泊松比、弹性模量、剪切模量

泊松⽐、弹性模量、剪切模量
⽬录
泊松⽐ (1)
杨⽒模量 (1)
弹性模量 (2)
剪切模量 (3)
基本概念 (3)
纤维复合材料层间剪切模量测试 (3)
筑坝堆⽯料的剪切模量 (4)
弹性模量和切变模量 (7)
弹簧钢的切变模量取值 (8)
泊松⽐
法国数学家 Simeom Denis Poisson 为名。

在材料的⽐例极限内，由均匀分布的纵向应⼒所引起的横向应变与相应的纵向应变之⽐的绝对值。

⽐如，⼀杆受拉伸时，其轴向伸长伴随着横向收缩(反之亦然)，⽽横向应变 e' 与轴向应变 e 之⽐称为泊松⽐ V。

材料的泊松⽐⼀般通过试验⽅法测定。

可以这样记忆：空⽓的泊松⽐为0，⽔的泊松⽐为0.5，中间的可以推出。

主次泊松⽐的区别Major and Minor Poisson's ratio
主泊松⽐PRXY，指的是在单轴作⽤下，X⽅向的单位拉（或压）应变所引起的Y ⽅向的压（或拉）应变
次泊松⽐NUXY，它代表了与PRXY成正交⽅向的泊松⽐，指的是在单轴作⽤下，Y ⽅向的单位拉（或压）应变所引起的X⽅向的压（或拉）应变。

PRXY与NUXY是有⼀定关系的： PRXY/NUXY=EX/EY
对于正交各向异性材料，需要根据材料数据分别输⼊主次泊松⽐，
但是对于各向同性材料来说，选择PRXY或NUXY来输⼊泊松⽐是没有任何区别的，只要输⼊其中⼀个即可
杨⽒模量
杨⽒模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量。

1807年因英国医⽣兼物理学家托马斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果⽽命名。

根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应⼒与应变成正⽐，⽐值被称为材料的杨⽒模量，它是表征材料性质的⼀个物理量，仅取决于材料本⾝的物理性质。

杨⽒模量的⼤⼩标志了材料的刚性，杨⽒模量越⼤，越不容易发⽣形变。

杨⽒弹性模量是选定机械零件材料的依据之⼀是⼯程技术设计中常⽤的参数。

杨⽒模量的测定对研究⾦属材料、光纤材料、半导体、纳⽶材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料的⼒学性质有着重要意义，还可⽤于机械零部件设计、⽣物⼒学、地质等领域。

测量杨⽒模量的⽅法⼀般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等，还出现了利⽤光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术（微波或超声波）等实验技术和⽅法测量杨⽒模量。

胡克定律和杨⽒弹性模量
固体在外⼒作⽤下将发⽣形变，如果外⼒撤去后相应的形变消失，这种形变称为弹性形变。

如果外⼒后仍有残余形变，这种形变称为范性形变。

协强（ε）：单位⾯积上所受到的⼒（F/S）。

协变（ζ）是指在外⼒作⽤下的相对形变（相对伸长DL/L）它反映了物体形变的⼤⼩。

胡克定律：在物体的弹性限度内，胁强于胁变成正⽐，其⽐例系数称为杨⽒模量（记为Y）。

⽤公式表达为：
Y=（F·L）/（S·△L）
Y在数值上等于产⽣单位胁变时的胁强。

它的单位是与胁强的单位相同。

杨⽒弹性模量是材料的属性，与外⼒及物体的形状⽆关。

弹性模量
拼⾳:tanxingmoliang
英⽂名称：modulusofelasticity
定义：材料在弹性变形阶段，其应⼒和应变成正⽐例关系（即
符合胡克定律），其⽐例系数称为弹性模量。

单位：达因每平⽅厘⽶。

意义：弹性模量可视为衡量材料产⽣弹性变形难易程度的指标，其值越⼤，使材料发⽣⼀定弹性变形的应⼒也越⼤，即材料刚度越⼤，亦即在⼀定应⼒作⽤下，发⽣弹性变形越⼩。

弹性模量E是指材料在外⼒作⽤下产⽣单位弹性变形所需要的应⼒。

它是反映材料抵抗弹性变形能⼒的指标，相当于普通弹簧中的刚度。

说明:⼜称杨⽒模量。

弹性材料的⼀种最重要、最具特征的⼒学性质。

是物体弹性t变形难易程度的表征。

⽤E表⽰。

定义为理想材料有⼩形变时应⼒与相应的应变之⽐。

E以单位⾯积上承受的⼒表⽰，单位为⽜/⽶^2。

模量的性质依赖于形变的性质。

剪切形变时的模量称为剪切模量，⽤G表⽰；压缩形变时的模量称为压缩模量，⽤K 表⽰。

模量的倒数称为柔量，⽤J表⽰。

拉伸试验中得到的屈服极限бb和强度极限бS ，反映了材料对⼒的作⽤的承受能⼒，⽽延伸率δ或截⾯收缩率ψ，反映了材料缩性变形的能⼒，为了表⽰材料在弹性范围内抵抗变形的难易程度，在实际⼯程结构中，材料弹性模量E的意义通常是以零件的刚度体现出来的，这是因为⼀旦零件按应⼒设计定型，在弹性变形范围内的服役过程中，是以其所受负荷⽽产⽣的变形量来判断其刚度的。

⼀般按引起单为应变的负荷为该零件的刚度，例如，在拉压构件中其刚度为：
式中 A0为零件的横截⾯积。

由上式可见，要想提⾼零件的刚度E A0,亦即要减少零件的弹性变形，可选⽤⾼弹性模量的材料和适当加⼤承载的横截⾯积，刚度的重要性在于它决定了零件服役时稳定性，对细长杆件和薄壁构件尤为重要。

因此，构件的理论分析和设计计算来说，弹性模量E是经常要⽤到的⼀个重要⼒学性能指标。

在弹性范围内⼤多数材料服从虎克定律，即变形与受⼒成正⽐。

纵向应⼒与纵向应变的⽐例常数就是材料的弹性模量E，也叫杨⽒模量。

弹性模量在⽐例极限内，材料所受应⼒如拉伸，压缩，弯曲，扭曲，剪切等）与材料产⽣的相应应变之⽐，⽤⽜/⽶^2表⽰。

弹性模量：材料的抗弹性变形的⼀个量，材料刚度的⼀个指标。

它只与材料的化学成分有关，与其组织变化⽆关，与热处理状态⽆关。

各种钢的弹性模量差别很⼩，⾦属合⾦化对其弹性模量影响也很⼩。

剪切模量
基本概念
剪切模量：材料常数,是剪切应⼒与应变的⽐值。

⼜称切变模量或刚性模量。

材料的⼒学性能指标之⼀。

是材料在剪切应⼒作⽤下，在弹性变形⽐例极限范围内，切应⼒与切应变的⽐值。

它表征材料抵抗切应变的能⼒。

模量⼤，则表⽰材料的刚性强。

剪切模量的倒数称为剪切柔量，是单位剪切⼒作⽤下发⽣切应变的量度，可表⽰材料剪切变形的难易程度。

纤维复合材料层间剪切模量测试
随着纤维增强复合材料产品的⼴泛应⽤，且产品设计均采⽤计算机，特别是航天航空部门、军⼯产品，计算越来越精确，因此，对材料性能要求更全⾯，如要求测出复合材料层板的层间剪切模量G13，G23等性能。

根据我们的长期实践经验及理论分
析，可以应⽤GB/T1456三点外伸梁弯曲法来测试复合材料层板的G13、G23等。

三点外伸梁弯曲法的特点是，可以⽤梁外伸端的位移（挠度）独⽴地计算出梁材料的弯曲弹性模量。

由梁当中的挠度及外伸端的位移（挠度）可以⼀次计算出梁材料的层间剪切模量，不必象⽂献等解联⽴⽅程，其优越性显著。

筑坝堆⽯料的剪切模量
⼯开采的碎⽯(堆⽯料)是堆⽯坝主要的筑坝材料，为了较好地把握堆⽯料的等效动剪切模量和等效阻尼⽐特性，为堆⽯坝地震反应分析时的材料参数选取提供依据，笔者采⽤新研制的⾼精度⼤型液压伺服三轴仪［1］，对若⼲堆⽯坝⼯程的⼗余种模拟堆⽯料进⾏等效动剪切模量与等效阻尼⽐试验，按统⼀的经验公式进⾏必要的参数换算或均化处理，给出了堆⽯料最⼤等效动剪切模量的估算式，并将其与国内外8座堆⽯坝现场弹性波试验深⼊⽐较，对各种堆⽯料的等效动剪切模量、等效阻尼⽐与动剪应变幅的依赖关系进⾏综合分析，给出试验的统计结果，建议了归⼀化等效动剪切模量与动剪应变幅以及等效阻尼⽐与动剪切应变幅关系的取值范围。

1试料与试验条件
本⽂试验⽤料均为⼈⼯开采的堆⽯料，根椐实际⼯程设计级配要求和三轴仪试样直径模拟的试料级配曲线如图1所⽰。

其中，公伯峡堆⽯坝的3种主堆⽯料采⽤的是同⼀种级配曲线。

表1列出各试料的岩性、平均粒径、不均匀系数、初始孔隙⽐以及围压等试验条件。

除了瀑布沟和关门⼭堆⽯料外，其它堆⽯料的试验均在等向固结条件下进⾏，振动时采⽤不排⽔状态。

试样制备采⽤分层压实法，试验振动频率均为0.1Hz.
⼟的⾮线性性质通常采⽤等效线性模型，即把⼟视为粘弹性体，⽤等效动弹模Eeq(或动剪切模量Geq)和等效阻尼⽐h这两个参数来反映⼟的动应⼒-应变关系的⾮线性和滞后性，并把它们表⽰为动应变幅的函数。

需要指出，试验中每级荷载振动12～15次，不同的加荷周次实测的应⼒-应变滞回曲线多少有⼀些差别，由此算出的等效动弹模和阻尼⽐也不完全⼀样。

因此，在分析整理试验成果时，轴向应变、等效动弹模以及阻尼⽐均以第3次⾄第10次的平均值给出。

2试验结果与分析
2.1最⼤等效动弹模(Eeq)max的确定本⽂试验所测得最⼩轴向应变可信度为
10-5量级，尽管试验数据中还有⼩于10-5的⼀些数据，但其离散度较⼤。

图2给出⼀组等效动弹模与轴向应变关系的实测结果。

以往的研究表明［2］，砂、砾⽯、软岩⽆论是静⼒还是动⼒荷载条件下，当轴向应变⼩于10-5时均具有线弹性性质。

因此，如图2所⽰，本⽂按εa＝10-6～10-5范围内堆⽯料呈线弹性假定推求最⼤等效动弹模(Eeq)max。

这种⽅法与现⾏的⼀些⼟⼯试验规范建议的⽅法不同，规范建议
⽤1/Eeq与轴向应变εa关系在纵轴上截距的倒数求出最⼤等效动弹模。

事实上，这种⽅法基于双曲线模型的假定，对堆⽯料来说1/Eeq～εa并不⼀定满⾜直线关系，且在延伸实验数据时含有较多的不确定性或任意性。

2.2最⼤等效动剪切模量(Geq)max与平均有效应⼒ζm的关系实测最⼤等效动弹模(Eeq)max 与平均有效应⼒ζm在对数坐标下可以近似地直线关系，表⽰为 (Eeq)max＝kζnm
(1)
式中：k是等效弹模系数，n是模量指数，Eeq和ζm的单位是kPa.
为了便于⽐较，将最⼤等效动弹模(Eeq)max换算成最⼤等效动剪切模量(Geq)max，并引⼊F(e)以消除孔隙⽐的影响，于是最⼤等效动剪切模量可表⽰为［２～4］
(Geq)max＝AF(e)ζnm
(2)
式中：A为等效剪切模量系数；e为孔隙⽐；F(e)＝(2.17-e)2/(1+e)是孔隙⽐函数；(Geq)max为最⼤等效动剪切模量，(Geq)max＝(Eeq)max/2(1+µ)，其中泊桑⽐µ根据试验条件取值，即不排⽔状态取0.5.剪应变γ与轴向应变εa的关系为
γ=εa(1+µ)
(3)
表2列出13种堆⽯料的等效弹模系数k、等效剪切模量系数A、模量指数n和孔隙⽐函数F(e).由表2可见，尽管这13种堆⽯料的岩性及风化程度、初始孔隙⽐和级配(包括平均粒径、不均匀系数)都有较⼤的差别，但模量指数n的变化范围⼤致在0.4～0.6之间，与⽂献［5］统计的8种粗砾料的结果⼀致。

⽽等效剪切模量系数A 的范围较⼤，从2000到10000之间变化。

图3汇总了本⽂所完成的13种堆⽯料的试验结果。

为了与现场弹性波试验结果⽐较，对所有试验数据再进⾏回归分析给出其平均线和上、下包线。

可以看出，平均模量指数为0.5，平均等效动剪切模量系数为7645.
2.3现场弹性波试验与室内三轴试验结果⽐较70年代末80年代初，⽇本电⼒中央研究所对⽇本的5座不同岩质的堆⽯坝进⾏了弹性波试验并将其试验结果与室内⼤型三轴试验进⾏过⽐较［６-7］，⽇本建设省⼟⽊研究所曾对三保和七宿两座堆⽯坝进⾏过现场弹性波试验和室内⼤型三轴试验［８-9］。

笔者等对我国关门⼭⾯板堆⽯坝进⾏了现场弹性波试验并与⽂献［6，7］做
过⽐较分析［5］。

本⽂将再次引⽤这些成果，将室内试验测得的13种堆⽯料的平均最⼤等效动剪切模量及其上、下包线按下式换算成剪切波速进⾏⽐较
(4)
式中：g是重⼒加速度,9.81m/s2;γt是堆⽯体密度,t/m3；最⼤等效动剪切模量(Geq)max的单位应换算成t/m2；剪切波速vs的单位是m/s.
需要说明，式(2)中的平均有效应⼒［9］
ζm＝1/3(1+µ)(1+K)γtz
(6)
式中：泊松⽐µ取0.35，主应⼒⽐K取1.5，z为深度，m.
图4是现场弹性波试验与室内三轴试验结果⽐较，其中曲线4是本⽂图3中建议的平均线⽅程，曲线5和曲线6分别是图3中的上包线和下包线。

曲线7是关门⼭⾯板坝现场弹性波试验成果。

由此可见，本⽂室内⼤型三轴试验给出的范围基本包络了⽇本和我国的8座堆⽯坝现场弹性波试验的结果。

现代堆⽯坝采⽤机械化碾压施⼯技术，堆⽯坝体的密度较⾼且都⽐较接近，因此8座堆⽯坝现场弹性波试验结果基本吻合，关门⼭⾯板坝的试验结果近似为平均值。

总体来说，室内⼤型三轴仪试验所得到的结果⽐现场弹性波试验结果要低⼀些，这主要是由于实际⼯程堆⽯料颗粒间构造安定，⽽室内试验时堆⽯材料受到严重扰动以及试样尺⼨限制所致。

2.4归⼀化等效动剪切模量Geq/(Geq)max与动剪应变幅γ关系图5给出归⼀化等效动剪切模量随动剪应变幅的依赖关系的典型实例，即吉林台与洪家度两座⾯板堆⽯坝主堆⽯料的试验结果。

⼀般来说，归⼀化等效动剪切模量随动剪应变幅增⼤⽽衰减，其衰减的程度主要受围压ζc或平均有效应⼒ζm的影响。

围压越低，归⼀化等
效动剪切模量衰减就越快(即衰减曲线偏左下侧)，这⼀现象与砂的研究成果类似。

由
图5可以看出，归⼀化等效动剪切模量随动剪应变幅变化是有⼀定范围的，且变化范围因材料不同⽽异。

洪家渡堆⽯料的上限⽐吉林台堆⽯料略⾼，且归⼀化等效动剪切模量随动剪应变幅的变化范围也⽐吉林台要⼤⼀些。

但总体上看，两者的差别并不⼗分显著。

为了对各种堆⽯料的试验结果进⾏⽐较，将作者近年来⽤本⽂⽅法测得的各种堆⽯料的归⼀化等效动剪切模量与动剪应变幅的依赖关系汇总于图6.图中每条曲线表
⽰⼀种试验堆⽯料Geq/(Geq)max～γ变化范围的平均值。

从图中结果可以看出，尽
管这些堆⽯料的岩性和级配等有较⼤差别，且最⼤等效动剪切模量的变化范围也较⼤，但各种堆⽯料的归⼀化等效动剪切模量与动剪应变幅的依赖关系的离散性并不⼤。

为便于应⽤，本⽂将图6中各种堆⽯料的试验结果再做平均处理，建议了⼀般堆⽯料归⼀化等效动剪切模量与动剪应变幅依赖关系的取值范围如图7所⽰。

图6各种堆⽯料归⼀化等效动剪切模量
与动剪应变幅关系平均值的⽐较
图7堆⽯料归⼀化等效动剪切模量
与动剪应变幅关系取值范围
图8各种堆⽯料等效阻尼⽐
与动剪应变幅关系平均值的⽐较
图9堆⽯料等效阻尼⽐
与动剪应变幅关系取值范围
2.5等效阻尼⽐h与动剪应变幅γ的关系⼤量的研究表明［３，4，7，8］，动
剪切模量越⾼等效阻尼⽐就越低，等效阻尼⽐不仅随动剪应变幅γ的增⼤⽽增加，⽽且还与围压ζc或平均有效应⼒ζm有关，在相同的动剪应变幅情况下，围压ζc增⼤，
等效阻尼⽐减⼩。

此外，固结应⼒⽐K对等效阻尼⽐也有影响，即在相同的围压ζc 及动剪应变幅情况下，固结应⼒⽐K增加则等效阻尼⽐减⼩。

本⽂汇总了各种堆⽯料的等效阻尼⽐与动剪应变幅的关系如图8，图中每条曲线即代表⼀种试验堆⽯料的h ～γ变化范围的平均值。

可以看出，各种堆⽯料的等效阻尼⽐随动剪应变幅变化的离散度⽐归⼀化等效动剪切模量随动剪应变幅变化的离散度要⼤⼀些。

图9是将图8中各种堆⽯料的试验结果再做平均处理，建议⼀般堆⽯料等效阻尼⽐与动剪应变幅依
赖关系的取值范围。

总体上看，堆⽯料的等效阻尼⽐不⾼，当动剪应变幅γ=10-5时，等效阻尼⽐约2%左右，γ=10-4时，等效阻尼⽐接近5%，⽽当动剪应变幅⼤于γ=10-4后，阻尼⽐上升得较快，这说明堆⽯料进⼊较强的⾮线性，应变滞后于应⼒的现象越加明显。

需要指出，等效阻尼⽐的离散范围⽐较⼤，这⼀⽅⾯是堆⽯料本⾝含有的不确定性引起，另⼀⽅⾯也与试验数据的分析整理⽅法有关。

3结语
(1)本⽂依据室内⾼精度⼤型三轴试验给出的⼗余种堆⽯料最⼤等效动剪切模量的估算公式与国内外8座堆⽯坝现场弹性波试验结果基本吻合，由此说明，尽管堆⽯坝筑坝材料的级配、初始孔隙⽐、岩性以及风化程度等不尽相同，但由于采⽤重型碾机械化施⼯，现代堆⽯坝的实际填筑密度较⾼，坝体内剪切波速分布也⼤体接近。

(2)在尚未取得堆⽯料试验数据的情况下进⾏堆⽯坝地震反应分析，可参考本⽂图3和图4粗略估计最⼤等效动剪切模量，参考图7和图9确定归⼀化等效动剪切模量、等效阻尼⽐与动剪应变幅的关系。

选取计算参数时应主要考虑岩质硬度、静抗剪强度等对最⼤等效动剪切模量以及衰减关系的影响。

应该说，按本⽂建议公式或给出的范围估算，可以满⾜⼯程需要。

(3)与粘⼟和砂相⽐，筑坝堆⽯料的试验设备和试验技术⽅⾯都存在许多的困难，迄今为⽌，有关堆⽯料的动剪切模量和阻尼⽐⽅⾯的试验资料尚不多见，作者将进⼀步积累资料做深⼊地研究。

弹性模量和切变模量
材料在外⼒作⽤下发⽣变形。

当外⼒较⼩时，产⽣弹性变形。

弹性变形是可逆变形，卸载时，变形消失并恢复原状。

在弹性变形范围内，其应⼒与应变之间保持线性函数关系，即服从虎克(Hooke)定律：
弹性模量是表征晶体中原⼦间结合⼒强弱的物理量，故是组织结构不敏感参数。

在⼯程上，弹性模量则是材料刚度的度量。

实际上，理想的弹性体是不存在的，多数⼯程材料弹性变形时，可能出现加载线与卸载线不重合、应变滞后于应⼒变化等弹性不完整性。

弹性不完整性现象包括包申格效应、弹性后效、弹性滞后和循环韧性等。

对⾮晶体，甚⾄对某些多晶体，在较⼩的应⼒时，可能会出现粘弹性现象。

粘弹性变形是既与时间有关，⼜具有可恢复的弹性变形，即具有弹性和粘性变形量⽅⾯特征。

粘弹性变形是⾼分⼦材料的重要⼒学特性之⼀。

当施加的应⼒超过弹性极限时，材料发⽣塑性变形，即产⽣不可逆的永久变形。

通过塑性变形，不但可使材料获得预期的外形尺⼨，⽽且可使材料内部组织和性能产⽣变化。

单晶体塑性变形的两个基本⽅式为滑移和孪⽣。

滑移和孪⽣都是切应变，⽽且只有当外加切应⼒分量⼤于晶体的临界分切应⼒tC时才能开始。

然⽽，滑移是不均匀切变，孪⽣为均匀切变。

对于多晶体⽽⾔，要求每个晶粒⾄少具备由5个独⽴的滑移系才能满⾜各晶粒在变形过程中相互制约和协调。

多晶体中，在室温下晶界的存在对滑移起阻碍作⽤，⽽且实践证明，多晶体的强度随其晶粒细化⽽提⾼，可⽤著名的Hall-Petch公式来加以描述
弹簧钢的切变模量取值
⾦属弹簧材料种类繁多，现在⼤量使⽤的是弹簧钢。

在选⽤弹簧钢进⾏弹簧设计计算时，要⽤到材料的切变模量或弹性模量。

⽬前，国内外⼏乎所有的设计资料和有关教科书［1］以及GB／T1239．6-92《圆柱螺旋弹簧设计计算》等对⾦属弹簧材料的切变模量都以定值给出。

但其中的圆柱螺旋弹簧、蜗卷弹簧、⾮线性特性线螺旋弹簧、多股螺旋弹簧等，如按上述传统设计资料中给出的切变模量取值，那么，计算的弹簧变形量与其实际测量的变形量有较⼤的误差。

现以我⼚⽣产的NYL-2000型压⼒试验机上使⽤的测⼒弹簧为例试述如下。

1设计计算的弹簧伸长量与实测伸长量
⼤、⼩测⼒弹簧(由上海中国弹簧⼚加⼯)是普通圆柱螺旋拉伸弹簧。

弹簧材料为60Si2MnA，热处理45～50HRc。

其部分设计参数如表1。

表1
名称钢丝直径
(mm)弹簧中径
(mm)有效圈数额定载荷
(N)
⼤测⼒弹簧16100125000
⼩测⼒弹簧129112.52000
如按表1中的设计参数，并取传统的切变模量值G＝8×104MPa［4］，计算的⼤、⼩测⼒弹簧在额定载荷下的伸长量分别为
91.55mm和90.85mm。

弹簧伸长量公式［4］：
式中：P—额定载荷；D—弹簧中径；n—弹簧有效圈数；
d—弹簧钢丝直径；G—材料切变模量。

上述只是设计计算的弹簧伸长量。

众所周知，由于加⼯后的成品弹簧，特别是热绕成形并需经热处理的弹簧，不可避免地存在着⼀定的尺⼨偏差。

如弹簧钢丝直径、弹簧中径等都可能与设计时的参数不同，甚⾄偏差很⼤［4］。

这就导致了弹簧的实
际伸长量与设计计算的伸长量存在着⼀定的误差。

表2就是笔者根据检验时测量的弹簧的有关尺⼨，再按传统的材料切变模量取值计算的伸长量与其实际测量的伸长量⽐较。

表2单位：mm
序号弹簧外径(D2)弹簧钢丝直径(d)弹簧中径(D)额定载荷下的伸长量(F)
实测值按实测尺⼨代⼊的计算值计算值与实测值之差
⼤测⼒弹簧1116.515.75100.759699.723.72
2113.515.897.78789.792.79
3116.215.3100.9108112.484.48
⼩测⼒弹簧410211.990.187.591.193.69
5103.2103.511.7591.697100.803.80
6103.511.4692.04109113.014.01
注：额定载荷下计算的伸长量取G＝8×104MPa。

从表2中可以看出，额定载荷下的伸长量，其中按实际测量的弹簧有关尺⼨计算的伸长量，要⽐设计计算的伸长量分别⼤(-1．76～20．93)mm和(0．34～22．16)mm。

⽽仍与其实测值相差3．21％～4．15％。

为什么设计计算的弹簧伸长量与其实测值相差如此之⼤?正如《弹簧》中提出：“弹簧的特性线，即使是最精确和最仔细的计算，其结果和实际的数值总有⼀定程度的差异，这是由于制成的弹簧不可避免的存在着⼀定的⼯艺误差，以及材料组织⾮绝对均匀所造成”。

⼜“由于尺⼨误差和材料因素的影响，计算的特性线与实测值有⼀定的差异”。

“因此，对特性线有较严格要求的弹簧应经过试验，反复修改有关尺⼨后，⽅可成批⽣产”［1］。

可见，弹簧变形量的实测值与其设计计算值的确存在着⼀定的误差。

然⽽，即使按实际测量的弹簧尺⼨代⼊计算的伸长量为什么仍与其实测值有较⼤的误差呢?笔者认为，除去弹簧的“尺⼨误差”(含测量误差)和“材料因素”(内部组织⾮绝对均匀)的影响，弹簧的实际伸长量与按其实测尺⼨计算的伸长量之间存在的误差，主要原因是由于弹簧材料经过热处理后的切变模量发⽣了变化⽽造成的。

2热处理后的弹簧钢的切变模量
为了使弹簧能获得较⾼的屈服极限、弹性极限、⾼的屈强⽐和疲劳强度，弹簧⼀般都要经过热处理。

⽽经过热处理的弹簧材料的弹性模量和切变模量却发⽣了变化。

其中，切变模量变化较⼤，如常⽤的弹簧钢60Si2MnA经过淬⽕和不同温度回⽕处理的弹性模量和切变模量抄于表3。

表3弹性模量与切变模量
回⽕温度℃350400450480
Ekg/mm220270(360℃回⽕)2082320960(440℃回⽕)20860
G814382458316
注：回⽕前先经860℃淬⽕
表3说明弹簧材料经过淬⽕，回⽕处理后的切变模量G变化较⼤，在⼀定范围内随回⽕温度的升⾼⽽增⼤，并不再是传统的
8×104MPa等。

3取热处理后的切变模量值计算的弹簧伸长量与其实测值⽐较
如取表3中450℃回⽕后的切变模量值83160MPa，硬度约为47HRc，再按表2中测⼒弹簧的实测尺⼨代⼊公式计算的结果列于表4。

表4单位：mm
序号额定载荷下的弹簧伸长量
实测值取G=83160MPa的计算值计算值与实测值相对误差(%)
19695．93-0．07
28786．38-0．71
3108108.210.21
487.587.720.25
59796.97-0.03
6109108.72-0.26
注：序号同表2。

显然，表4中按热处理后的切变模量取值计算的弹簧伸长量与其实测值较为接近。

其中最⼤的误差为-0．71％。

这说明当弹簧尺⼨、载荷等相同时，其伸长量决定于材料的切变模量。

或者在不考虑其它条件时，仅因热处理改变了材料的切变模量，如
60Si2MnA经450℃回⽕处理后的切变模量83160MPa与传统的8×104MPa相⽐就
可使弹簧的变形量相差约3．95％；⽽与GB／T1239．6-92中规定的78×103N／mm2则相差6．62％。

如果弹簧材料为铬钒钢，如50CrVA，取其600℃回⽕时(硬度约为47．5HRc)的切变模量G值为86600MPa［6］G＝8×104MPa和78×103N／mm2
相⽐较，分别相差8．25％和11．03％。

亦即，当弹簧材料、钢丝直径、弹簧中径、有效圈数以及结构、载荷等都保持不变时，只是由于材料经过热处理后的切变模量值
改变，将使弹簧的变形量早在设计计算时就已产⽣了先天性误差3．95％或6．62％，甚⾄更达8．25％或11．03％。

这个误差并不是由于弹簧尺⼨和材料内部的组织不
均匀所造成的，⽽是⼈为的误处理或忽略了热处理对材料切变模量的影响。

因为，切
变模量不仅仅是材料本⾝固有的特性，⽽且还与热处理状态有关，并决定弹簧的变形量与载荷之间的关系。

为此，笔者认为，在对特性线要求较⾼的螺旋弹簧进⾏设计计
算时，似应根据弹簧的服役条件，如⼯作温度、载荷等，且考虑热处理对其切变模量
的影响。

即按热处理后的弹簧材料的切变模量取值，⽽不是传统的给定值。

即使对于
特性线要求不⾼的螺旋弹簧来说，也不该不考虑弹簧经过热处理后的切变模量的变化。

⾄于具体应取何值，这主要根据弹簧的⼯作条件、载荷性质等确定。

⼀般情况下，弹
簧需经淬⽕加中温回⽕处理。

按GB／T1239．6-92规定，热处理45HRc～50HRc。

只要在相应的回⽕温度和硬度要求范围内选取切变模量即可。

⾄于合⾦为单相固溶体时，由于溶质原⼦存在会呈现固溶强化效果，对某些材料
还会出现屈服和应变时效现象；当合⾦为多相组织结构时，其变形还会受到第⼆相的
影响，呈现弥散强化效果。

⽽陶瓷晶体，由于其结合键（离⼦键、共价键）的本性，再加上陶瓷晶体中的滑移系少，位错的b⼤，故其塑性变形相对⾦属材料要困难得多，只有以离⼦键为主的
单晶陶瓷才能进⾏较⼤的塑性变形。

对于⾼分⼦材料，其塑性变形是靠粘性流动⽽不是靠滑移产⽣的，故与材料粘度密切相关，⽽且受温度影响很⼤。

材料经塑性变形后，外⼒所做的功部分以储存能形式存在于材料内部，从⽽使系统的⾃由能升⾼，处于不稳定状态。

故此，回复再结晶是材料经过冷变形后的⾃发趋势，加热则加快这⼀过程的发⽣。

当加热温度较低，时间较短时，发⽣回复。

此时，主要表现为亚结构的变化和多边化过程，第⼀类内应⼒⼤部消除，电阻率有所下降，⽽对组织形态和⼒学性能影响不⼤。

当加热温度较⾼，时间较长时就发⽣再结晶现象。

再结晶时，新的⽆畸变等轴晶将取代冷变形组织，其性能基本上回复到冷变形前的状态。