函数的奇偶性经典例题

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2．4 函数的奇偶性
【知识网络】
1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法； 2．奇函数、偶函数的图象．
3．应用奇函数、偶
函数解决问题． 【典型例题】
例 1．（ 1）下面四个结论中，正确命题的个数是（ A ）
①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②函数 f ( x) 为奇函数的充要条件是 f (0) 0 ；③偶函数
的图象关于 y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是
f （ x ）=0（ x ∈ R ）．
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ．4
提示：①不对，如函数 f ( x)
1
y
轴没有交点；②不对，因为奇函 x 2 是偶函数，但其图象与
f （ x ）
数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 =0〔 x ∈（－ a ， a ）〕，答案为 A ．
（ 2 ）已知函数 f ( x) ax 2 bx 3a b 是偶函数，且其定义域为［
a 1, 2a ］，则（
）
A
1 b ＝ 0
B ． a
b 0
C b ＝ 0
D ． a 3
b ＝ 0
3
提示：由 f (x) ax 2
bx 3a
b 为偶函数，得 b ＝ 0．
又定义域为［ a
1, 2a ］，∴ ( a 1) 2a 0 ，∴ a
1 ．故答案为 A ．
3
x 2
（ 3）已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x
0 时， f ( x)
2 x ，则 f ( x) ）在 R 上的
表达式是（
）
A ． y x( x
2) B ． y x(| x | 2)
C ．
y
| x |( x 2)
D ．
y
提示：由 x 0 时， f ( x) x 2
2x ， f ( x) 是定义在 R 上的奇函数得： 当 x ＜ 0 时， x 0 ， f ( x) f ( x) ( x 2 2x) x( x 2) x( x 2) ( x 0) x(| x | 2) ，答案为 D ． ∴ f ( x) x 2) ( x
，即 f ( x) x( 0) （ 4）已知 f ( x) x 5 ax 3
bx 8 ，且 f ( 2) 10 ，那么 f （2）等于 26 提示： f ( x)
8
x
5
ax
3
bx 为奇函数，
f (
2) 8 18 ，∴ f (2) 8
18
（ 5）已知 f ( x) 是偶函数，
g (x) 是奇函数，若
1
f (x) g( x)
，则
x
1
x(| x | 2)
，∴ f (2) 26
．
f ( x) 的解析式为
提 示 ： 由 f ( x) 是 偶 函 数 ， g (x) 是奇函数，可得
1 ， 联 立
f ( x)
g (x)
x
1
f ( x) g( x)
1
1
1
1
1
1
x 1 ，得： f ( x) 2 ( x
1
x 1 )
x
2
1
， ∴ f (x)
1
x
2
例 2．判断下列函数的奇偶性：
（ 1 ） f ( x) (x 1) 1
x
； (2) f ( x) 1 x
2
x 2 1 ；
1 x
2
x 2
x ( x 0)
（ 3 ） f (x)
lg(1 x ) ；（ 4） f ( x)
x 2 x
．
| x 2 2 | 2
( x 0)
解：（ 1）由
1 x
1,1)，关于原点不对称，∴
f (x) 为非奇非偶函数．
1
0 ，得定义域为 [
x
(2)1x20x2 1 x 1 ，∴ f ( x)0 ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数．
x210
（3）由1x20
得定义域为 (1,0)(0,1) ，∴f ( x)
lg(1x)2lg(1x)2
| x22|2 0( x22) 2x2
，
∵ f (x)lg[1(x) 2 ]lg(1x2 )
f (x)∴ f ( x) 为偶函数
(x) 2x2
（ 4）当x0 时，x0 ，则 f ( x)( x)2x(x2x) f (x) ，
当 x0 时， x0 ，则 f (x) ( x) 2x( x2x) f (x) ，
综上所述，对任意的x(,) ，都有 f (x) f ( x)，∴ f ( x) 为奇函数．例 3．若奇函数 f ( x) 是定义在（1，1）上的增函数，试解关于 a 的不等式：
f ( a 2) f ( a 24) 0．
解：由已知得 f ( a 2) f ( a24)
因 f(x) 是奇函数，故 f (a24) f (4a2 ) ，于是 f (a2) f (4 a2 ) ．又 f ( x) 是定义在（1， 1）上的增函数，从而
a24 a 23a2
1 a211a33a2
1a241
5a
或
3a5 3
即不等式的解集是(3,2) ．
例 4．已知定义在 R 上的函数 f ( x)对任意实数x、y，恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当 x 0
时， f ( x)0 ，又 f (1)2
．3
（1）求证： f ( x)为奇函数；（ 2）求证：f(x ) 在R上是减函数；（3）求 f ( x) 在[3，6]上的最大值与最小值．
（1）证明：令x y0 ，可得 f (0) f (0) f (0 0) f (0)，从而， f(0) = 0 ．
令y x
，可得 f ( x) f (x) f ( x x) f (0)0 ，即 f ( x) f (x)，故 f ( x ) 为奇函数．
（2）证明：设x1 , x2∈R，且 x1x2，则 x1x20 ，于是 f ( x1 x2 )0 ．从而f ( x1 ) f ( x2 ) f [( x1x2 ) x2 ] f ( x2 ) f ( x1x2 ) f (x2 ) f ( x2 ) f ( x1x2 ) 0所以， f ( x) 为减函数．
（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为 f ( 3) ，最小值为 f (6) ．
f (3) f (3)[ f (2) f (1)][2 f (1) f (1)] 3 f (1)2
f (6) f (6)[ f (3) f (3)]4
于是， f ( x)在 [-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．
【课内练习】
1．下列命题中，真命题是（ C ）
A ．函数 y
1
是奇函数，且在定义域内为减函数
x
B ．函数 y x 3 ( x 1)0 是奇函数，且在定义域内为增函数
C ．函数 y x 2 是偶函数，且在（
3， 0）上为减函数
D ．函数 y
ax 2 c(ac 0) 是偶函数，且在（
0， 2）上为增函数
提示： A 中， y 1
B 中，函数的定义域不关于原点对称； D 中，
在定义域内不具有单调性；
x
当 a 0 时， y ax 2 c(ac
0) 在（ 0， 2）上为减函数，答案为 C ．
2． 若
(x) ， g (x) 都是奇函数， f ( x)
a ( x) bg ( x)
2 在（ 0，＋∞）上有最大值
5 ，
则 f (x) 在（－∞， 0）上有（ ）
A ．最小值－ 5
B ．最大值－ 5
C ．最小值－ 1
D ．最大值－ 3
提示：
( x) 、 g( x) 为奇函数，∴ f ( x)
2 a (x)
bg( x) 为奇函数．
又 f (x) 有最大值 5，
∴－ 2 在（ 0，＋∞）上有最大值
3．
∴ f (x) － 2 在 (
, 0) 上有最小值－ 3，∴ f ( x) 在 ( , 0) 上有最小值－ 1．答案为 C ．
3．定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在（ 0， +∞）上是增函数，又 f ( 3) 0 ，则不等式 xf ( x)
的解集为（ A ）
A ．（－ 3， 0）∪（ 0， 3）
B ．（－∞，－ 3）∪（ 3， +∞）
C ．（－ 3， 0）∪（ 3， +∞）
D ．（－∞，－ 3）∪（ 0， 3） 提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为 A ．
4. 已知函数 y f ( x) 是偶函数， y
f ( x
2) 在［ 0，2］上是单调减函数，则（ A ）
A . f (0) f ( 1) f (2)
B . f ( 1) f (0)
f (2) C.
f ( 1) f (2) f (0)
D.
f (2) f ( 1)
f (0)
提示：由 f （ x － 2）在［ 0， 2］上单调递减，∴ f ( x) 在［－ 2， 0］上单调递减 .
∵ y f ( x) 是偶函数，∴
f ( x) 在［ 0， 2］上单调递增 . 又 f ( 1) f (1) ，故应选 A .
5．已知 f ( x) 奇函数，当 x ∈（ 0，1）时， f ( x) lg 1 ，那么当 x ∈（－ 1，0）时， f ( x)
的表达式是 lg(1 x) ．
1 x
提示：当 x
（－ 1，0）时， x ∈（ 0， 1），∴ f ( x)
f ( x)
lg 1
lg(1 x) ．
x
2 a
x
是奇函数，则
a 2007
1 6．已知 f ( x)
log 3 ＋ 2007a = 2008．
a x
提示：
f (0) lo
g 3
2
a
0 ，
2
a
1 ，解得： a 1 ，经检验适合， a 2007
2007a 2008 ．
a
a
7．若 f ( x) 是偶函数，当 x ∈［ 0，+∞) 时， f ( x) x 1，则 f (x 1) 0的
解集是 { x | 0 x 2}
提示：偶函数的图象关于 y 轴对称，先作出 f ( x) 的图象，由图可知 f ( x) 0
的解集为 { x | 1 x 1} ，∴ f ( x 1) 0 的解集为 { x | 0 x 2} .
8．试判断下列函数的奇偶性：
（1） f ( x) | x
2| | x 2| ； （ 2） f ( x)
1 x
2 ； （ 3） f ( x)
| x |
( x 1)0 ． x 3
3
x
解：（ 1）函数的定义域为 R ， f ( x) | x
2|
| x 2| | x
2|
| x 2|
f (x) ，
故 f (x) 为偶函数．
1 x
2 0
x
1且 x 0 ，定义域为 [ 1, 0)
(0, 1] ，关于原点对称，
（2）由
3| 得： 1
| x
3 0
1 x
2 1 x
2
x) 1 x 2
f ( x)
3
x
，
f (
f ( x) ，故 f ( x) 为奇函数．
x 3
x
（ 3）函数的定义域为 (- ∞， 0)∪ (0，1)∪ (1，+∞ )，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．
9．已知函数 f (x) 对一切 x, y R ，都有 f ( x y)
f (x)
f ( y) ，若 f ( 3)
a ，用 a
表示 f (12) ．
解：显然 f (x) 的定义域是 R ，它关于原点对称．在
f ( x y)
f (x) f ( y) 中，
令 y x ，得 f (0)
f ( x) f ( x) ，
令 x
y
0 ，得 f (0)
f (0)
f (0) ，∴ f (0) 0 ，
∴ f ( x) f ( x) 0 ，即 f ( x) f ( x) ， ∴ f (x) 是奇函数．
∵ f ( 3) a ， ∴ f (12) 2 f (6)
4 f (3) 4 f ( 3)
4a ．
10．已知函数 f ( x)
ax 2
1
b, c Z ) 是奇函数，又， f (1)
2 ， f (2)
3 ，求 a 、 b 、 c
bx ( a, 的值 .
c
解：由 f ( x) f ( x) 得 bx
c (bx c) ∴c=0. 又 f (1)
2 ，得 a 1
2b ，
而 f (2) 3 ，得
4a
1 3 ，解得 1 a
2 .
a 1
又 a Z ，∴ a 0 或 a 1.
若 a 0 ，则 b= 1 Z ，应舍去；
若 a 1 ，则 b=1 ∈Z.
2
∴ a 1, b 1, c 0 .。