2020-2021学年江西省南昌市高一上学期期末数学试题解析

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江西省南昌市八一中学2020-2021学年高一文理分班考试数学试题答案和解析

故答案为B．
6．C
【解析】
由已知可得，故选C.
7．C
【解析】
试题分析：区间的长度为7，满足不等式即不等式，对应区间长度为2，由几何概型公式可得使不等式成立的概率是。
考点：几何概型
8．C
【解析】
由已知可得（当且仅当时取等号），故选C.
9．D
【解析】
在第一个判断框中,“是”对应的是，故应填 ;在执行框中，计算班级平均分公式应为：，故正确答案为：D.
5．B
【分析】
通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．
【详解】
因为sinC=2sinAcosB，所以sin（A+B）=2sinAcosB，
所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin（A-B）=0，
因为A，B，C是三角形内角，所以A=B．
三角形的等腰三角形．
A． B． C． D．
8．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为
A．9B．12C．18D．22
9．某班有24名男生和26名女生，数据， … 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：，男生平均分：，女生平均分： .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入（）
试题分析：A选项，在单调递增，不正确；B选项，在单调递增，不正确；C选项，在单调递增；D选项，在单调递减，正确；故选D。
考点：函数的单调性
3．C
【解析】
是首项、公差的等差数列，故选C.

期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)

2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。

第四关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)

压轴填空题第四关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。

2020-2021学年江西省景德镇市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江西省景德镇市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．m，n为空间中两条不重合直线，α为空间中一平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m⊥α，m∥n，则n⊥αC．若m∥α，n⊂α，则m∥n D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α3．已知集合A＝{x|0＜log4x＜2}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（2，16）B．（3，8）C．（1，3]D．（1，+∞）4．已知三点A（m，1），B（4，2），C（﹣4，2m）在同一条直线上，则实数m的值为（）A．0B．5C．0或5D．0或﹣55．在平面四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，将该四边形沿着对角线BD折叠，得到空间四边形ABCD，则异面直线AC，BD所成的角是（）A．B．C．D．6．直线kx﹣y﹣1＝0与直线x+2y﹣2＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．7．已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b8．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（）A．4πB．5πC．6πD．8π9．如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图．侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（）A．1+B．+C．+D．+10．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（）A．B．C．D．12．设函数，若函数y＝f（x）﹣4t在区间（﹣1，1）内有且仅有一个零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，﹣]∪{0}二、填空题（共4小题）.13．如图所示，Rt△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图，其中A'C'⊥B'C'，B'O'＝O'C'＝2，则△ABC的面积是．14．已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为．15．经过点P（﹣2，），且在坐标轴上截距相等的直线方程为．16．函数在区间（1，2）上为单调递减函数，则实数t的取值范围为．三、简答题（第17题10分，第18-22题每小题10分，共70分）17．已知直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，分别就下列条件求出实数m的值．（1）直线l1与l2垂直；（2）直线l1与l2平行．18．如图，长方体ABCD﹣A'B'C'D'由，AB＝12，BC＝10，AA'＝6，过A'D'作长方体的截面A'D'EF使它成为正方形．（1）求三棱柱AA'F﹣DD'E的外接球的表面积；（2）求V B﹣A'D'EF．19．已知直线l1：mx+y﹣m﹣2＝0，l2：3x+4y﹣n＝0．（1）求直线l1的定点P，并求出直线l2的方程，使得定点P到直线l2的距离为；（2）过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A、B两点，求使得△AOB面积最小时，直线l的方程．20．已知函数f（x）＝[（a﹣1）x﹣2]（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞0在上恒成立，求实数a的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD．（1）设G，H分别为线段PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（2）求证：PA⊥平面PCD．22．一副标准的三角板（如图1），∠ABC为直角，∠A＝60°，∠DEF为直角，DE＝EF，BC＝DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图2），设M是线段AC的中点，N 是线段BC的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面EMN；（2）设平面ABE∩平面MNE＝l，求证：l∥AB．参考答案一、选择题（共12小题）.1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：∵直线x+y﹣1＝0的斜率k＝﹣．设其倾斜角为θ（θ∈[0°，180°）），则tanθ＝﹣．∴θ＝150°．故选：D．2．m，n为空间中两条不重合直线，α为空间中一平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m⊥α，m∥n，则n⊥αC．若m∥α，n⊂α，则m∥n D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α解：若m∥n，n⊂α，则m⊂α或m∥α，故A错误；若m⊥α，则m垂直α内的两条相交直线a与b，又m∥n，∴n⊥a，n⊥b，则n⊥α，故B正确；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故C错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：B．3．已知集合A＝{x|0＜log4x＜2}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（2，16）B．（3，8）C．（1，3]D．（1，+∞）解：由已知可得：A＝（1，16），B＝（﹣∞，2]，所以∁R B＝（2，+∞），则A∩（∁R B）＝（2，16），故选：A．4．已知三点A（m，1），B（4，2），C（﹣4，2m）在同一条直线上，则实数m的值为（）A．0B．5C．0或5D．0或﹣5解：∵三点A（m，1），B（4，2），C（﹣4，2m）在同一条直线上，∴＝（4﹣m，1），＝（﹣8，2m﹣2 ），与共线，∴（4﹣m）（2m﹣2）﹣（﹣8）＝0，求得m＝0或m＝5，故选：C．5．在平面四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，将该四边形沿着对角线BD折叠，得到空间四边形ABCD，则异面直线AC，BD所成的角是（）A．B．C．D．解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝AD，BC＝CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，∴对角线BD与AC所成的角的大小为．故选：D．6．直线kx﹣y﹣1＝0与直线x+2y﹣2＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．解：由题意可得，解得x＝，y＝，∴且，∴，故选：A．7．已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b解：∵函数＝，0＜（）＜（）0＝1，＞log33＝1，||＝|﹣log35|＝log35＞log3，当x＞0时，f（x）＝（）x是减函数，∵，，，∴a，b，c的大小关系为a＞b＞c．故选：A．8．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（）A．4πB．5πC．6πD．8π解：设底面圆半径为r，由母线长为4，所以侧面展开扇形的圆心角为α＝＝；将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM，如图所示：在Rt△ABM中，斜边BM的长度为：BM＝＝＝2，解得cos＝0，所以r＝1，所以圆锥的表面积为S＝π×12+π×1×4＝5π．故选：B．9．如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图．侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（）A．1+B．+C．+D．+解：由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，体积V＝＝，故选：C．10．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C．11．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（）A．B．C．D．解：设底边边长为a，正四棱锥的高为h，则斜高为，所以侧面积为4××a，即4××a＝3a2，解得．设正四棱锥的内切球半径为r，由等积法可得，所以，即．故选：B．12．设函数，若函数y＝f（x）﹣4t在区间（﹣1，1）内有且仅有一个零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，﹣]∪{0}解：＝，其图象如下：函数y＝f（x）﹣4t在区间（﹣1，1）内有且仅有一个零点，等价于f（x）﹣4t＝0在区间（﹣1，1）内有且仅有一个实数根，又等价于函数f（x）的图象与直线y＝4t在区间（﹣1，1）内有且仅有一个公共点．于是4t＝0，或4t≤﹣1，即t＝0或t，故选：D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图所示，Rt△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图，其中A'C'⊥B'C'，B'O'＝O'C'＝2，则△ABC的面积是8．解：把直观图还原为原图形，如图所示：由题意知，BC＝B′C′＝4，OA＝2O′A′＝2×2＝4，所以△ABC的面积是S△ABC＝BC•OA＝×4×4＝8．故答案为：8．14．已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为．解：如图，设截面四边形为A1B1C1D1，则两四边形相似，由截面面积与底面积的比值为1：4，由相似比等于面积比的平方，可得，∵PA1＝2，∴PA＝PB＝4，又已知BC＝2，∴B1C1＝1，取D为BC的中点，连接PD交B1C1＝D1，则DD1为正四棱台的斜高，可得．∴此棱台的表面积为＝．故答案为：．15．经过点P（﹣2，），且在坐标轴上截距相等的直线方程为y＝﹣x或2x+2y+3＝0．解：①当直线经过原点时，直线方程为y＝﹣x；②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y＝a，则a＝2+＝﹣，因此所求的直线方程为x+y＝﹣，即2x+2y+3＝0，故答案为：y＝﹣x或2x+2y+3＝0．16．函数在区间（1，2）上为单调递减函数，则实数t的取值范围为[1，2]．解：∵函数在区间（1，2）上为单调递减函数，∴y＝﹣x2+tx+2在区间（1，2）上大于零且为单调递减函数．而y＝﹣x2+tx+2的对称轴为x＝，∴，求得1≤t≤2，故答案为：[1，2]．三、简答题（第17题10分，第18-22题每小题10分，共70分）17．已知直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，分别就下列条件求出实数m的值．（1）直线l1与l2垂直；（2）直线l1与l2平行．解：（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，可得1×（m﹣2）+m×3＝0，解得m＝；（2）由l1∥l2，可得m（m﹣2）＝3且8（m﹣2）≠2m，解得m＝﹣1．18．如图，长方体ABCD﹣A'B'C'D'由，AB＝12，BC＝10，AA'＝6，过A'D'作长方体的截面A'D'EF使它成为正方形．（1）求三棱柱AA'F﹣DD'E的外接球的表面积；（2）求V B﹣A'D'EF．解：（1）因为截面A'D'EF为正方形，所以A'F＝A'D'＝10，AA'＝6，在△AFA'中，AF＝，取A'F的中点M，D'E的中点N，因为OF＝OA＝OA'＝OD'＝OE＝OD，则MN的中点O为三棱柱AA'F﹣DD'E外接球的球心，所以r＝OA'＝，所以三棱柱AA'F﹣DD'E外接球的表面积为S＝4πr2＝4π•50＝200π；（2）作BH⊥A'F，垂足为H，因为A'A⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD，所以EF⊥A'A，又EF⊥A'F，且A'A∩A'F＝A，A'A，A'F⊂平面A'B'BA，所以EF⊥A'B'BA，又BH⊂平面A'B'BA，所以BH⊥EF，BH⊥A'F，EF∩A'F＝F，EF，A'F⊂平面A'D'EF，所以BH⊥平面A'D'EF，故BH为四棱锥B﹣A'D'EF的高，又BF＝AB﹣AF＝4，所以BH＝BF•sin∠BFH＝BF•sin∠A'FA＝，所以V B﹣A'D'EF＝•S A'D'EF•BH＝．19．已知直线l1：mx+y﹣m﹣2＝0，l2：3x+4y﹣n＝0．（1）求直线l1的定点P，并求出直线l2的方程，使得定点P到直线l2的距离为；（2）过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A、B两点，求使得△AOB面积最小时，直线l的方程．解：（1）直线l1：mx+y﹣m﹣2＝0，即m（x﹣1）+﹣2＝0，令x﹣1＝0，求得x＝1，y ＝2，可得直线l1的定点P（1，2）．∵定点P（1，2）到直线l2：3x+4y﹣n＝0的距离为＝，∴n＝3，或n ＝19，故直线l2：3x+4y﹣3＝0 或3x+4y﹣19＝0．（2）设过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A、B两点，设A（a，0）、B（0，b），则P、A、B三点共线，＝，∴ab＝2a+b≥2，当且仅当2a＝b时，取等号，∴ab≥1，∴△AOB面积为ab最小值为，此时，a＝，b＝，直线l的斜率为﹣2，直线l的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），即2x﹣y﹣4＝0．20．已知函数f（x）＝[（a﹣1）x﹣2]（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞0在上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）令（a﹣1）x﹣2＞0，当0＜a＜1时，a﹣1＜0，（a﹣1）x＞2则x＜，当a＞1时，a﹣1＞0，（a﹣1）x＞2则x＞，综上所述：当0＜a＜1时，定义域为（﹣∞，）；当a＞1时，定义域为（，+∞）；（2）当0＜a＜1时，，要使f（x）＞0在上恒成立，则（a﹣1）×﹣2＞1，解得a＞，又0＜a＜1，所以无解；当a＞1时，0＜＜1，要使f（x）＞0在上恒成立，则f（）＞0且f（x）在上有意义，则，解得3＜a＜，所以实数a的取值范围为（3，）．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD．（1）设G，H分别为线段PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（2）求证：PA⊥平面PCD．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，∵四边形ABCD为平行四边形，点H是AC的中点，∴AC与BD的交点即为点H，∴BH＝DH，又∵BG＝PG，AC∩BD＝H，∴GH∥PD，又∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴GH∥平面PAD．（2）证明：如图2，取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN⊥PC，又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，∴DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又已知PA⊥CD，CD∩DN＝D，∴PA⊥平面PCD．22．一副标准的三角板（如图1），∠ABC为直角，∠A＝60°，∠DEF为直角，DE＝EF，BC＝DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图2），设M是线段AC的中点，N 是线段BC的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面EMN；（2）设平面ABE∩平面MNE＝l，求证：l∥AB．【解答】（1）证明：∵M是AC的中点，N是BC的∴MN∥AB，∵AB⊥BC，∴MN⊥BC，∵BE⊥EC，BE＝EC，N是BC的中点，∴EN⊥BC，∵MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴BC⊥平面EMN，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面EMN．（2）证明：∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MN∥AB，∵MN⊂平面EMN，AB⊄平面EMN，∴AB∥平面EMN，∵平面ABE∩平面MNE＝l，∴l⊂平面EMN，且l⊂平面ABE，AB与l无交点，∴AB∥l．。

2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】

数学模拟试卷03第I 卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <，故22a b >推不出a b >，故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==，又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤，故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的说法的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误；当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误；当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知，函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称），所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-，由()2f x ≤，解得：()22f x -≤≤，由()f x 在R 上单调递增，解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π；【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π，则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==，故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+，故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________．【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟，由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<，解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______．【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <；当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤．综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞．故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-；根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ，由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =，故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-，故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-，即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+；（2）假设满足条件实数m ，n 的存在，由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+，又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去），假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦，设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1，由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩，而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，故()g x 在[]21,log 3无意义，所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解，综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

江西省南昌市第二中学2023-2024学年高一上学期月考数学试题(一)

教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级，无论是否把我计算在内，
以上条件都成立"由队长的叙述可以推测出他的职称是
.
四、解答题
17．已知集合 A x 2 x 8 ， B x 1 x 6 ， C x x a ，全集U R ． (1)求 A B ； ðU A B ；
(2)如果 A C ，求 a 的取值范围．
所含的纯农药药液不超过桶的容积的 20% ，则桶的容积可能为（）
A．7
B．9
C．11
D．13
11．下列命题正确的是（） A．若 0 a b 3， 2 a b 1，则 1 2a b 4
B．命题“ a 1 ， a2 1 0 ”的否定是“ a0 1， a02 1 0 ”
C．若 ac2 bc2 ，则 a b
b
1
.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看
看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式 ab a b (a 0, b 0) ，当且仅当 a b 时等号成立，它是解 2
决最值问题的有力工具.
例如：在 x 0 的条件下，当 x 为何值时， x 1 有最小值，最小值是多少？ x
m，对于任意
x，y，使得
m
x
2y
恒成立，则 m 的最大值为
.
16．长沙市为了支援边远山区的教育事业.组织了一支由 13 名教师组成的队伍下乡支教，
记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“有中学高级教师，中学教师不
试卷第 2页，共 4页
多于小学教师，小学高级教师少于中学中级教师，小学中级教师少于小学高级教师，支

2020-2021学年江西省南昌二中高一(上)第一次月考数学试卷及答案

2020-2021学年江西省南昌二中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，满分60分）1．（5分）方程组的解集可表示为（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（x，y）|x＝1，y＝2}D．2．（5分）已知集合A＝{a，|a|，a﹣2}，若2∈A，则实数a的值为（）A．﹣2B．2C．4D．2或43．（5分）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A．1B．﹣1C．0，1D．﹣1，0，1 4．（5分）下面的对应是从集合A到集合B的一一映射（）A．A＝R，B＝R，对应关系f：y＝，x∈A，y∈BB．X＝R，Y＝{非负实数}，对应关系f：y＝x4，x∈X，y∈YC．M＝{1，2，3，4}，N＝{2，4，6，8，10}，对应关系f：n＝2m，n∈N，m∈MD．A＝{平面上的点}，B＝{（x，y）|x，y∈R}，对应关系f：A中的元素对应它在平面上的坐标5．（5分）对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）A．（∁U M）∩N B．M∩（∁U N）C．（∁U M）∩（∁U N）D．M∩N6．（5分）已知m＜﹣2，点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x 的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3 7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的值域为，则函数的值域为（）A．[，]B．[，1]C．[，1]D．（0，]∪[，+∞）8．（5分）某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为（）A．181B．182C．183D．1849．（5分）已知函数的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）10．（5分）已知函数，则不等式f（x+1）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[，0]D．[，1）11．（5分）已知函数，当x∈[1，4]时，f（x）＞1恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣4，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣4，+∞）D．（﹣2，+∞）12．（5分）若存在n∈R，且存在x∈[1，m]，使得不等式|mx2+1|+|2nx|≤3x成立，则实数m 的取值范围是（）A．[1，2]B．（﹣∞，2]C．（1，2]D．[2，+∞）二、填空题（每小题5分，满分20分）13．（5分）设函数，函数f（x）•g（x）的定义域为．14．（5分）函数y＝kx2﹣4x﹣8在区间[5，10]上单调递增，则实数k的取值范围为．15．（5分）已知集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，若B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为．16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝g（x）有两个实根为x1，x2，且x1＝tx2，t∈[，3]，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，U＝R，．求（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）A∪B；（Ⅲ）（∁U A）∩B．18．（12分）（1）已知f（x）满足3f（x）+2f（1﹣x）＝4x，求f（x）解析式；（2）已知函数，当x＞0时，求g（f（x））的解析式．19．（12分）已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．（1）若（∁U A）∪B＝R，求a的取值范围；（2）若A∩B≠B，求a的取值范围．20．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．（1）求f（x）解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）+2（1﹣m）x在[2，+∞）上的最小值为﹣7，求实数m的值．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2∈R都有等式f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，有f（x）＞1．（1）求证：函数f（x）在R上单调递增；（2）若f（3）＝4，关于x不等式恒成立，求t的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝|x+m|2﹣3|x|．（1）当m＝0时，求函数y＝f（x）的单调递减区间；（2）当0＜m≤1时，若对任意的x∈[m，+∞），不等式f（x﹣m﹣1）≤2f（x﹣m）恒成立，求实数m的取值范围．2020-2021学年江西省南昌二中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，满分60分）1．（5分）方程组的解集可表示为（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（x，y）|x＝1，y＝2}D．【分析】求出方程组的解，结合选项即可得解．【解答】解：方程组的解为，∴方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，∴{（x，y）|x＝1，y＝2}、、{（1，2）}均符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查方程组的解以及集合的表示方法，属于基础题．2．（5分）已知集合A＝{a，|a|，a﹣2}，若2∈A，则实数a的值为（）A．﹣2B．2C．4D．2或4【分析】由集合A＝{a，|a|，a﹣2}，2∈A，得a＝2，|a|＝2或a﹣2＝2，再由集合中元素的互异性能求出实数a的值．【解答】解：∵集合A＝{a，|a|，a﹣2}，2∈A，∴a＝2，|a|＝2或a﹣2＝2，解得a＝﹣2或a＝2或a＝4．当a＝﹣2时，A＝{﹣2，2，﹣4}，成立；当a＝2时，a＝|a|，A中有两个相等元素，不满足互异性；当a＝4时，a＝|a|，A中有两个相等元素，不满足互异性．实数a的值为﹣2．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A．1B．﹣1C．0，1D．﹣1，0，1【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集，（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，∅，（2）当a≠0时则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1，当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，∅，当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，∅．综上所述，a的取值为﹣1，0，1．故选：D．【点评】本题考查根据子集与真子集的概念，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．属于基础题．4．（5分）下面的对应是从集合A到集合B的一一映射（）A．A＝R，B＝R，对应关系f：y＝，x∈A，y∈BB．X＝R，Y＝{非负实数}，对应关系f：y＝x4，x∈X，y∈YC．M＝{1，2，3，4}，N＝{2，4，6，8，10}，对应关系f：n＝2m，n∈N，m∈MD．A＝{平面上的点}，B＝{（x，y）|x，y∈R}，对应关系f：A中的元素对应它在平面上的坐标【分析】利用映射和一一映射的定义求解．【解答】解：对于选项A：集合A中的元素0，在集合B中没有与之对应的y的值，所以选项A错误；对于选项B：集合X中的元素2与﹣2都与集合Y中的元素16对应，所以不是从集合X 到集合Y的一一映射，所以选项B错误；对于选项C：集合N中的元素10在集合M中没有原像，所以不是从集合M到集合N的一一映射，所以选项C错误；对于选项D：平面上的任意一点都存在唯一的有序实数对（x，y）与之对应，反过来，任意一组有序实数对（x，y）都对应平面上的唯一的一个点，所以是从集合A到集合B 的一一映射，所以选项D正确，故选：D．【点评】本题主要考查了映射和一一映射的概念，是基础题．5．（5分）对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）A．（∁U M）∩N B．M∩（∁U N）C．（∁U M）∩（∁U N）D．M∩N【分析】根据题目给出的全集是U，M，N是全集的子集，M是N的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．【解答】解：集合U，M，N的关系如图，由图形看出，（∁U N）∩M是空集．故选：B．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的图形表示法，考查了数形结合的解题思想，是基础题．6．（5分）已知m＜﹣2，点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x 的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3【分析】欲比较y3，y2，y1的大小，利用二次函数的单调性，只须考虑三点的横坐标是不是在对称轴的某一侧，结合二次函数的单调性即得．【解答】解：∵m＜﹣2，∴m﹣1＜m＜m+1＜﹣1，即三点都在二次函数对称轴的左侧，又二次函数y＝x2﹣2x在对称轴的左侧是单调减函数，∴y3＜y2＜y1故选：B．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、二次函数的性质的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的值域为，则函数的值域为（）A．[，]B．[，1]C．[，1]D．（0，]∪[，+∞）【分析】由f（x）的值域可知f（x+1）的值域，先用换元法设t＝1﹣2f（x+1）将g（x）转化为关于的二次函数，再结合二次函数的性质即可求出g（x）的值域．【解答】解：R上的函数f（x）的值域为，则f（x+1）的值域也为，故1﹣2f（x+1）∈，设t＝1﹣2f（x+1）∈，则，∴＝，，由二次函数的性质可知：当时，g（x）取最大值1；当时，g（x）取最小值；∴g（x）的值域为，故选：C．【点评】本题考查了利用换元法和数形结合思想，判断二次函数的最值问题，属于中档题．8．（5分）某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为（）A．181B．182C．183D．184【分析】设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用韦恩图表示出各部分的人数，即可求出【解答】解：设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用韦恩图表示，如图所示：，由韦恩图可知，听讲座的人数为62+7+5+11+4+50+45＝184（人），故选：D．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．9．（5分）已知函数的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【分析】m＝﹣2，则y＝（m+2）x2+2mx+1为一次函数，符合题意；m≠﹣2，y＝（m+2）x2+2mx+1为二次函数，需要开口向上，且与x轴有交点，用判别式求解m的范围即可．【解答】解：要使函数的值域是[0，+∞），则y＝（m+2）x2+2mx+1的最小值≤0，当m＝﹣2时，，符合题意；当m≠﹣2时，要使函数的值域是[0，+∞），则y＝（m+2）x2+2mx+1为二次函数，开口向上，且与x轴有交点，∴m+2≥0，且△＝4m2﹣4（m+2）≥0，∴﹣2＜m≤﹣1或m≥2；综上可知﹣2≤m≤﹣1或m≥2，故选：C．【点评】本题需要对m＝﹣2和m≠﹣2进行分类讨论，当m≠﹣2时结合利用二次函数的根的存在性判断即可，属于基础题．10．（5分）已知函数，则不等式f（x+1）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[，0]D．[，1）【分析】根据题意，先分析函数的定义域，再由常见函数的单调性可得f（x）在区间[﹣1，1]上为增函数，由此原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，有，解可得﹣1≤x≤1，即函数的定义域为[﹣1，1]，函数y＝在区间[﹣1，1]上为增函数，y＝在区间[﹣1，1]上为减函数，则函数f（x）＝﹣在区间[﹣1，1]上为增函数，则f（x+1）＞f（2x）⇔，解可得﹣≤x≤0，即不等式的解集为[﹣，0]，故选：C．【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意函数的定义域，属于基础题．11．（5分）已知函数，当x∈[1，4]时，f（x）＞1恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣4，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣4，+∞）D．（﹣2，+∞）【分析】设＝t，t∈[1，2]，原不等式等价为﹣m＜t+在t∈[1，2]恒成立，即有﹣m＜t+在t∈[1，2]的最小值，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围．【解答】解：设＝t，由x∈[1，4]，可得t∈[1，2]，则当x∈[1，4]时，f（x）＞1恒成立，即为t2+mt+4＞1，即﹣m＜t+在t∈[1，2]恒成立，即有﹣m＜t+在t∈[1，2]的最小值，由t+≥2＝2，当且仅当t＝∈[1，2]时，取得等号，则﹣m＜2，即m＞﹣2，可得m的取值范围是（﹣2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）若存在n∈R，且存在x∈[1，m]，使得不等式|mx2+1|+|2nx|≤3x成立，则实数m 的取值范围是（）A．[1，2]B．（﹣∞，2]C．（1，2]D．[2，+∞）【分析】由题易知m＞1恒成立，则此时利用|2n|恒定非负将不等式进行变形求解即可．【解答】解：因为x∈[1，m]，所以m＞1，则mx2+1＞0，所以原不等式可变为mx2+1+|2nx|≤3x，因为x∈[1，m]，所以原不等式进一步变形为mx2+1+|2n|x≤3x，所以，令，则f（x）在区间[1，m]上是减少的，由存在性可知在区间[1，m]上有解，所以f（x）在[1，m]上的最大值应不小于0，所以f（1）≥0，即﹣m+2≥0，解得：m≤2，综上可得：m的取值范围为1＜m≤2．故选：C．【点评】本题考查基本不等式及不等式恒成立问题，属于难题．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．（5分）设函数，函数f（x）•g（x）的定义域为（，+∞）．【分析】根据f（x），g（x）的解析式即可得出：要使得f（x）•g（x）有意义，则需满足2x﹣3＞0，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使f（x）•g（x）有意义，则：2x﹣3＞0，解得，∴f（x）•g（x）的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）函数y＝kx2﹣4x﹣8在区间[5，10]上单调递增，则实数k的取值范围为[，+∞）．【分析】由题意可知区间[5，10]是函数增区间的子集，对k分情况讨论，利用二次函数的性质求解．【解答】解：∵函数y＝kx2﹣4x﹣8在区间[5，10]上单调递增，∴区间[5，10]是函数增区间的子集，①当k＝0时，函数y＝﹣4x﹣8，在区间[5，10]上单调递减，不符合题意；②当k＞0时，函数y＝kx2﹣4x﹣8的增区间为[，+∞），∴，解得k，∴k；③当k＜0时，函数y＝kx2﹣4x﹣8的增区间为（﹣∞，]，∴10，解得k，∴k∈∅，综上所述，实数k的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，对k分情况讨论是解题关键，是中档题．15．（5分）已知集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，若B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为24．【分析】由题意推出集合A是两个集合的子集，求出集合B，C的公共元素得到集合A，进而求出结论．【解答】解：因为集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，所以集合A是两个集合的子集，集合B，C的公共元素是1，2，3，所以满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4（1+2+3）＝24．故答案为：24．【点评】本题考查集合的基本运算，集合的子集的运算，考查基本知识的应用．16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝g（x）有两个实根为x1，x2，且x1＝tx2，t∈[，3]，则实数a的取值范围为[，]．【分析】把方程f（x）＝g（x）有两个实根为x1，x2，转化为ax2+x+1＝0（x≠0）有两个实根为x1，x2，由根与系数的关系及x1＝tx2可得a与t的关系，分离a，结合双勾函数求最值．【解答】解：方程f（x）＝g（x）即为，亦即ax2+x+1＝0（x≠0），由题意，△＝1﹣4a≥0，即a．且，，又x1＝tx2，得a＝＝＝，t∈[，3]，当t＝1时，有最小值4，则a有最大值，当t＝或3时，t+有最大值，则a有最小值为．∴实数a的取值范围为[，]，故答案为：[，]．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，训练了利用双勾函数求最值，是中档题．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，U＝R，．求（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）A∪B；（Ⅲ）（∁U A）∩B．【分析】化简集合A、B，再求A∩B与A∪B、（∁U A）∩B．【解答】解：集合A＝{x|≤0}＝{x|﹣5＜x≤}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，U＝R，（Ⅰ）A∩B＝{x|﹣5＜x≤}∩{x|1＜x＜2}＝{x|1＜x≤}；（Ⅱ）A∪B＝{x|﹣5＜x≤}∪{x|1＜x＜2}＝{x|﹣5＜x＜2}；（Ⅲ）∵∁U A＝{x|x≤﹣5或x＞}，∴（∁U A）∩B＝{x|x≤﹣5或x＞}∩{x|1＜x＜2}＝{x|＜x＜2}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．18．（12分）（1）已知f（x）满足3f（x）+2f（1﹣x）＝4x，求f（x）解析式；（2）已知函数，当x＞0时，求g（f（x））的解析式．【分析】（1）直接利用换元法的应用和解方程组求出函数的关系式．（2）利用函数的定义域的应用求出函数的关系式．【解答】解：（1）解令x＝1﹣x，则1﹣x＝x，所以3f（x）+2f（1﹣x）＝4x，整理得3f（1﹣x）+2f（x）＝4（1﹣x），则，解得：；（2）由于函数，当x＞0时，g（f（x））＝．故：．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式的求法，换元法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．（12分）已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．（1）若（∁U A）∪B＝R，求a的取值范围；（2）若A∩B≠B，求a的取值范围．【分析】（1）根据补集与并集的定义，列出不等式组求得a的取值范围．（2）根据A∩B＝B得B⊆A，讨论B＝∅和B≠∅时，分别求出对应a的取值范围，再求A∩B≠B时a的取值范围．【解答】解：（1）由集合A＝{x|0≤x≤2}，所以∁U A＝{x|x＜0或x＞2}，又B＝{x|a≤x≤3﹣2a}，（∁U A）∪B＝R，所以，解得a≤0；所以实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（2）若A∩B＝B，则B⊆A，当B＝∅时，3﹣2a＜a，解得a＞1；当B≠∅时，有a≤1，要使B⊆A，则，解得；综上知，实数a的取值范围是；所以A∩B≠B时a的取值范围是的补集，为．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与转化能力，是中档题．20．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．（1）求f（x）解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）+2（1﹣m）x在[2，+∞）上的最小值为﹣7，求实数m的值．【分析】（1）利用函数值以及函数的值域，转化求解a，b，c，即可得到函数的解析式．（2）求出函数的解析式，通过函数的最小值，求解m的值即可．【解答】解：（1）二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，所以c＝1，a+b ＝﹣1，对任意实数x均有f（x）≥0成立，△＝b2﹣4a＝0，解得a＝1，b＝﹣2，所以函数的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+1；（2）g（x）＝x2﹣2mx+1，函数的对称轴为x＝m，①当m＜2时，g（x）min＝g（2）＝5﹣4m＝﹣7，则m＝3（舍）；②当m≥2时，，得．综上，．【点评】本题考查函数的解析式的求法，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2∈R都有等式f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，有f（x）＞1．（1）求证：函数f（x）在R上单调递增；（2）若f（3）＝4，关于x不等式恒成立，求t的取值范围．【分析】（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，结合已知条件以及单调性的定义推出结果．（2）结合已知条件推出恒成立，利用函数的性质，转化求解即可．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，f（x2）＝f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1，∴f（x2）＞f（x1）．故函数f（x）在R上单调递增．（2）解：f（3）＝f（1）+f（2）﹣1＝f（1）﹣1+f（1）+f（1）﹣1＝3f（1）﹣2，∴f（1）＝2，原不等式等价于，故恒成立，令，，∴，y+t＞1，∴t＞1﹣y，∴t∈（﹣1，+∞）．【点评】本题考查函数的应用，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是难题．22．（12分）已知函数f（x）＝|x+m|2﹣3|x|．（1）当m＝0时，求函数y＝f（x）的单调递减区间；（2）当0＜m≤1时，若对任意的x∈[m，+∞），不等式f（x﹣m﹣1）≤2f（x﹣m）恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求得m＝0时，f（x）的分段函数形式，结合二次函数的对称轴和单调性，可得所求单调递减区间；（2）由题意可得原不等式等价为x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|≥0在x∈[m，+∞）上恒成立，令g（x）＝x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|，只需g（x）min≥0即可，写出g（x）的分段函数的形式，讨论单调性可得最小值，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）因为m＝0，所以f（x）＝x2﹣3|x|＝，因为函数f（x）＝x2﹣3x的对称轴为，开口向上，所以当时，函数f（x）＝x2﹣3x单调递减；当时，函数f（x）＝x2﹣3x 单调递增；又函数f（x）＝x2+3x的对称轴为，开口向上，所以当时，函数f（x）＝x2+3x单调递增；当时，函数f（x）＝x2+3x 单调递减；因此，函数y＝f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣）和；（2）由题意，不等式f（x﹣m﹣1）≤2f（x﹣m）可化为（x﹣1）2﹣3|x﹣1﹣m|≤2x2﹣6|x﹣m|，即x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|≥0在x∈[m，+∞）上恒成立，令g（x）＝x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|，则只需g（x）min≥0即可；因为0＜m≤1，所以1＜m+1≤2，因此g（x）＝x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|＝，当m≤x≤m+1时，函数g（x）＝x2﹣7x+9m+2开口向上，对称轴为：，所以函数g（x）在[m，m+1]上单调递减；当x＞m+1时，函数g（x）＝x2﹣x+3m﹣4开口向上，对称轴为．所以函数g（x）在[m+1，+∞）上单调递增，因此，由g（x）min≥0得m2+4m﹣4≥0，解得或，因为0＜m≤1，所以．即实数m的取值范围为．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，以及函数恒成立问题解法，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020-2021学年江西省南昌市第三中学高一12月考试数学试题(解析版)

2020-2021学年江西省南昌市第三中学高一12月考试数学试题一、单选题1．函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【分析】利用周期的求解公式2T πω=可求.【详解】因为2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以其最小正周期为22T ππ==,故选C. 【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期求解，题目较为简单.2．己知()1cos 2πα+=-，322παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则()sin 2πα-的值为（）A ．B ．C ．±D ．12【答案】A【分析】利用诱导公式可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】由诱导公式可得()1cos cos 2παα+=-=-，则1cos 2α=，322παπ<<，sin α∴==，因此，()sin 2sin 2παα-=-=. 故选：A.3．已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，集合11,|2xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（） A ．12y y ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭B ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}1y y >D ．112yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】由对数函数、指数函数的单调性解不等式，再求交集.【详解】22log log 10y x =>=，1111222x y ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则1{0},2A yy B y y ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭∣∣，即12A B y y ⎧⎫⋂=>⎨⎬⎩⎭故选：A4．若角α的终边落在直线0x y +=上，则|tan |tan αα+ ） A ．2或2- B ．2-或0C ．0D ．0或2【答案】B【分析】先确定α的终边所在象限，再分类讨论结合平方关系得出答案.sin α=由题意可知，角α的终边在第二、四象限当α的终边在第二象限时，tan 0,sin 0αα<>，|tan |sin 110tan sin αααα+=-+= 当α的终边在第四象限时，tan 0,sin 0αα<<，|tan |sin 112tan sin αααα+=--=- 故选：B5．若()tan()4f x x π=+，则（）A ．(0)(1)(1)f f f >->B ．(0)(1)(1)f f f >>-C ．(1)(0)(1)f f f >>-D ．(1)(0)(1)f f f ->>【答案】A【分析】首先利用诱导公式，将自变量调整到一个单调区间内，再比较大小. 【详解】()0tan 14f π⎛⎫==⎪⎝⎭，()1tan 14f π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， ()31tan 1tan 144f ππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31124442πππππ>>->->- tan y x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，3tan tan 1tan 1444πππ⎛⎫⎛⎫∴>->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()011f f f >->. 故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用诱导公式，化简()31tan 1tan 144f ππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这样自变量都在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，即可利用单调性比较大小.6．若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则此圆心角所夹的扇形的面积是（） A ．1sin1B ．21sin 1C ．1sin1cos 2-D ．tan1【答案】B【分析】由直角三角形的边角关系求出r ，再由扇形面积公式求解即可.【详解】由直角三角形的边角关系可知1sin1r=，即1sin1r =此圆心角所夹的扇形的面积为2221111222sin 1sin 1S r α==⨯⨯= 故选：B7．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 【答案】A【分析】根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求. 【详解】由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=，因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-，sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.故选：A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 8．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．12-B C ． D ．12【答案】B【详解】分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解详解：()f x 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5 sin 333f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质． 9．若1a b >> ，(0,)2πθ∈ ，则（）A ．sin sin a b θθ<B ．sin sin ab ba θθ<C ．log sin log sin b a a b θθ<D ．log sin log sin a b θθ<【答案】C【分析】根据选项结合sin y xθ=，sin 1y xθ-=，以及sin log y x θ=的单调性比较大小，并结合对数的换底公式，不等式的性质比较大小. 【详解】A.0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin 0,1θ∈，sin y x θ=在区间()0,∞+单调递增，当1a b >>时，sin sin a b θθ>，故A 不正确；B.sin 10θ-<，sin 1y x θ-∴=在区间()0,∞+单调递减，当1a b >>时，sin sin sin 1sin 1a b aba bθθθθ--<⇔<，即sin sin ba ab θθ<，故B 不正确；先判断D:sin log y x θ=是单调递减函数，当1a b >>时，sin sin log log 0a b θθ<<，即110log sin log sin a b θθ<<，所以log sin log sin 0b a θθ<<，故D 不正确.由D 可知log sin log sin 0b a θθ<<，那么log sin log sin 0b a a a θθ<<，再根据不等式的性质可知log sin log sin a a a b θθ<，即log sin log sin b a a b θθ<，故C 正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据选项，判断构造函数类型，构造正确的函数，后面的问题才能迎刃而解.10．已知x ∈[0，π]，f (x )＝sin(cos x )的最大值为a ，最小值为b ，g (x )＝cos(sin x )的最大值为c ，最小值为d ，则( ) A ．b <d <a <c B ．d <b <c <aC ．b <d <c <aD ．d <b <a <c【答案】A 【详解】[][][][][]0,,cos 1,1,sin 0,1,sin(cos )sin1,sin1,cos(sin )cos1,1x x x x x π∈∈-∈∈-∈sin1,sin1,1,cos1a b c d ==-==，又14π>，则cos1sin1<< 则b<d<a<c11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+当[]3,4x ∈时, ()2f x x =-,则 A ．11(sin )(cos )22f f < B ．(sin1)(cos1)f f < C ．(sin)(cos )33f f ππ> D ．33(sin )(cos )22f f >【答案】B【详解】分析：先根据()()2f x f x =+得周期为2，由[]3,4x ∈时单调性得[]1,0x ∈-单调性，再根据偶函数得[]0,1x ∈单调性，最后根据单调性判断选项正误. 详解：因为()()2f x f x =+，所以()f x 周期为2，因为当[]3,4x ∈时, ()2f x x =-单调递增，所以[]()1,0?,x f x 时∈- 单调递增，因为()f x 偶函数，所以[]()0,1,x f x ∈时单调递减，因为110sincos 122<<<，1sin1cos10,>>> 1> sin cos 033ππ>>,331sin cos 022>>>所以11sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()sin1cos1f f <,sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,33sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选B.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行. 12．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-=A ．1B ．725C ．725-D ．2425-【答案】C【分析】根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出sin ,cos θθ【详解】由题意得直角三角形的面积11625425S -==,设三角形的边长分别为,x y ，则有22134,1655225x y x y xy⎧+=⎪⇒==⎨=⎪⎩，所以343455sin ,cos 1515θθ====，所以2222347sin cos 5525θθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选C.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．二、填空题 13．函数()()34log 1xf x x -=++的定义域是__________．【答案】()(]1,11,4-【分析】求出使解析式有意义的自变量x 的范围即可．【详解】由题意401010x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪+>⎩，解得11x -<<或14x <≤．故答案为：()(]1,11,4-【点睛】本题考查求函数的定义域，求出使函数式有意义的自变量的取值范围即得，掌握对数函数性质是解题关键．14．如图是函数sin()(0,0,)y A x B A ωϕωϕπ=++>><的图象的一部分，则函数的解析式为____________【答案】32sin(2)34y x π=-+ 【分析】先得出,A B 的值，再由周期得出ω，由点,18π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式求出ϕ，进而得出解析式.【详解】由图象容易得出532A =-=，3B =，488T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即22T πω== 由于点,18π⎛⎫⎪⎝⎭在该函数图象上，则12sin 238πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得242k ππϕπ+=-+，32,4k k Z πϕπ=-+∈ 3||,4πϕπϕ<∴=-则函数的解析式为32sin(2)34y x π=-+ 故答案为：32sin(2)34y x π=-+ 【点睛】关键点睛：在求ϕ时，关键是将点,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式求出ϕ.15．已知1sin()64x π+=，则 25sin()cos ()63x x ππ-+-的值是_____. 【答案】516【分析】由sin （x +6π）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos 2（x +6π）的值，将所求式子的第一项中的角56x π-变形为π-（x +6π），第二项中的角3x π-变形为2π﹣（x +6π），分别利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【详解】解：∵sin （x +6π）＝14， 25sin()cos ()63x x ππ-+- =2sin cos 626x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =2sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11416+ =516故答案为516.【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题.16．对于任意实数a ，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间[a ，a +3]上的值54出现的次数不少于4次，又不多于8次，则k 的值是______________ . 【答案】2或3【分析】由条件可知函数在区间[],3a a +，满足23,43T T ≤≥，列式求k 的取值范围. 【详解】由2155cos 364k x ππ+⎛⎫-=⎪⎝⎭，得211cos 364k x ππ+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∵函数cos y x =在每个周期内有2次出现函数值为14，区间[],3a a +的长度为3，∴为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期且不大于4个周期. 即223213k ππ⨯≤+，且243213k ππ⨯≥+.解得3722k ≤≤. 又∵k ∈N ，∴2,3k =. 故答案为：2或3【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像的性质，注意把函数在给定区间上的解的个数转化为函数周期满足的条件，此类问题属于中档题.三、解答题17．已知关于x 的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ：（1）求m 的值；（2）求1sin cos 2sin cos 1sin cos θθθθθθ+++++的值.【答案】（1（2. 【分析】（1）利用韦达定理表示出sin cos θθ+与sin cos θθ⋅的值，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出m 的值；（2）由（1）求得sin cos θθ+与sin cos θθ⋅的值，再代入原式求值．【详解】依题得：1sin cos 2θθ+=，sin cos 2m θθ⋅=；∴（1）()sin cos 12sin cos θθθθ2+=+⋅∴2122m=+⋅⎝⎭∴2m =（2）由（1）知sin cos θθ+=，sin cos θθ⋅=1sin cos 2sin cos 2sin cos 11sin cos 1sin cos θθθθθθθθθθ+++=+++++112=+=. 18．设函数()1log 3()2log 2x x f x g x =+=，，其中0x >且1x ≠，试比较()f x 与()g x 的大小.【答案】当43x =时，()()f x g x =;当01x <<或43x >时，()()f x g x >;当413x <<时，()()f x g x <【分析】采用作差法比较大小，按对数的底数进行分类讨论，从而判断f （x ）与g （x ）的大小．【详解】()()34xxf xg x log -=，（1）当1314x x ⎧⎪⎨⎪⎩＞＞或013014x x⎧⎪⎨⎪⎩＜＜＜＜，即0＜x ＜1或x 43＞时，304x x log ＞，f （x ）＞g （x ）；，（2）当13014x x⎧⎪⎨⎪⎩＞＜＜或01314x x ⎧⎪⎨⎪⎩＜＜＞，即1＜x 43＜时，304x x log ＜，此时f （x ）＜g （x ）；，（3）当43x =时，304x xlog =，此时f （x ）＝g （x ），综上，当0＜x ＜1或x 43＞时，f （x ）＞g （x ）；当1＜x 43＜时，f （x ）＜g （x ）；当x 43=时，f （x ）＝g （x ）【点睛】本题重点考查大小比较，考查对数不等式的求解，考查分类讨论的数学思想，解题时分类讨论是关键．19．设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝8π ，(1)求φ；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间．【答案】(1) φ＝－34π;(2) 单调增区间为5+,88k k k z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. 【详解】(1)∵x ＝8π是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin(2×8π＋φ)＝±1，∴4π＋φ＝k π＋2π，k ∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－34π. (2)y ＝sin(2x －34π)．由2k π－2π≤2x －34π≤2k π＋2π，k ∈Z. 得k π＋8π≤x ≤k π＋58π，k ∈Z. 所以函数y ＝sin(2x －34π)的单调增区间为 [k π＋8π，k π＋58π]，k ∈Z. 20．设()312sin log 12sin x f x x -=+. （1）求函数()y f x =的定义域和值域；（2）判断函数()y f x =的奇偶性；【答案】（1）定义域为,66x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭，值域为R ；（2）奇函数. 【分析】（1）由已知得出sin 1122x <-<，解此不等式可得出函数()y f x =的定义域，利用对数函数的基本性质可得出函数()y f x =的值域；（2）利用函数的奇偶性的定义可得出结论.【详解】（1）对于函数()312sin log 12sin x f x x -=+，有12sin 012sin x x ->+，即2sin 102sin 1x x -<+，可得sin 1122x <-<，解得()66k x k k Z ππππ-<<+∈，所以，函数()y f x =的定义域为,66x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭， 11sin 22x -<<，则012sin 2x <+<， ()212sin 12sin 21012sin 12sin 12sin x x x x x-+-∴==->+++，所以，()312sin log 12sin x f x R x-=∈+，因此，函数()y f x =的值域为R ；（2）函数()y f x =为奇函数，理由如下：函数()y f x =的定义域为,66x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭，定义域关于原点对称， ()()()1333312sin 12sin 12sin 12sin log log log log 12sin 12sin 12sin 12sin x x x x f x x x x x ---+--⎛⎫-====- ⎪+--++⎝⎭()f x =-，所以，函数()y f x =为奇函数.【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断()f x -与()f x 之间的关系；（3）下结论.21．已知函数()2sin 2sin 2f x x a x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的最小值为24a a +，求实数a 的值.【答案】2a =-或12a =-+ 【分析】令[]cos 1,1t x =∈-，可得出()221y t a a =---，然后分1a ≤-、11a -<<、1a ≥三种情况讨论，分析二次函数()221y t a a =---在区间[]1,1-上的单调性，可求得函数()221y t a a =---在区间[]1,1-上的最小值，可得出关于实数a 的等式，综合可求得结果.【详解】设()y f x =，令[]cos 1,1t x =∈-，则()22222sin 2cos cos 2cos 1211y x a x x a x t at t a a =--=--=--=---. （1）若1a ≤-，函数()221y t a a =---在[]1,1-上单调递增，当1t =-时，函数()221y t a a =---取最小值，即2min 24y a a a ==+，解得0a =（舍去）或2a =-；（2）当11a -<<时，22min 14y a a a =--=+，整理得22410a a ++=，解得12a =--（舍去）或12a =-+ （3）若1a ≥，函数()221y t a a =---在区间[]1,1-上单调递减，当1t =时，函数()221y t a a =---取最小值，即2min 24y a a a =-=+，解得0a =（舍去）或6a =-（舍去）.综上所述，2a =-或12a =-+. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.22．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 的定义域为[]0,1且()00f =，()11f =当x y ≥时有()()()sin 1sin 2x y f f x f y αα+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求11,24f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(用α表示) （2）求α的值.【答案】（1）sin α，2sin α；（2）6π. 【分析】（1）根据已知条件，通过赋值即可计算求值．（2）按照上述的规律依次得到函数值的关系式，然后分析求解角的值．【详解】（1）()()()1101sin 1sin 0sin 22f f f f ααα+⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()210112sin 1sin 0sin 422f f f f ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）()()113121sin 1sin 422f f f f αα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ ()2sin 1sin sin 2sin sin ααααα=+-=-()3113144sin 1sin 2244f f f f αα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ ()()22232sin sin sin 1sin sin 3sin 2sin ααααααα=-+-=-2sin sin (3sin 2sin )αααα∴=⋅- sin 0α∴=或12或1 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6πα∴=.【点睛】关键点点睛：本试题主要是考查了三角函数的图像与性质的综合运用，以及函数的递推关系的运用，本题第二问的关键是分别赋值，得到12f ⎛⎫⎪⎝⎭，建立等量关系，计算求角.。

江西省南昌市进贤县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

江西省南昌市进贤县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}22,1,24A a a a =--+，若3A ∈，则a =（）A ．1B ．2C ．1或4D ．42．已知函数()2f x x =+()f x 的值域为（）A ．(),8-∞-B ．(],8-∞C ．[)4,+∞D ．[)6,+∞3．“0a b +=”是“22a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()1f x +的定义域为[]0,4，则函数()g x =）A ．[]1,3B ．[)1,2C ．()0,2D ．[]1,7-5．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系式为2330h t t =-+，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）A ．第4秒B ．第5秒C ．第6秒D ．第7秒6．设=PQ =R =,,P Q R 的大小顺序是（）A ．P Q R>>B ．P R Q>>C ．Q P R>>D ．Q R P>>7．已知函数()()()21,012,0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则()2f =（）A ．2-B ．1-C ．0D ．18．已知函数()f x 的定义域为()()()R,33,63f x f x f -=+=，且(]12,,3x x ∀∈-∞，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，则不等式()263f x x x +->的解集为（）A ．{|1x x <-或>7B ．{}17x x -<<C ．{|0x x <或}6x >D ．{}06x x <<二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．若()()222mf x m m x =--是幂函数，则1m =-或3B ．()f x x =与()g x =C ．已知函数2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()25f =D ．函数y =[)1,+∞10．若函数()f x 满足关系式()()232f x f x x+-=，则下列结论正确的是（）A ．()5216f -=B ．()()11f f -=C ．()31f =-D ．()()23313f f +-=11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：()[],f x x x =∈R ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：][1.62,2.62⎡⎤-=-=⎣⎦．令函数()[]g x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．[]1x x x-<≤B ．()f x 是奇函数C ．()g x 的最小值为0，没有最大值D ．111222f g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题12．已知函数()232f x x ax =++是偶函数，则实数a =．13．命题“[]21,3,20x x x a ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为．14．已知函数()f x 是定义在[)0,+∞的单调函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，都有()(2f f x =，则()16f =．四、解答题15．设集合()(){}{}220,R ,760A x x x a a B x x x =--=∈=-+=．(1)当6a =时，求,A B A B ；(2)记C A B = ，若集合C 的真子集有7个，求所有实数a 的取值所构成的集合．16．（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()232224f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；（2）已知()()2232f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式．17．已知函数()2210()f x ax ax b a =-++>．(1)若1a b ==，求()f x 在[],2t t +上的最小值；(2)若函数()f x 在区间[]2,4上的最大值为27，最小值为3，求实数,a b 的值18．对于二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，若0R x ∃∈，使得2000ax bx c x ++=成立，则称0x 为二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的不动点．(1)求二次函数()224f x x x =--的不动点；(2)若二次函数()()2221f x x a x a =-++-有两个不相等的不动点12,x x ，且12,0x x >，求2112x x x x +的最小值．19．已知函数()29ax bf x x +=-是定义在()3,3-上的奇函数，且()114f =(1)求实数a 和b 的值；(2)判断函数()f x 在()3,3-上的单调性，并用定义证明你的结论；(3)若()()22120f t f t -+-<，求t 的取值范围．。

2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)

2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8；（3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个．故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确；对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确；对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确；对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =，所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥，所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤，所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞．故选：B【点睛】关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=，解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <，即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确；由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确．故选：ABCD ．【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误；最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--，则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点，又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；（3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立，当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ，综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根，即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===；（2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=；（3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0．【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0，即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0；（2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦，由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>，当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π，所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+，又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=，可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈，因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元．【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可．（2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =．所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3．答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。

人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)

故选：B.
【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）且；
（3）且为等差数列；
（4）为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，所以，即，
又因为为的内角，
所以．
解得，，
，；
（2），
，
又，由题得，即，
，即
由题知且，故，
故，
故只需考虑，时，时，时，
17.（10分）已知中，点 .
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量， .
（1）若，其中，求坐标；
（2）若与的夹角为，求的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】，
，等号成立时， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

2023-2024学年江西省南昌市高一下册期中考试数学试题(含解析)

2023-2024学年江西省南昌市高一下册期中考试数学试题一、单选题1．下列选项中，与角30α=- 终边相同的角是（）A ．30B ．240C ．300oD ．330【正确答案】D【分析】首先表示出与α终边相同的角，再根据选项判断即可.【详解】解：与角30α=- 终边相同的角表示为30360,Z k k θ=-+⋅∈ ，当1k =时330θ= ，故330 与角30α=- 终边相同.故选：D2．已知角α的终边与单位圆的交点为34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则sin cos sin cos αααα-=+（）A ．7-B ．17-C ．17D ．7【正确答案】C【分析】根据题意结合任意角三角函数的定义可求出sin ,cos αα，然后代入求解即可.【详解】因为角α的终边与单位圆的交点为34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以34cos ,sin 55αα=-=-，所以43sin cos 15543sin cos 755αααα-+-==+--.故选：C3．AB CB OE OC -+-的运算结果是（）A ．BEB ．AOC ．OAD ．AE【正确答案】D【分析】根据相反向量的概念及向量的加法直接求解.【详解】AB CB OE OC AB BC CO OE AE -+-=+++=，故选：D.4．下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A ．cos(22y x π=-B ．sin(22)y x π=+C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=-【正确答案】B【分析】先利用函数的周期性排除C ，D ，再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除A ，从而可得答案．【详解】解：A ：令()cos(2)sin 22g x x x π=-=，则()sin(2)sin 2()g x x x g x -=-=-=-，()cos(22g x x π∴=+为奇函数，故可排除A ；:()sin(2cos 22B y f x x x π==+= ，∴其周期22T ππ==，()cos(2)cos 2()f x x x f x -=-==，sin(22y x π∴=+是偶函数，sin(22y x π∴=+是周期为π的偶函数，故B 正确；:sin()2C y x π=+ 其周期2T π=，故可排除C ；D ：同理可得cos()2y x π=-的周期为2π，故可排除D ；故选：B ．本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性，考查诱导公式的应用，属于中档题．5．若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则()y f x =的解析式为A ．sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．1sin 124y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭D ．1sin 122y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【正确答案】B【详解】分析：由题意函数的图象变换，按照逐步逆推，即可得到函数的解析式，确定选项.详解：函数y ＝sin x 的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标保持不变)，得到sin 2y x =，沿y 轴向上平移1个单位，得到sin 21y x =+，图象沿x 轴向右平移π4个单位，得到函数sin 21sin 2142y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.点睛：关于三角函数的图象变换的方法(1)平移变换①沿x 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x ＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．②沿y 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x )＋k 时，“上加下减”，即k >0，上移；k <0，下移．(2)伸缩变换①沿x 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝f (ωx )时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1||ω倍．②沿y 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝Af (x )时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A |倍．6．设1cos662a =︒-︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c =）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a【正确答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ，利用倍角公式化简,b c ，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()1cos 66sin 306sin 242a ===︒-︒︒︒︒，2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++，sin 25c ==︒.因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以a c b <<.故选：C.7．已知()log (32)a f x ax =-在[]1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．(0,1)B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】先根据底数大于零且不为1得到()32u x ax =-在[]1,2为减函数，根据()f x 的单调性得到01a <<，再根据真数大于零的要求得到实数a 的取值范围．【详解】设()32u x ax =-，()log (32)a f x ax =- 在[1,2]上是增函数，01(2)0a u <<⎧∴⎨>⎩，即01340a a <<⎧⎨->⎩，解得304a <<，∴实数a 的取值范围是30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选C ．函数单调性的判断一方面要熟悉基本初等函数的单调性，另一方面也要知道复合函数及函数的四则运算后函数单调性的判断方法（一般地，增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减）.对于与对数函数有关的复合函数，注意真数恒大于零的要求.8．若0ω>，函数π()3sin 4cos 03f x x x x ωω⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[4,5]，则cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是（）A ．71,25⎡⎤-⎢⎣⎦B ．7,125⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．73,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】利辅助角公式可得()()5sin f x x ωϕ=+（其中43πsin ,cos ,0552ϕϕϕ==<<），再利用换元法令t x ωϕ=+，从而得到πcos 3ω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.【详解】因为()()5sin f x x ωϕ=+（其中43πsin ,cos ,0552ϕϕϕ==<<）．令(),5sin t x g t t ωϕ=+=，因为π0,03x ω>≤≤，所以π3t ϕωϕ≤≤+．因为()4g ϕ=，且π02ϕ<<，所以()ππ4,52g g ϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故πππ23ωϕϕ≤+≤-，即πππ223ϕωϕ-≤≤-．当π0π2π2x ϕϕ<-≤≤-<时，cos y x =单调递减，因为()22π41697cos sin ,cos π2cos2sin cos 25252525ϕϕϕϕϕϕ⎛⎫-==-=-=-=-= ⎪⎝⎭，所以π74cos ,3255ω⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故选：D ．二、多选题9．下列说法中错误的是A ．向量AB 与CD是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上B ．零向量与零向量共线C ．若,a b b c ==，则a c= D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量【正确答案】AD利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量AB 与CD是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c == ，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.故选：AD本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.10．下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b >>且0c <，则22c ca b >D ．若a b >且11a b>，则0ab <【正确答案】BCD【分析】取0c =可判断A 选项；利用不等式的基本性质可判断BC 选项；利用作差法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当0c =时，22ac bc =，A 错；对于B 选项，若0a b <<，由不等式的性质可得2a ab >，2ab b >，则22a ab b >>，B 对；对于C 选项，若0a b >>，则220a b >>，则2211a b<，又因为0c <，由不等式的性质可得22c c a b >，C 对；对于D 选项，若a b >且11a b >，则110a b b a ab--=<，所以，0ab <，D 对.故选：BCD.11．已知函数()3sin 2222f x x x =-的图象为C ，则下列结论中正确的是（）A ．图象C 关于直线512x π=对称B ．图象C 的所有对称中心都可以表示为,062k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，Z k ∈C ．函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2D ．函数()f x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减【正确答案】AB【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，进而确定函数的各性质.【详解】()3sin 2cos 23sin 2223f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，A 选项：令232x k πππ-=+，Z k ∈，解得5122k x ππ=+，Z k ∈，所以函数图像关于直线512x π=对称，A 选项正确；B 选项：令23x k ππ-=，Z k ∈，解得62k x ππ=+，Z k ∈，即函数的对称中心为,062k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，Z k ∈，B 选项正确；C 选项：0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当232x ππ-=即512x π=时取最大值为3sin32π=，C 选项错误；D 选项：令3222232k x k πππππ+≤-≤+，Z k ∈，解得5111212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，所以函数的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又1k =-时，区间为7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当0k =时，区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎣⎦，所以函数在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减错误，D 选项错误；故选：AB.12．已知α、β、0,2πγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin sin sin βγα+=，cos cos cos αγβ+=，则下列说法正确的是（）A ．()1cos 2βα-=B ．()1cos 2βα-=-C ．3πβα-=D ．3πβα-=-【正确答案】AD【分析】由已知可得sin sin cos cos cos cos γαβγβα=-⎧⎨=-⎩，利用同角三角函数的平方关系结合两角差的余弦公式可求得()cos βα-的值，求出βα-的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得sin sin cos cos cos cos γαβγβα=-⎧⎨=-⎩，所以，()()()22221sin cos sin sin cos cos 22cos cos sin sin γγαββαβαβα=+=-+-=-+()22cos βα=--，所以，()1cos 2βα-=，因为α、β、0,2πγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22ππβα-<-<，因为sin sin sin 0γαβ=->，函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则αβ>，则02πβα-<-<，故3πβα-=-，故选：AD.三、填空题13．数据：86，98，84，91，88，90，94的75%分位数为________．【正确答案】94【分析】根据百分位数的计算方法计算即可.【详解】将所给的数据按从小到大的顺序排列是84，86，88，90，91，94，98共7个，因为775% 5.25⨯=，所以这一组数据的75%分位数为94.故9414．已知扇形的周长为6，圆心角为2，则扇形面积的值是___________.【正确答案】94【分析】本题首先可设扇形的半径为r ，然后根据扇形的周长计算公式得出32r =，最后根据扇形的面积公式即可得出结果.【详解】设扇形的半径为r ，因为扇形的周长为6，圆心角为2，所以22π262πr r 创�=，解得32r =，则扇形面积2239π2π24S 骣琪=创=琪桫，故答案为.9415．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图"巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形中较小的锐角记为a ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sincos 22αα+=_________.【分析】利用勾股定理求出直角三角的边长，即可求出sin α，再根据sin cos22αα+计算可得．【详解】解：根据已知条件四个直角三角形全等，所以设直角三角形的短的直角边长为x ，则较长的直角边长为1x +，所以222(1)5x x ++=，整理得2120x x +-=，解得3x =或4-（负值舍去），所以3sin 5α=，则sin cos 22αα+==故5．16．函数11y x=-的图象与函数2sin π(24)y x x =-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于______.【正确答案】8【分析】根据正弦型函数的性质判断2sin πy x =的对称性，由11y x=-解析式判断单调性、值域、对称性，并确定两函数的交点情况，画出它们的图象，根据对称性求交点坐标之和.【详解】由()2sin πy f x x ==，则(2)2sin π(2)2sin π()f x x x f x -=-=-=-，即2sin πy x =关于(1,0)对称；由1()1y g x x==-在(,1)-∞上递增且值域为(0,)+∞、(1,)+∞上递增且值域为(,0)-∞，且关于(1,0)对称；又1π11()2sin 2()122212f g ====-，根据对称性知：33(2(22f g =-=，所以()y g x =、()y f x =且[2,4]x ∈-的图象如下，所以，在1x =的两侧各有4个交点，且4对交点分别关于(1,0)对称，故任意两个对称的交点横坐标之和为2，所有交点的横坐标之和为8.故8四、解答题17．已知全集为R ，集合{}26A x x =≤≤，{}3782B x x x =-≥-．(1)求A B ⋂；(2)若{}44C x a x a =-≤≤+，且()A B C ，求a 的取值范围．【正确答案】(1){}36A B x x ⋂=≤≤(2)27a ≤≤【分析】（1）解不等式可得集合B ，即可求得A B ⋂；（2）根据集合间的关系，列不等式，解不等式即可.【详解】（1）解不等式3782x x -≥-，解得3x ≥，所以{}3B x x =≥，所以{}36A B x x ⋂=≤≤；（2）由（1）得{}36A B x x ⋂=≤≤，又()A B C ，则4346a a -≤⎧⎨+>⎩或4346a a -<⎧⎨+≥⎩，解得27a <≤或27a ≤<，即27a ≤≤.18．（1）已知tan 3θ=.求32sin (π)tan(3π)sin()π3πcos cos 22θθθθθ+--⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.（2）已知α，β都是锐角，4sin 5α=，5cos()13αβ+=，求cos β的值.【正确答案】（1）275-；（2）6365.【分析】（1）应用诱导公式化简目标式，结合同角三角函数关系求得29sin 10θ=，即可求值；（2）应用同角三角函数关系得12sin()13αβ+=、3cos 5α=，再由cos cos[()]βαβα=+-及差角余弦公式展开求值.【详解】（1）3322sin (π)tan(3π)sin()2(sin )(tan )(sin )2sin tan π3π(sin )(sin )cos cos 22θθθθθθθθθθθθ+-----=---⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由tan 3θ=，则sin 3cos θθ=，结合22sin cos 1θθ+=，可得29sin 10θ=，所以原式92723105=-⨯⨯=-.（2）由π0,2αβ<<，则0παβ<+<，而5cos()13αβ+=，故π02αβ<+<，所以12sin()13αβ+=，又4sin 5α=，则3cos 5α=，由5312463cos cos[()]cos()cos sin()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=.19．已知函数()π2cos 23f x ax a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小值为1-．(1)求a 的值；(2)求()f x 的单调递减区间；(3)求()f x 在π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【正确答案】(1)1a =(2)()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (3)[]0,3【分析】（1）利用函数最小值可构造方程求得a 的值；（2）采用整体代入法可构造不等式求得单调递减区间；（3）由x 的范围可求得π23x -的范围，结合余弦函数的性质可求得函数值域.【详解】（1）[]πcos 21,13ax ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ ，()min 21f x a ∴=-+=-，解得.1a =（2）由（1）得：()π2cos 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()π2π2π2π3k x k k ≤-≤+∈Z ，解得：()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z ，()f x \的单调递减区间为()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（3）当2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，π1cos 2,132x ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]0,3f x ∴∈，即()f x 在π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3.20．为了选派学生参加“厦门市中学生知识竞赛”，某校对本校2000名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图）.规定：成绩大于或等于110分的学生有参赛资格，成绩110分以下（不包括110分）的学生则被淘汰.（1）求获得参赛资格的学生人数；（2）根据频率分布直方图，估算这2000名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间点值作代表）；（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被海汰.已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么甲选择哪种答题方案，进入复赛的可能性更大？并说明理由.【正确答案】（1）300（2）78.4（3）方案二【分析】（1）计算成绩大于或等于110分的学生频率，再求频数即得结果；（2）根据组中值计算平均数；（3）分别计算两个方案进入复赛的概率，比较大小确定最终方案.【详解】（1）成绩大于或等于110分的学生频率为(0.00450.0030)200.15+⨯=所以获得参赛资格的学生人数为0.152000300⨯=；（2）平均成绩为0.006520400.014020600.017020800.005020100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.0045201200.00302014078.4+⨯⨯+⨯⨯=（3）方案一：甲进入复赛的概率为35；方案二：甲进入复赛的概率为3213323573105C C C C +=>所以甲选方案二答题方案，进入复赛的可能性更大.本题考查频率分布直方图、利用组中值求平均数以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.21．函数()cos()(0,0,||,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若方程()0f x m -=在区间13[0,]12π上有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，(其中123)x x x <<，求m 的取值范围及123sin(2)x x x ++的值．【正确答案】(1)()2cos(2)6f x x π=-；(2))m ∈；．【分析】（1）由函数图象可得2A =，T π=，求得2ω=，将点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()f x 的解析式，求得6πϕ=-，即可求得函数()f x 的解析式；.（2）把方程()0f x m -=在区间13[0,]12π上有三个不相等的实数根，转化为可得()y f x =的图象与y m =有3个交点，结合图象求得)m ∈，再利用对称性得到1232x x x ++的值，即可求解.【详解】（1）解：由函数()f x 的图象可得2A =，且7212122T πππ=-=，解得T π=，所以22T πω==，即()2cos(2)f x x ϕ=+，将点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()f x 的解析式，可得22,12k k Z πϕπ⨯+=∈，解得2,6k k Z πϕπ=-∈，因为||2ϕπ<，可得6πϕ=-，所以()2cos(26f x x π=-.（2）解：由（1）知()2cos(2)6f x x π=-，可得()130()212f f π==，因为13[0,]12π∈x ，可得2[,2]66x πππ-∈-，又由方程()0f x m -=在区间13[0,12π上有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，可得函数()y f x =的图象与y m =有3个交点，2m ≤<，即)m ∈，且1x 和2x 关于12x π=对称，2x 和3x 关于712x π=对称，所以12237,66x x x x ππ+=+=，所以123742663x x x πππ++=+=，所以1234sin(2)sin 3x x x π++==22．设函数()(0x x f x ka a a -=->且)1a ≠是奇函数.(1)已知()813f =，求常数,k a 的值.(2)在（1）条件下，函数()()222x xg x a a mf x -=+-在区间[]0,1有两个零点，求实数m 的范围.【正确答案】(1)1k =，3a =(2)412,24⎤⎥⎦【分析】（1）根据()00f =和()813f =可构造方程求得,k a 的值，验证满足题意即可确定结果；（2）令33x x t -=-，可求得80,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，将问题转化为()222h t t mt =-+在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同零点，根据二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，()010f k ∴=-=，解得：1k =，()1813f a a ∴=-=，解得：13a =-（舍）或3a =；当1k =，3a =时，()33x x f x -=-，此时()()33x x f x f x --=-=-，满足()f x 为奇函数，1k ∴=，3a =.（2）由（1）得：()33x x f x -=-，则()()()()22233322233333x x x x x x x x g x m m ----=+----=+-；令33x x t -=-，则t 在[]0,1上单调递增，80,3t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()222h t t mt ∴=-+在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同零点，()228023Δ4808641620393020m m m h h -⎧<-<⎪⎪=->⎪∴⎨⎛⎫⎪=-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎪=≥⎩4124m <≤，即实数m的范围为4124⎤⎥⎦.。

江西省南昌市莲塘一中高一数学上学期期末试题(含解析)-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市莲塘一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={锐角}，B={第一象限角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C的关系式（）A．A=B∩C B．B⊆C C．A∪C=C D．A=B=C2．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.73．sin1cos2tan3的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定4．要得到函数的图象，只需将y=sin的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．若||=1，||=，（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则这个函数的周期和初相分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．π，﹣D．π，﹣8．中国最高的摩天轮是“某某之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为（）A．41米B．43米C．78米D．118米9．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣10．如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）的最小值等于（）A．﹣B．﹣2 C．﹣1 D．﹣11．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣612．已知O为△ABC所在平面内一点，且满足，则O点的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数y=+lg（4﹣x2）的定义域是（结果用区间表示）14．若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=．15．设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．16．下列说法正确的序号是．①第一象限角是锐角；②函数的单调增区间为（﹣∞，﹣3）；③函数f（x）=|cosx|是周期为2π的偶函数；④方程只有一个解x=0．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知A（﹣1，2），B（2，8），（1）若=， =﹣，求的坐标；（2）设G（0，5），若⊥，∥，求E点坐标．18．（1）已知角α终边经过点P（﹣4，3），求的值？（2）已知函数，（b＞0）在0≤x≤π的最大值为，最小值为﹣，求2a+b的值？19．已知f（x）=4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα．（1）若f（x）=1，求sinα+cosα的值；（2）当时，求f（x）的值域．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．21．已知向量，函数的图象关于直线对称，且经过点，其中ω，λ为实数，ω∈（0，2）．（1）求f（x）的解析式；（2）若锐角α，β满足，求β的值．22．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对于任意的实数x，y有f（xy）=f （x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f（2）=1，对任意实数t，不等式f（t2+1）﹣f（t2﹣kt+1）≤2恒成立，某某数k 的取值X围．2015-2016学年某某省某某市莲塘一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={锐角}，B={第一象限角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C的关系式（）A．A=B∩C B．B⊆C C．A∪C=C D．A=B=C【考点】任意角的概念．【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．【分析】分别判断，A，B，C的X围即可求出【解答】解：∵A={锐角}=（0，90°），B={第一象限角}=（0，90°+k360°），k∈Z，C={小于90°的角}=（﹣∞，90°）∴A∪C=C，故选：C．【点评】本题考查了任意角的概念和角的X围，属于基础题．2．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7【考点】指数函数单调性的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞1∴log0.76＜0.76＜60.7故选D【点评】本题主要考查指数函数，对数函数的图象和性质，在比较大小中往往转化为函数的单调性或图象分面来解决．3．sin1cos2tan3的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．【分析】首先判断出角1、2、3所在的象限，得到对应三角函数值的符号，则答案可求．【解答】解：∵0＜1＜，∴sin1＞0，∵＜2＜π，∴cos2＜0，∵＜3＜π，∴tan3＜0．∴sin1cos2tan3＞0．故选：A．【点评】本题考查了三角函数值的符号，解答的关键是熟记象限符号，同时注意角X围的确定，是基础题．4．要得到函数的图象，只需将y=sin的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用平移原则求解即可得解．【解答】解：函数y=sin（﹣）=sin（x﹣），只需将y=sin x的图象向右平移个单位，即可得到函数y=sin（﹣）的图象，故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x的系数，属于基础题．5．若||=1，||=，（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，由（﹣）⊥，可得（﹣）=0，展开后可求得与的夹角．【解答】解：设与的夹角为θ（0°≤θ≤180°），则由||=1，||=，（﹣）⊥，得（﹣）==0，即1﹣，∴cosθ=，∴θ=45°．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直与数量积的关系，是中档题．6．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数单调性的性质；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．【解答】解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则这个函数的周期和初相分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．π，﹣D．π，﹣【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据图象，求出函数f（x）的周期，得出ω的值，再利用点的坐标，求出φ即可．【解答】解：由图象知，函数f（x）=2sin（ωx+φ）的T=﹣（﹣）==，∴最小正周期T==π，解得ω=2；又由函数f（x）的图象经过（，2），∴2=2sin（2×+φ），∴+φ=2kπ+，（k∈Z），即φ=2kπ﹣；又由﹣＜φ＜，∴φ=﹣；∴这个函数的周期是π，初相是﹣．故选：D．【点评】本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与性质的应用问题，解题的关键是确定初相的值，是基础题目．8．中国最高的摩天轮是“某某之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为（）A．41米B．43米C．78米D．118米【考点】弧长公式．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】5分钟后可算出所转的角度，根据半径的长以及构造的直角三角形，可求出答案．【解答】解：作CD⊥OB于D，如图所示：∵∠COD=5×=60°，OC=78，∴∠OCD=30°，∴OD=OC=39，∴摩天轮进行5分钟后离地面的高度为：DA=OA﹣OD=160﹣78﹣39=43（米）．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、生活中的旋转现象，属于基础题．9．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用两角和公式进行求解．10．如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）的最小值等于（）A．﹣B．﹣2 C．﹣1 D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得+=2，从而把要求的式子化为﹣2||||，再利用基本不等式求得||||≤，从而求得则（+）的最小值．【解答】解：∵+=2，∴（ +）=2=﹣2|||，∵||+||=||=1．再利用基本不等式可得1≥2，故有||||≤，﹣||||≥﹣，∴（+）=﹣2||||≥﹣，故选：A．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用、以及基本不等式的应用问题，属于中档题目．11．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6【考点】正弦函数的图象；函数的图象．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性即可得到交点坐标问题．【解答】解：作出函数y=的图象，则函数关于点（﹣1，0）对称，同时点（﹣1，0）也是函数y=2sinπx（﹣4≤x≤2）的对称点，由图象可知，两个函数在[﹣4，2]上共有4个交点，两两关于点（﹣1，0）对称，设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=2×（﹣1）=﹣2，∴4个交点的横坐标之和为2×（﹣2）=﹣4．故选：C．【点评】本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，难度较大，综合性较强．12．已知O为△ABC所在平面内一点，且满足，则O点的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】把用表示，代入已知向量等式整理得答案．【解答】解：∵，、，∴由，得，∴，即，∴，则OC⊥AB，OA⊥BC，OB⊥AC．∴O是△ABC的垂心．故选：D．【点评】本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数y=+lg（4﹣x2）的定义域是{x|﹣2＜x≤﹣或0≤x≤} （结果用区间表示）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则﹣2＜x≤﹣或0≤x≤，故函数的定义域为{x|﹣2＜x≤﹣或0≤x≤}，故答案为：{x|﹣2＜x≤﹣或0≤x≤}．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．14．若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则= ﹣2 ．【考点】相等向量与相反向量．【专题】平面向量及应用．【分析】先合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设，这样利用向量关系式，求得M，然后求得，，运用数量积公式解得为﹣2【解答】解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，∴，，∵=+=，∴M，∴，，=（，）（，）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本试题考查了向量的坐标运算．也体现了向量的代数化手段的重要性．考查了基本知识的综合运用能力．15．设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．【点评】本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．16．下列说法正确的序号是②④．①第一象限角是锐角；②函数的单调增区间为（﹣∞，﹣3）；③函数f（x）=|cosx|是周期为2π的偶函数；④方程只有一个解x=0．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①根据象限角的定义判断；②根据符合函数的单调性求解；③根据周期函数的定义判断即可；④结合函数的图象可判断．【解答】解：①第一象限角是指终边落在第一象限的角，不一定是锐角，故错误；②函数为符合函数，单调增区间为x2+2x﹣3的减区间且有意义，解得x的X围为（﹣∞，﹣3），故正确；③函数f（x）=|cosx|是周期为π的偶函数，故错误；④结合y=x和y=tanx的图象可知，方程只有一个解x=0，故正确．故答案为②④．【点评】考查了象限角，符合函数的单调性和周期函数的判断及利用函数的交点解决方程问题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知A（﹣1，2），B（2，8），（1）若=， =﹣，求的坐标；（2）设G（0，5），若⊥，∥，求E点坐标．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）利用向量的数乘运算、坐标运算、三角形法则即可得出．（2）利用向量的共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：（1）∵=（3，6），∴==（1，2），=﹣=（﹣2，﹣4），∴==（2，4）﹣（1，2）=（1，2）．（2）设E（x，y），则=（x+1，y﹣2），=（x﹣2，y﹣8），∵=（﹣2，﹣3），⊥，∥，∴，解得．∴E点坐标（﹣，）．【点评】本题考查了向量的数乘运算、坐标运算、三角形法则、向量的共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．18．（1）已知角α终边经过点P（﹣4，3），求的值？（2）已知函数，（b＞0）在0≤x≤π的最大值为，最小值为﹣，求2a+b的值？【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数的定义求出正切函数值，利用诱导公式化简所求表达式为正切函数形式，代入求解即可．（2）通过角的X围求解得到，利用最值求解a、b即可．【解答】解：（1）∵角α终边经过点P（﹣4，3），∴…（2分）∴…（6分）（2）∵0≤x≤π∴…（7分）∴…（9分）∵b＞0并且在0≤x≤π的最大值为，最小值为﹣∴，…（11分）解得：…（12分）∴2a+b=3．…（13分）【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力．19．已知f（x）=4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα．（1）若f（x）=1，求sinα+cosα的值；（2）当时，求f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）令sinα+cosα=t，换元平方得2sinαcosα=t2﹣1，由此利用二次函数和三角函数的性质能求出sinα+cosα的值．（2）令t=sinα+cosα，推导出，由此利用二次函数性质能求出f（x）的值域．【解答】解：（1）令sinα+cosα=t，换元平方得2sinαcosα=t2﹣1，∵f（x）=1，∴2（t2﹣1）﹣5t=1，即2t2﹣5t﹣3=0，解得又∵，∴（2）令t=sinα+cosα，∵，∴，即，∴，由二次函数图象可知：．【点评】本题考查函数值和函数的值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ 的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的X围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．21．已知向量，函数的图象关于直线对称，且经过点，其中ω，λ为实数，ω∈（0，2）．（1）求f（x）的解析式；（2）若锐角α，β满足，求β的值．【考点】正弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，正弦函数的图象的对称性，求得ω的值，可得函数的解析式，再根据函数的图象经过特殊点，求得λ的值，从而得到函数的解析式．（2）由条件利用同角三角的基本关系求得α、α+β的正弦和余弦，再利用两角差的余弦公式求得cosβ的值，可得β的值．【解答】解：（1）由得=1﹣cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ+1，可得．由于函数f（x）的图象关于直线对称，∴，解得：，∵ω∈（0，2），∴ω=1．又因为f（x）经过点，可得：λ=﹣1，因此．（2）由．∵α为锐角且，∴，又α，β为锐角，∴，又，∴，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的图象的对称性，同角三角的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题．22．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对于任意的实数x，y有f（xy）=f （x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f（2）=1，对任意实数t，不等式f（t2+1）﹣f（t2﹣kt+1）≤2恒成立，某某数k 的取值X围．【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）设出（0，+∞）上的任意两个实数x1，x2，且x1＞x2，由此可得，结合f（xy）=f（x）+f（y），得，说明f（x1）＞f（x2），得到f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）由f（2）=1，得2=f（4），把对任意实数t，不等式f（t2+1）﹣f（t2﹣kt+1）≤2恒成立，转化为对任意实数t，恒成立，分别求出使①，②恒成立时k的X围取交集得答案．【解答】（1）证明：设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＞x2，则，∴，由f（xy）=f（x）+f（y），得，∵，∴f（x1）＞f（x2）．则f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）解：由f（2）=1，得2=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4）．又对任意实数t，不等式f（t2+1）﹣f（t2﹣kt+1）≤2恒成立，即f（t2+1）≤f（t2﹣kt+1）+f（4）=f（4t2﹣4kt+4）恒成立，则对任意实数t，恒成立．由①得：（﹣k）2﹣4＜0，解得﹣2＜k＜2；由②得：3t2﹣4kt+3≥0，则（﹣4k）2﹣4×3×3≤0，解得：．∴实数k的取值X围是．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了抽象函数的应用，考查了数学转化思想方法，训练了二次函数恒成立问题，是中高档题．。

浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。

江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

+
1 b
£
m 2a +
b
化为
m
³
5
+
2b a
+
2a b
，利用基本不等式即可得到答案．
【详解】因为 a > 0,b > 0 ，所以 2a + b > 0 ，
所以
m
³
(
2 a
+
1 b
)(2a
+
b)
=
5
+
2b a
+
2a b
，
又
2b a
+
2a b
³
2
2b a
´
2a b
=
4 ，当且仅当
2b a
=
2a b
，即 a
江西省南昌市第十九中学 2024-2025 学年高一上学期期中考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 P =x +1
y
Î
N
ü ý
，
þ
Q = {x -1 £ x £ 4} ，则 P I Q = （
a3 + b3 + c3 ³ 3abc(a,b,c > 0) ．
(2)已知函数
f
(x)
=
x2
+
2 x
．
试卷第51 页，共33 页
①解不等式 f (x) ³ 5 ； ②利用（1）的结论，对任意 x Î(0, +¥), f (x) ³ m2 + 2m 恒成立，求实数 m 的取值范围． 18．已知函数 f (x) 的定义域为 (-¥,0) U (0, +¥) ，对任意 x, y Î R 且| x |¹| y | ，都满足

江西省南昌市选课走班2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

江西省南昌市选课走班2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣∞，﹣1）2．命题“∀x∈Q，3x2+2x+1∈Q”的否定为（）A．∀x∉Q，3x2+2x+1∉Q B．∀x∈Q，3x2+2x+1∉QC．∃x∉Q，3x2+2x+1∉Q D．∃x∈Q，3x2+2x+1∉Q3．从已经生产出来的10万个灯泡中随机抽取1000个，以此来了解这10万个灯泡的寿命，在这一情境中，总体是指（）A．这10万个灯泡B．这10万个灯泡的寿命C．抽取的1000个灯泡D．抽取的1000个灯泡的寿命4．若函数f（x）的图象在R上连续不间断，且f（1）＞0，f（2）＜0，f（3）＜0，则下列说法正确的是（）A．函数在区间（1，2）上有且只有1个零点B．函数在区间（2，3）上一定没有零点C．函数在区间（1，3）上一定有零点D．函数在区间（2，3）上一定有零点5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．若，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．一般来说，产品进入市场，价格越高，销量越小．某门店对其销售产品定价为p元/件，日销售量为q件，根据历史数据可近似认为p，q满足关系q＝200﹣p（80≤p≤150），如当定价p＝90元，毛收入为9900元．为了追求最大利润，不会无限提高售价，根据信息推测每天最少毛收入为（）A．7500元B．9600元C．9900元D．10000元8．关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（m，n）（m＜n），有下列四个结论：甲：m＝﹣3；乙：n＝﹣1；丙：m+n＝﹣2；丁：ac＜0．如果只有一个假命题，则假命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若1＜a＜2，3＜b＜5，则下列不等式中正确的是（）A．4＜a+b＜7B．2＜b﹣a＜3C．3＜ab＜10D．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）的定义域为（﹣1，1）C．D．f（x）在定义域上单调递减11．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，如表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．中国巴西英国墨西哥俄罗斯意大利德国韩国加拿大沙特阿拉伯7.4 2.07.5 3.912.6 6.410.2 6.215.716.6根据上表，下列结论正确的是（）A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为12．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①y＝5+2lg x；②．（参考数据：100.1≈1.25）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（）A．选择函数模型①B．选择函数模型②C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数f（x）图像过点（2，8），则f（x）＝，＝．14．若则f（f（0））＝．15．当x＞﹣2，函数的最小值为．16．设log25＝a，则5lg2+2lg5＝．（用字母a表示）四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）若x+x﹣1＝5，求x2+x﹣2的值；（2）计算：．18．（12分）已知非空集合A＝{x|1+a≤x≤1﹣2a}，B＝{x|x2+3x+2≥0}（a∈R）．（1）若a＝﹣1，求（∁R A）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．19．（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定个课余锻炼考核评分制，需要建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（分）的函数关系，要求：（1）是区间〖0，90〗的增函数；（2）每天运动时间为0时，当天得分为0；（3）每天运动达标时间为30分钟，这时当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分，现有三个函数模型：①y＝kx+b（k＞0）；②y＝k•1.2x+b（k＞0）；③y＝k+n（k＞0）供选择，（1）请你从中选择一个合适函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的〖解析〗式；（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟？（保留整数）20．（12分）甲乙两个班参加了同一学科的考试，其中甲班40人，乙班30人，乙班的平均成绩70分，方差为130，甲班按分数段按相应的比例随机抽取了10名同学的成绩如下：56，66，68，72，77，79，82，86，91，93．（1）计算甲班这10名同学成绩的平均数和方差；（2）用甲班这10名同学的平均数和方差估计甲班全体同学的平均数和方差，那么甲、乙两班全部70名同学的平均成绩和方差分别为多少？21．（12分）已知函数f（x）＝（k＞0）．（1）试判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数k的取值范围．22．（12分）连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数，记两次点数之和为3的倍数的概率为p．（1）求p的值；（2）如图某质点从原点O（0，0）沿网格线向上或向右移动，向上移动一个单位的概率为p，向右移动一个单位的概率为1﹣p，求该质点移动四次到达点M（3，1）的概率．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D〖解析〗∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞2}，∴A∩B＝{x|x＜﹣1}．故选：D．2．D〖解析〗命题为全称命题，则否定为特称命题，即∃x∈Q，3x2+2x+1∉Q，故选：D．3．B〖解析〗因为要了解的是10万个灯泡的寿命，所以总体是10万个灯泡的寿命．故选：B．4．C〖解析〗对于A，∵函数f（x）的图象在R上连续不间断，且f（1）＞0，f（2）＜0，∴函数在区间（1，2）上存在零点，故A错误，对于B，∵函数f（x）的图象在R上连续不间断，f（2）＜0，f（3）＜0，∴函数在区间（2，3）上零点不一定存在，故B错误，对于C，∵函数f（x）的图象在R上连续不间断，且f（1）＞0，f（3）＜0，∴函数在区间（1，3）上一定有零点，故C正确，对于D，∵函数f（x）的图象在R上连续不间断，f（2）＜0，f（3）＜0，∴函数在区间（2，3）上零点不一定存在，故D错误．故选：C．5．A〖解析〗函数是偶函数，排除C、D；x→+∞时，f（x）＞0，排除B，故选：A．6．A〖解析〗∵＞20＝1，∴a＞1，∵＜＝0，∴b＜0，∵ln1＜＜ln e＝1，∴0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：A．7．A〖解析〗设每天的毛收入为y元，单价为p元/件，则y＝pq＝（200﹣p）p＝﹣p2+200p，由对称轴为p＝100，开口向下，故当p＝150时，毛收入y有最小值，（200﹣150）×150＝7500元．故选：A．8．B〖解析〗假设只有甲是假命题，当n＝﹣1，m+n＝﹣2时，m＝﹣1，所以mn＝1＝＞0，所以ac＜0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；假设只有乙是假命题，m＝﹣3，m+n＝﹣2时，n＝1，所以mn＝﹣3＝＜0，所以ac＜0，符合题意；假设只有丙是假命题，m＝﹣3，n＝﹣1时，所以mn＝3＝＞0，所以ac＜0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；假设只有丁是假命题，m＝﹣3，n＝﹣1时，m+n≠﹣2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意．故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD〖解析〗∵1＜a＜2，3＜b＜5，∴由不等式的可加性可得，4＜a+b＜7，故A正确，∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵3＜b＜5，∴1＜b﹣a＜4，故B错误，∵1＜a＜2，3＜b＜5，∴3＜ab＜10，故C正确，∵1＜a＜2，∴，∵3＜b＜5，∴，故D正确．故选：ACD．10．ABC〖解析〗的定义域为（﹣1，1），又f（﹣x）＝lg（）＝﹣lg＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故AB正确；f（）＝lg（）＝lg3，f（）＝lg（）＝lg2，f（）＝lg（）＝lg6＝lg2+lg3，所以f（）+f（）＝f（），故C正确；t＝＝﹣1+在定义域内为增函数，而y＝lg t单调递增，由复合函数的单调性可知f（x）在定义域上单调递增，故D错误．故选：ABC．11．ABD〖解析〗A：这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为16.6﹣2＝14.6（吨），∴A正确，B：10个国家和地区人均二氧化碳排放量从小到大为2.0，3.9，6.2，6.4，7.4，7.5，10.2，12.6，15.7，16.6，∴中位数为＝7.45（吨），∴B正确，C：∵10×30%＝3，∴这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是＝6.3（吨），∴C错误，D：设俄罗斯被抽到为事件A，∵基本事件总数为＝6，事件A包含的基本事件数为＝3，∴P（A）＝＝，∴D正确，故选：ABD．12．BD〖解析〗当x＝0.1时，代入y＝5+2lg x可得，y＝5﹣2＝3，代入y＝，y＝5﹣1＝4，故选择函数模型②，故A错误，B正确，对于C，当y＝5时，由y＝，解得x＝1，则小明视力的小数记录数据为1.0，故C错误，对于D，当y＝4.9时，由y＝5﹣，解得x＝0.8，则小明视力的小数记录数据为0.8，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．x3，2〖解析〗设幂函数f（x）的〖解析〗式为y＝f（x）＝xα，α∈R；因为f（x）的图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以f（x）＝x3，所以f（）＝（）3＝2．故〖答案〗为：x3，2．14．8〖解析〗∵函数，∴f（0）＝20+1＝2，f〖f（0）〗＝f（2）＝23＝8．故〖答案〗为：8．15．2〖解析〗由题意可令x+2＝t（t＞0），则x＝t﹣2，y＝＝t+≥2＝2，当且仅当t＝，t＝，x＝﹣2时，函数取得最小值2．故〖答案〗为：2．16．〖解析〗根据题意，log25＝a，则＝a，变形可得＝a，解可得lg2＝，则lg5＝1﹣lg2＝，故5lg2+2lg5＝+＝；故〖答案〗为：．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝52﹣2＝23．（2）原式＝＝．18．解：（1）当a＝﹣1时，A＝{x|0≤x≤3}，则∁R A＝{x|x＜0或x＞3}，B＝{x|x2+3x+2≥0}＝{x|（x+2）（x+1）≥0}，解得B＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，故（∁R A）∩B＝{x|x≤﹣2或﹣1≤x＜0或x＞3}，（2）由已知，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊆B，且A≠∅，得或，解得a∈∅或﹣2≤a≤0，综上所述，a的取值范围是〖﹣2，0〗．19．解：（1）由题意函数的增长速度比较慢，而对于②，指数型的函数是爆炸式增长，所以②不合适，当y＝kx+b时，由已知要求（2）可得b＝0，由要求（3）可得k＝，由要求（4）可得90k≤6，相互矛盾，所以该模型不合适，故选择模型③：y＝k log2（+n（k＞0），由题意可得，可得k＝3，n＝﹣3，所以满足题意的函数的〖解析〗式为y＝3log2（）﹣3；（2）令3log，则log，即＝4×20.5＝4≈5.64，解得x≥54.6，所以至少需要55分钟锻炼．20．解：（1），．（2）记这70名同学的平均成绩和方差分别为，，分层抽样中两组数据x，y的抽样比例是，则总体均值为，所以，，（9分）总体方差，＝．21．（1）证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝﹣k e﹣x﹣e x＝﹣（k e﹣x+e x）＝﹣f（x），当x＜0时，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝e﹣x+k e x＝﹣（﹣k e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），当x＝0时，f（x）＝0，综上可得，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数．（2）解：∵k＞0，∴当x＞0时，f（x）＞0，∵函数f（x）在定义域内为增函数且为奇函数，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f'（x）＝e x﹣k e﹣x≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝e2x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）＝1，∴k≤1，又∵k＞0，∴0＜k≤1，即实数k的取值范围为（0，1〗．22．解：（1）两次点数之和为3的倍数的情有（1，2），（2，1），（2，4），（4，2），（3，3），（1，5），（5，1），（4，5），（5，4），（3，6），（6，3），（6，6），共12种，所以两次点数之和为3的倍数的概率为p＝＝，（2）p＝，1﹣p＝，质点要移动4次到达（3，1），则向右移动3格，向上移动1格，所以概率为4×（）3×（）＝．江西省南昌市选课走班2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣∞，﹣1）2．命题“∀x∈Q，3x2+2x+1∈Q”的否定为（）A．∀x∉Q，3x2+2x+1∉Q B．∀x∈Q，3x2+2x+1∉QC．∃x∉Q，3x2+2x+1∉Q D．∃x∈Q，3x2+2x+1∉Q3．从已经生产出来的10万个灯泡中随机抽取1000个，以此来了解这10万个灯泡的寿命，在这一情境中，总体是指（）A．这10万个灯泡B．这10万个灯泡的寿命C．抽取的1000个灯泡D．抽取的1000个灯泡的寿命4．若函数f（x）的图象在R上连续不间断，且f（1）＞0，f（2）＜0，f（3）＜0，则下列说法正确的是（）A．函数在区间（1，2）上有且只有1个零点B．函数在区间（2，3）上一定没有零点C．函数在区间（1，3）上一定有零点D．函数在区间（2，3）上一定有零点5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．若，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．一般来说，产品进入市场，价格越高，销量越小．某门店对其销售产品定价为p元/件，日销售量为q件，根据历史数据可近似认为p，q满足关系q＝200﹣p（80≤p≤150），如当定价p＝90元，毛收入为9900元．为了追求最大利润，不会无限提高售价，根据信息推测每天最少毛收入为（）A．7500元B．9600元C．9900元D．10000元8．关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（m，n）（m＜n），有下列四个结论：甲：m＝﹣3；乙：n＝﹣1；丙：m+n＝﹣2；丁：ac＜0．如果只有一个假命题，则假命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若1＜a＜2，3＜b＜5，则下列不等式中正确的是（）A．4＜a+b＜7B．2＜b﹣a＜3C．3＜ab＜10D．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）的定义域为（﹣1，1）C．D．f（x）在定义域上单调递减11．欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，如表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．中国巴西英国墨西哥俄罗斯意大利德国韩国加拿大沙特阿拉伯7.4 2.07.5 3.912.6 6.410.2 6.215.716.6根据上表，下列结论正确的是（）A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为12．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①y＝5+2lg x；②．（参考数据：100.1≈1.25）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（）A．选择函数模型①B．选择函数模型②C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数f（x）图像过点（2，8），则f（x）＝，＝．14．若则f（f（0））＝．15．当x＞﹣2，函数的最小值为．16．设log25＝a，则5lg2+2lg5＝．（用字母a表示）四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）若x+x﹣1＝5，求x2+x﹣2的值；（2）计算：．18．（12分）已知非空集合A＝{x|1+a≤x≤1﹣2a}，B＝{x|x2+3x+2≥0}（a∈R）．（1）若a＝﹣1，求（∁R A）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．19．（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定个课余锻炼考核评分制，需要建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（分）的函数关系，要求：（1）是区间〖0，90〗的增函数；（2）每天运动时间为0时，当天得分为0；（3）每天运动达标时间为30分钟，这时当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分，现有三个函数模型：①y＝kx+b（k＞0）；②y＝k•1.2x+b（k＞0）；③y＝k+n（k＞0）供选择，（1）请你从中选择一个合适函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的〖解析〗式；（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟？（保留整数）20．（12分）甲乙两个班参加了同一学科的考试，其中甲班40人，乙班30人，乙班的平均成绩70分，方差为130，甲班按分数段按相应的比例随机抽取了10名同学的成绩如下：56，66，68，72，77，79，82，86，91，93．（1）计算甲班这10名同学成绩的平均数和方差；（2）用甲班这10名同学的平均数和方差估计甲班全体同学的平均数和方差，那么甲、乙两班全部70名同学的平均成绩和方差分别为多少？21．（12分）已知函数f（x）＝（k＞0）．（1）试判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数k的取值范围．22．（12分）连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数，记两次点数之和为3的倍数的概率为p．（1）求p的值；（2）如图某质点从原点O（0，0）沿网格线向上或向右移动，向上移动一个单位的概率为p，向右移动一个单位的概率为1﹣p，求该质点移动四次到达点M（3，1）的概率．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D〖解析〗∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞2}，∴A∩B＝{x|x＜﹣1}．故选：D．2．D〖解析〗命题为全称命题，则否定为特称命题，即∃x∈Q，3x2+2x+1∉Q，故选：D．3．B〖解析〗因为要了解的是10万个灯泡的寿命，所以总体是10万个灯泡的寿命．故选：B．4．C〖解析〗对于A，∵函数f（x）的图象在R上连续不间断，且f（1）＞0，f（2）＜0，∴函数在区间（1，2）上存在零点，故A错误，对于B，∵函数f（x）的图象在R上连续不间断，f（2）＜0，f（3）＜0，∴函数在区间（2，3）上零点不一定存在，故B错误，对于C，∵函数f（x）的图象在R上连续不间断，且f（1）＞0，f（3）＜0，∴函数在区间（1，3）上一定有零点，故C正确，对于D，∵函数f（x）的图象在R上连续不间断，f（2）＜0，f（3）＜0，∴函数在区间（2，3）上零点不一定存在，故D错误．故选：C．5．A〖解析〗函数是偶函数，排除C、D；x→+∞时，f（x）＞0，排除B，故选：A．6．A〖解析〗∵＞20＝1，∴a＞1，∵＜＝0，∴b＜0，∵ln1＜＜ln e＝1，∴0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：A．7．A〖解析〗设每天的毛收入为y元，单价为p元/件，则y＝pq＝（200﹣p）p＝﹣p2+200p，由对称轴为p＝100，开口向下，故当p＝150时，毛收入y有最小值，（200﹣150）×150＝7500元．故选：A．8．B〖解析〗假设只有甲是假命题，当n＝﹣1，m+n＝﹣2时，m＝﹣1，所以mn＝1＝＞0，所以ac＜0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；假设只有乙是假命题，m＝﹣3，m+n＝﹣2时，n＝1，所以mn＝﹣3＝＜0，所以ac＜0，符合题意；假设只有丙是假命题，m＝﹣3，n＝﹣1时，所以mn＝3＝＞0，所以ac＜0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；假设只有丁是假命题，m＝﹣3，n＝﹣1时，m+n≠﹣2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意．故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD〖解析〗∵1＜a＜2，3＜b＜5，∴由不等式的可加性可得，4＜a+b＜7，故A正确，∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵3＜b＜5，∴1＜b﹣a＜4，故B错误，∵1＜a＜2，3＜b＜5，∴3＜ab＜10，故C正确，∵1＜a＜2，∴，∵3＜b＜5，∴，故D正确．故选：ACD．10．ABC〖解析〗的定义域为（﹣1，1），又f（﹣x）＝lg（）＝﹣lg＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故AB正确；f（）＝lg（）＝lg3，f（）＝lg（）＝lg2，f（）＝lg（）＝lg6＝lg2+lg3，所以f（）+f（）＝f（），故C正确；t＝＝﹣1+在定义域内为增函数，而y＝lg t单调递增，由复合函数的单调性可知f（x）在定义域上单调递增，故D错误．故选：ABC．11．ABD〖解析〗A：这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为16.6﹣2＝14.6（吨），∴A正确，B：10个国家和地区人均二氧化碳排放量从小到大为2.0，3.9，6.2，6.4，7.4，7.5，10.2，12.6，15.7，16.6，∴中位数为＝7.45（吨），∴B正确，C：∵10×30%＝3，∴这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是＝6.3（吨），∴C错误，D：设俄罗斯被抽到为事件A，∵基本事件总数为＝6，事件A包含的基本事件数为＝3，∴P（A）＝＝，∴D正确，故选：ABD．12．BD〖解析〗当x＝0.1时，代入y＝5+2lg x可得，y＝5﹣2＝3，代入y＝，y＝5﹣1＝4，故选择函数模型②，故A错误，B正确，对于C，当y＝5时，由y＝，解得x＝1，则小明视力的小数记录数据为1.0，故C错误，对于D，当y＝4.9时，由y＝5﹣，解得x＝0.8，则小明视力的小数记录数据为0.8，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．x3，2〖解析〗设幂函数f（x）的〖解析〗式为y＝f（x）＝xα，α∈R；因为f（x）的图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以f（x）＝x3，所以f（）＝（）3＝2．故〖答案〗为：x3，2．14．8〖解析〗∵函数，∴f（0）＝20+1＝2，f〖f（0）〗＝f（2）＝23＝8．故〖答案〗为：8．15．2〖解析〗由题意可令x+2＝t（t＞0），则x＝t﹣2，y＝＝t+≥2＝2，当且仅当t＝，t＝，x＝﹣2时，函数取得最小值2．故〖答案〗为：2．16．〖解析〗根据题意，log25＝a，则＝a，变形可得＝a，解可得lg2＝，则lg5＝1﹣lg2＝，故5lg2+2lg5＝+＝；故〖答案〗为：．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝52﹣2＝23．（2）原式＝＝．18．解：（1）当a＝﹣1时，A＝{x|0≤x≤3}，则∁R A＝{x|x＜0或x＞3}，B＝{x|x2+3x+2≥0}＝{x|（x+2）（x+1）≥0}，解得B＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，故（∁R A）∩B＝{x|x≤﹣2或﹣1≤x＜0或x＞3}，（2）由已知，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊆B，且A≠∅，得或，解得a∈∅或﹣2≤a≤0，综上所述，a的取值范围是〖﹣2，0〗．19．解：（1）由题意函数的增长速度比较慢，而对于②，指数型的函数是爆炸式增长，所以②不合适，当y＝kx+b时，由已知要求（2）可得b＝0，由要求（3）可得k＝，由要求（4）可得90k≤6，相互矛盾，所以该模型不合适，故选择模型③：y＝k log2（+n（k＞0），由题意可得，可得k＝3，n＝﹣3，所以满足题意的函数的〖解析〗式为y＝3log2（）﹣3；（2）令3log，则log，即＝4×20.5＝4≈5.64，解得x≥54.6，所以至少需要55分钟锻炼．20．解：（1），．（2）记这70名同学的平均成绩和方差分别为，，分层抽样中两组数据x，y的抽样比例是，则总体均值为，所以，，（9分）总体方差，＝．21．（1）证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝﹣k e﹣x﹣e x＝﹣（k e﹣x+e x）＝﹣f（x），当x＜0时，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝e﹣x+k e x＝﹣（﹣k e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），当x＝0时，f（x）＝0，综上可得，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数．（2）解：∵k＞0，∴当x＞0时，f（x）＞0，∵函数f（x）在定义域内为增函数且为奇函数，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f'（x）＝e x﹣k e﹣x≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝e2x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）＝1，∴k≤1，又∵k＞0，∴0＜k≤1，即实数k的取值范围为（0，1〗．22．解：（1）两次点数之和为3的倍数的情有（1，2），（2，1），（2，4），（4，2），（3，3），（1，5），（5，1），（4，5），（5，4），（3，6），（6，3），（6，6），共12种，所以两次点数之和为3的倍数的概率为p＝＝，（2）p＝，1﹣p＝，质点要移动4次到达（3，1），则向右移动3格，向上移动1格，所以概率为4×（）3×（）＝．。

江西省南昌市铁路第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(含答案解析)

之间的
d
A,
B
和余弦距离；
(2)已知 M sin,cos ， N sin ,cos ， Q sin , cos ，若 cosM , N 1 ，
3
cos M ,Q 1 ，求 tan tan 的值.
2
22．函数
f
(x)
cos(x
)
0, |
|
2
的部分图像如图所示.
（1）求 f x 的解析式；
7．函数 y= 2|x| sin2x 的图象可能是
C．1
D．2
A．
B．
试卷第 1页，共 5页
C．
D．
8．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口
江西省南昌市铁路第一中学 2022-2023 学年高一下学期 3 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知角 8 ，则角α的终边在（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．与 1050 终边相同的最小正角是（）
2 故选：B
2．C
【分析】求出与角 1050 终边相同的角，进而可得最小正角. 【详解】与角 1050 终边相同的角为 1050 k 360, k Z ，当 k 3时，取最小正角，为 1050 3360 30
故选：C.
3．B
【详解】解：因为
sin（
4

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