假设圆柱的高是5cm，当圆柱的底面半径由小到大变化时：
（1）圆柱的体积如何变化？在这个变化中，自变量.因变量是什么？
（2）如果圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V可以表示为V=5πr2.
（3）当r由1cm变化到10cm时，V由5πcm3变化到500πcm3.
【教学说明】对上节课内容进行复习巩固，为本节课的教学做铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.某地某天的温度变化情况如图所示，观察后回答下列问题：
（1）上午9时的温度是27℃；12时的温度是31℃.
（2）这一天15时的温度最高，最高温度是37℃；这一天3时的温度最低，最低温度是23℃.
（3）这一天的温差是14℃，从最高温度到最低温度经过了12小时，
（4）在什么时间范围内温度在上升？
在什么时间范围内温度在下降？
（5）图中的A点表示的是什么？B点呢？
（6）你能预测次日凌晨1时的温度吗？说说你的理由.
【归纳结论】
上图表示了温度随时间的变化而变化的情况，它是温度与时间之间关系的图象.图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.
图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，
用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.
【教学说明】让学生去体会温度这个变量和时间这个变量的关系，通过一系列的问题去体会到用图象表示变量之间的关系清晰明了.丰富学生的课外知识，激发学生学习的兴趣，为本节课的讲解做好铺垫.
2.合作探究：你了解它吗—“沙漠之舟”.
骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化.
（1）一天中，骆驼的体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
（2）从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？
（3）在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？
（4）你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗？其他时刻呢？
（5）A点表示的是什么？还有几时的温度与A点所表示的温度相同？
（6）你还知道那些关于骆驼的趣事？与同伴进行交流.
【教学说明】可以让学生进一步巩固变量之间的关系，会利用图象解决实际问题.并清楚图象上的点所表示的内容.
三、运用新知，深化理解
1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中因变量是（B）
A.沙漠
B.体温
C.时间
D.骆驼
2.根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断下列说法错误的是：（D）
A.男生在13岁时身高增长速度最快
B.女生在10岁以后身高增长速度放慢
C.11岁时男女生身高增长速度基本相同
D.女生身高增长的速度总比男生慢
3.某种动物的体温随时间的变化图如图示：
（1）一天之内，该动物体温的变化范围是多少？
解：34℃至40℃
（2）一天内，它的最低和最高体温分别是多少？是几时达到的.
解：最低体温是34℃，是4时和28时达到的；最高体温是40℃,是16时达到的.
（3）一天内，它的体温在哪段时间内下降.
解：0时至4时，16时至28时体温在下降.
（4）依据图象，预计第二天8时它的体温是多少？
解：36℃
4.某市一天的温度变化如图所示，看图回答下列问题：
（1）这一天中什么时间温度最高？是多少度？什么时间温度最低？是多少度？
解：这一天中15时温度最高，是24度；6时温度最低，是4度.
（2）在这一天中，从什么时间到什么时间温度开始上升？在这一天中，从什么时间到什么时间温度开始下降？
解：6时至15时，温度开始上升；0时至6时和15时至24时开始下降.
5.小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4
元，全部售完.销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示.请你根据图象提供的信息完成以下问题：
（1）求降价前销售金额y（元）与售出西瓜x（千克）之间的关系式；
（2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜？
（3）小明这次卖瓜赚了多少钱？
解：（1）y=1.6x；
（2）50千克；
（3）36元
【教学说明】对本节课所学的内容加以巩固，对利用图象表示变量之间的关系加深理解.培养学生思考问题的全面性，提高学生的分析能力.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.
五、教学板书
1.布置作业:教材“习题3.3”中第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
在课堂中要给予学生充分的时间去操作、思考，而不是流于形式.要让活动充分的达到目的.教师在课堂中要照顾到每一名学生，要给每一名学生安排任务，让全体学生都动起来.新课程标准下的数学教学，每一秒都是日新月异的，看似平淡无奇的内容，但却蕴涵着无限的生机，越看越有味道，越想越有深度，用自
己的才能，发挥自己的想象力，让每一课都变得其乐无穷.
第2课时折线型图像
【知识与技能】
1.通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图象中分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解.
2.给出实际情境，能大致描绘出它的关系图.
【过程与方法】
1.进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力.
2.用变化的观点去观察和解释身边发生的数学现象.
【情感态度】
发展学生应用数学的意识.
【教学重点】
进一步通过图象获取信息，分析变量之间的关系.
【教学难点】
由图象描述变量关系和由实际情境描述大致图象.
一、情景导入，初步认知
1.前几节课我们已经学习了表示变量之间关系的方法，有哪几种，每一种方法如何找自变量和因变量？哪位同学来说一下？
2.某出租车每小时行驶60千米，若ｔ小时行驶s千米，则自变量是行驶时间，因变量是行驶路程，s与t的关系式是s=60t.
用图象来直观地反映变量之间的关系是表格法、关系式法所无法代替的.这节课我们继续来研究图象法表示速度的变化情况.
【教学说明】通过复习表示变量的三种方法，体会学习过的三种表示变量之间关系的方法之间的联系，培养学生善于总结规律,善于观察并进行比较的能力，使学生明确每一种方法的优点，为本节课做铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.同学们知道这幅图画的是什么吗？
2.同学们都很聪明.每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度,你会看这个表吗?
3.你从家骑自行车到学校走同一条路的话，在这个过程中什么是常量什么是变量？
4.速度和时间的关系我们可以用上节课学的图象法表示.下面是小明同学骑车的速度与行驶时间的关系用图象表示，下面的三个图象请分别用一句话描述.
5.看图象的横轴合纵轴分别表示什么？
6.怎样看图？图中上升、下降、水平部分分别是什么含义？
【归纳结论】
上升的线：从左至右呈上升状的线（代表速度增加）；
水平的线：与水平方向平行的线（代表匀速或静止）；
下滑的线：从左至右呈下降状的线（代表速度下降）.
【教学说明】从学生的亲身体验出发，很自然的引入新课，并对所学知识点理解深刻，记忆牢固.
7.汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.
各小组讨论相互补充,派代表回答问题，并解说从统计图中获取的信息及此统计图对于现实生活的实际意义.
【教学说明】培养学生从图象中获取大量信息的读图能力，并通过亲身体验归纳总结图象表示法的特点及在现实生活中的实际意义.
三、运用新知，深化理解
1.伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速原路返回学校.这一情景中，速度v和时间t的函数图象（不考虑图象端点情况）大致是（A）
2.星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（B）。