福建省上杭县第一中学等六校2018_2019学年高二数学下学期期中试题理

福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高二数学下学期期中
试题理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）
A．－2 B．4 C．－6 D．6
2．函数在点处的切线方程为（）
A． B． C． D．
3.函数的递增区间是（）
A.B. C. D.
4．函数的图象如右图所示，则导函数的
图象的大致形状是 ( )
5．计算为( )
A．B．C．D．
6．用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是 ( )
A． B． C． D．
7.已知函数在处取得极值10，则=（）
A．或 B．或 C． D．
8．右下图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）
A． B． C． D．
9.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝11－3t＋ (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（）A．4＋25ln5 B． C．D．
10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则（）
A． B．3 C．6 D．
11.函数在的最大值为2，则的取值范围是（）
A． B．
C. D．
12.已知是定义在上的增函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（）
A.对于任意，
B. 对于任意，
C.当且仅当
D. 当且仅当
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在复平面内，复数对应的点的坐标为
14．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，
则它落在阴影部分的概率为_______.
15.定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应如图所示的4个图形：
那么以下4个图形中，可以表示A*D的是（填与图形对应的序号）
16.任意，使得成立，则的取值范围是_______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17.（本小题满分10分）设复数（其中），．
（Ⅰ）若是实数，求的值；
（Ⅱ）若是纯虚数，求．
18.（本小题满分12分）已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式.
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
19. （本小题满分12分）如图：在三棱锥中，是直角三角形，，点分别为的中点．（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20 .（本小题满分12分）某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①；②；③
（Ⅰ）请从以上三个式子中任选一个，根据
验证其正确性（注意不能近似计算）；
（Ⅱ）请将此规律推广至一般情形，并证明之．
21.（本小题满分12分）已知函数，
（Ⅰ）讨论函数的零点个数；
（Ⅱ），不等式恒成立，求的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值与的最小值.
“长汀、连城、武平、永定、漳平、上杭六地一中”联考
2018-2019学年第二学期半期考
高二数学（理科）答案
一、选择题
二、填空题
13. 14. 15.（2） 16.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是实数，
∴a＝4，z1＝2＋4i，
∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；.................5分
（Ⅱ）∵是纯虚数，
∴，
故．.................10分
18.（本小题满分12分）
解（Ⅰ）.
由导数的几何意义得，于是.
由切点在直线上可知.
所以函数的解析式为.............5分（Ⅱ）.............6分
当时，,函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数;............8分当时,函数在区间上为增函数；............10分
当时，，函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数.............12分19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连接BD、在△ABC中，∠B=90°．
∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．
∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，
,又∵PB⊥面ABC，EF平面ABC,∴PB,
平面PBD............6分
（Ⅱ）∵∴PB=BC=2
如图建立空间直角坐标系，则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则
=(-1,2,0), =(-1,0,2)
设平面PEC的一个法向量为=（x，y，z），
则=0， =0
即
令x=2,得y=1,z=1
∴=(2,1,1),由已知可得，向量=(2,0,0)为平面PBC 的法向量
∴cos<,>==
∴二面角E-PC-B的余弦值为．............12分
20 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）验证①式成立：
....................................................
..........5分
（Ⅱ）一般结论为：若，则，证明如下：
要证：
只需证：
即证：
也就是证：
即证：
只需证：
即证：，显然成立故.．..........................................................12分
21.（本小题满分12分）
解：（1）∵．
当时，在上单调递减，且，
有且只有一个零点；
当时，令得．
由得的单调递增区间为；
由得的单调递减区间为．
的最小值为
当即时无零点
当即时有一个零点
当即时且，有两个零点． (6)
分
（Ⅱ）∵，
则，即．
设，则问题转化为，
由，令
当单调递增
，单调递减
当时，函数有极大值，即最大值为．∴..............................................12分
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为
当，从而在单调递增，
所以..................4分
（Ⅱ）令则
，由（Ⅰ）知，
所以函数在单调递增，故
所以的最大值......................6分
因为等价于
令则
（1）当时，对任意恒成立，不符合题意；
（2）当时，因为对任意，，所以在单调递减，所以对任意恒成立，符合题意；
（3）当时，构造，则
所以在单调递增，又因为
所以存在唯一零点，使得，当，，在单调递减，当，，在在单调递增
所以，不符合题意，综上，的最小值为1..................11分
所以对恒成立，的最大值为，的最小值为1.......12分。