人教A版高中数学选修3-3-2.1 球面上的距离-课件(共21张PPT)
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球面上的距离
旧知回顾
上一讲中，运用欧式几何的方法， 研究了球面的一些性质．这次课从球面 上的距离和角入手，进入球面几何的学 习．
导入新课
欧式几何中，用距离和角度（方位） 来刻画位置间的关系，对于球面的学习， 从球面上的距离和角两个基本概念开始．
球面上的距离和角
一、球面上的距离
我们知道，在平面上，经过两 点可以连一条直线，且只可连一条 直线．平面上两点之间的所有连线 中，线段最短，这条线段的长度叫 做两点之间的距离．
平面上的两条直线有两种位置关系： 平行和相交，如果相交，那么只有一个 交点．平面上的直线可以无限延长等 等．这些都是平面上直线的性质．
在平面上可以画出直线，但球面是 一个曲面，球面上的线是弯曲的，不存 在直线．
探究
球面上有没有某种曲线可以“扮演” 平面上直线的角色呢？连结球面上任意 两点有无数条曲线，而且它们的长短不 一，其中是否存在一条最短的曲线？
的平面都经过球心O．所以这两个大圆所 在的平面有一个公共点，因此这两个平面 必有一条过球心O的相交直线，这条相交 直线显然是球面的直径所在的直线，两个 大圆的交点是这条直径的两个端点A，
A´．我们把球的直径的两个端点A，A´称
为对径点．因此，两个大圆相交于对径点
A，A´．
谢谢
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
径为R，如图，在北纬 45°的纬线上有A，B两 点，且 所对的圆心
角∠AO´B=90°，求球
面上A，B两点间的距 离．
O´
A
B
O
解：如图，连结OA，OB，AB，OO´.由纬度的意义，
可得 OBO'
45o ,O' B = R cosOBO' = R cos45o =
2 2
R.
同理，O' A =
2 2
R.
因为∠AO´B=90°．
O´
A
B
所以 AB =
O' A2 O'B2
(
2 2
R)2
(
2 2
R)2
R.
O
又因为OA=OB=R，所以∠AOB=60°，
因此，球面上A，B两点间的距离等于
3
R.
由于不在同一条直线上的三点唯一 确定一个圆，因此过球面上两点必可连 一条大圆弧—劣弧．这类似平面上经过 两点可以连一条直线，且只可能连一条 直线；平面上两点之间的最短路径是线 段．因此，球面上的大圆可以“扮演” 平面上直线的角色．
如下图，一架飞机从北京首都国
际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼 迪国际机场，京与纽约大致都在北 纬40°上，如果不考虑其他因素，飞 机如何飞行才能使航程最短？
A
B
B O
A
B、A两点的距离是多少？
北T
N
B 北京
O´ S 旧金山
O
南
如上图，我们用点B代表北京、点N
代表纽约，点O表示球心．用经过B点、
如果我们把图中的大圆弧和小圆弧 画到同一个平面，如下图．
T S
B
N
r´ O´ r
O
观察图形可知，以O为圆心，OB 为半径的圆弧 ，比以点O为圆心， OB为半径的圆弧 要短．也就是说， 平面上经过任意两点的劣弧中，半径 越大，劣弧越短．
因此过球面上两点一定可以连一
条且只可以连一条大圆弧——劣弧．
例 假设地球的半
N点、 O点的平面去截球面，得到一个大 圆（由于平面过球心），那么B点、 N点
就把这个大圆分成两段圆弧，长的一段叫
优弧，短的一段叫劣弧．劣弧的长度就是
球面上两点间的最短距离，简称之为球面 上两点间的距离。
再回到上图，很容易得到，飞
机沿着大圆从北京向北经极地飞行 到达纽约，航程最短，它比飞机向 东沿北纬40°的小圆，经旧金山到 达纽约的航程要短．
尽管球面上的大圆可以“扮演”
平面上直线的角色，但是两者之间也 有很大的不同．平面上的两条直线可 以相交：只有一个交点；也可以不相 交（平行）：没有交点．但是球面上 任意两个大圆（类似平面上的两条直 线）必定相交，且有两个交点．
思考
为什么两个大圆必定相交，且有 两个交点？
A´ O A
如上图，因为球面上的两个大圆所在
旧知回顾
上一讲中，运用欧式几何的方法， 研究了球面的一些性质．这次课从球面 上的距离和角入手，进入球面几何的学 习．
导入新课
欧式几何中，用距离和角度（方位） 来刻画位置间的关系，对于球面的学习， 从球面上的距离和角两个基本概念开始．
球面上的距离和角
一、球面上的距离
我们知道，在平面上，经过两 点可以连一条直线，且只可连一条 直线．平面上两点之间的所有连线 中，线段最短，这条线段的长度叫 做两点之间的距离．
平面上的两条直线有两种位置关系： 平行和相交，如果相交，那么只有一个 交点．平面上的直线可以无限延长等 等．这些都是平面上直线的性质．
在平面上可以画出直线，但球面是 一个曲面，球面上的线是弯曲的，不存 在直线．
探究
球面上有没有某种曲线可以“扮演” 平面上直线的角色呢？连结球面上任意 两点有无数条曲线，而且它们的长短不 一，其中是否存在一条最短的曲线？
的平面都经过球心O．所以这两个大圆所 在的平面有一个公共点，因此这两个平面 必有一条过球心O的相交直线，这条相交 直线显然是球面的直径所在的直线，两个 大圆的交点是这条直径的两个端点A，
A´．我们把球的直径的两个端点A，A´称
为对径点．因此，两个大圆相交于对径点
A，A´．
谢谢
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
径为R，如图，在北纬 45°的纬线上有A，B两 点，且 所对的圆心
角∠AO´B=90°，求球
面上A，B两点间的距 离．
O´
A
B
O
解：如图，连结OA，OB，AB，OO´.由纬度的意义，
可得 OBO'
45o ,O' B = R cosOBO' = R cos45o =
2 2
R.
同理，O' A =
2 2
R.
因为∠AO´B=90°．
O´
A
B
所以 AB =
O' A2 O'B2
(
2 2
R)2
(
2 2
R)2
R.
O
又因为OA=OB=R，所以∠AOB=60°，
因此，球面上A，B两点间的距离等于
3
R.
由于不在同一条直线上的三点唯一 确定一个圆，因此过球面上两点必可连 一条大圆弧—劣弧．这类似平面上经过 两点可以连一条直线，且只可能连一条 直线；平面上两点之间的最短路径是线 段．因此，球面上的大圆可以“扮演” 平面上直线的角色．
如下图，一架飞机从北京首都国
际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼 迪国际机场，京与纽约大致都在北 纬40°上，如果不考虑其他因素，飞 机如何飞行才能使航程最短？
A
B
B O
A
B、A两点的距离是多少？
北T
N
B 北京
O´ S 旧金山
O
南
如上图，我们用点B代表北京、点N
代表纽约，点O表示球心．用经过B点、
如果我们把图中的大圆弧和小圆弧 画到同一个平面，如下图．
T S
B
N
r´ O´ r
O
观察图形可知，以O为圆心，OB 为半径的圆弧 ，比以点O为圆心， OB为半径的圆弧 要短．也就是说， 平面上经过任意两点的劣弧中，半径 越大，劣弧越短．
因此过球面上两点一定可以连一
条且只可以连一条大圆弧——劣弧．
例 假设地球的半
N点、 O点的平面去截球面，得到一个大 圆（由于平面过球心），那么B点、 N点
就把这个大圆分成两段圆弧，长的一段叫
优弧，短的一段叫劣弧．劣弧的长度就是
球面上两点间的最短距离，简称之为球面 上两点间的距离。
再回到上图，很容易得到，飞
机沿着大圆从北京向北经极地飞行 到达纽约，航程最短，它比飞机向 东沿北纬40°的小圆，经旧金山到 达纽约的航程要短．
尽管球面上的大圆可以“扮演”
平面上直线的角色，但是两者之间也 有很大的不同．平面上的两条直线可 以相交：只有一个交点；也可以不相 交（平行）：没有交点．但是球面上 任意两个大圆（类似平面上的两条直 线）必定相交，且有两个交点．
思考
为什么两个大圆必定相交，且有 两个交点？
A´ O A
如上图，因为球面上的两个大圆所在