构造函数法在解题中的应用

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构造函数法在解题中的应用
构造函数法在解题中的应用
摘要:函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。

本文就构造函数这一方法在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。

关键词:函数思想;构造函数;不等式;方程;应用
函数思想,指运用函数的概念和性质,通过类比联想转化合理地构造函数,然后去分析、研究问题,转化问题并解决问题。

因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数量特征,建立函数关系。

函数思想在数学应用中占有重要的地位,应用范围很广。

函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中,而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。

根据需要,构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法,这种方法也已渗透到中学数学中。

首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,用函数的观点加以分析,常可使问题变得明了,从而易于找到一种科学的解题途径。

其次数量关系是数学中的一种基本关系。

现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。

因此,如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元,从而揭示其中主要的函数关系,有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。

下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。

一、构造函数解决有关不等式的问题
有些不等式证明和比较大小的问题,如能根据其结构特征,构造相应的函数,从函数的单调性或有界性等角度入手,去分析推理,证明过程就会简洁又明快。

例1:若,则的大小关系是。

分析:式中各项的结构相同,只是字母不同,故可构造函数进行
判断。

解:构造函数,易证函数在其区间是单调递增函数。

例2(2008年山东理):已知函数其中为常数。

当时,证明:对任意的正整数,当时,有
证法一:因为,所以。

当为偶数时,令则()所以当时,单调递增。

又,因此恒成立,所以成立。

当为奇数时,要证,由于,所以只需证,令,则(),所以,当时,单调递增,又,所以当时,恒有,即命题成立。

综上所述,结论成立。

证法二:当时,,当时,对任意的正整数,恒有,故只需证明。

令则,当时,,故在上单调递增,因此当时,,即成立。

故当时,有,即。

试题分析:第二问需要对构造的'新函数进行“常规处理”,即先证单调性,然后求最值,最后作出判断。

评注:函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理,使之成为一个系统,在具体运用时自如流畅,既要具有一定的思维定向,也要谨防盲目套用。

函数与不等式之间如同一对孪生兄弟,通过对不等式结构特征的分析,来构造函数模型,常常可以收到出奇制胜的效果。

此类问题对转化能力要求很高,不能有效转化是解题难以突破的主要原因,要善于构造函数证明不等式,从而体现导数的工具性。

二、构造函数解决数列中的有关问题
数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系.
例3:在等差数列中,已知Sp = q , Sq = p ( p ≠q) ,求 Sp+q 的值。

略解:因为是n的一次函数,点( n , ) 共线,所以点(p , ), ( q , ) , ( p + q , ) 共线,则有化简即得 Sp+q = -( p + q ) 。

例4:等差数列{ }的首项 ,前项的和为 ,若 ,问为何值时最大?
简析:运用数列中的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决。

解:依题意,设此函数是以为自变量的二次函数。

故二次函数的图象开口向下当时, 最大,但中, 当为偶数时, 时, 最大当为奇数时, 时, 最大。

三、构造函数解决方程有解、无解及若干个解的问题
方程有解、无解问题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域,或直接构造函数。

例5(2010上海文科数学):若是方程式的解,则属于区间()
A. (0,1)
B.(1,1.25)
C.(1.25,1.75)
D.(1.75,2)
解析:
知属于区间(1.75,2)
例6(2010天津文科数学):设函数f(x)=x- ,对任意恒成立,则实数m的取值范围是________。

答案:m<-1
解析:本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题。

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