高考理科数学复习一元二次方程根的分布课件

设 g(t)＝t＋4t ，可以证明当 t∈(0,2]时，g(t)单调递减. 设 0<t1<t2≤2， 则 g(t1)－g(t2)＝t1＋t41－t2＋t42＝t1－t2t1tt12t2－4. 由 0<t1<t2≤2，得 t1－t2<0,0<t1t2<4，即 g(t1)－g(t2)>0. 所以 g(t)在 t∈(0,2]上单调递减. 故 g(t)≥g(2)＝4.所以 y＝gt1－2≤12.
解得 3<m≤130.故 m 的取值范围是3，130.
思想与方法 ⊙运用分类讨论思想判断方程根的分布 例题：已知函数 f(x)＝ax2＋x－1＋3a(a∈R)在区间[－1,1] 上有零点，求实数 a 的取值范围. 解：方法一，当 a＝0 时，f(x)＝x－1，令 f(x)＝0，得 x＝1， 是区间[－1,1]上的零点. 当 a≠0 时，函数 f(x)在区间[－1,1]上有零点分为三种情况： ①方程 f(x)＝0 在区间[－1,1]上有重根， 令 Δ＝1－4a(－1＋3a)＝0，解得 a＝－16或 a＝12.
a>0， ⇔ffkk12><00， ，
fp1<0， fp2>0
a<0， 或ffkk12<>00， ，
fp1>0， fp2<0.
1.若集合 A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的值的集合是
( D) A.{a|0<a<4}
B.{a|0≤a<4}
C.{a|0<a≤4}
D.{a|0≤a≤4}
考点2 一元二次方程根的分布的应用
例2：已知抛物线 y＝－x2＋mx－1 与以 A(3,0)，B(0,3)为端
点的线段 AB 恰有一个公共点，求实数 m 的取值范围.
思维点拨：由直线AB 的方程为 y＝－x＋3，得线段 AB 的
方程为：y＝－x＋3(0≤x≤3)，由题设抛物线 y＝－x2＋mx－1
(6)两根都大于 0，应满足：
Δ≥0， －mm＋－11>0， m－1f0>0，
解得 0<m<1.
Δ≥0， (7)两根都小于 1，应满足：－mm＋ －11<1，
m－1f1>0，
解得 m>1 或 m<－12.
Δ≥0， (8)在(1,2)内有解，应满足：1<－mm＋－11<2，
mm－ －11ff12>>00，
第11讲 一元二次方程根的分布
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，二次函数 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a≠0)：
Δ＝b2－4ac≥0， ①方程有两正根：x1>0，x2>0⇔x1＋x2＝－ba>0， x1x2＝ac>0；
(7)两根都小于 1； (8)在(1,2)内有解.
解：设 f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，
Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝8m＋142＋72>0. (1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内应满足：
f1f2<0， f0f－1<0，
即m－22mm＋－13<0－，m<0.
(3)准确理解根的存在性定理：①f(x)在[a，b]上连续； ②f(a)·f(b)<0；这是零点存在的一个充分条件，不是必要条件， 并且满足f(a)·f(b)<0 时，f(x)在[a，b]上至少有一个零点；不满 足f(a)·f(b)<0 时，f(x)在[a，b]上未必无零点，也可能有多个零 点.
【互动探究】 3.已知二次函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a. (1)判断命题：“对于任意的 a∈R(R为实数集)，方程 f(x) ＝1 必有实数根”的真假，并写出判断过程；
2.关于 x 的方程 x2＋ax＋a－1＝0 有异号的两个实根，则 a 的取值范围是___a_<_1___.
3.若方程 8x2＋(m＋1)x＋m－7＝0 有两个负根，则实数 m 的取值范围是___m_>__7__.
4.关于 x 的方程 x2－ax＋a2－4＝0 有两个正根，则实数 a
2<a≤4 3 的取值范围是__________3____.
即mm－ －11m2<m0＋. 1<0，
解得 0<m<1.
(4)一根大于－1，另一根小于－1，应满足： (m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0.
解得 m>1 或 m<－32.
Δ≥0， (5)两根都在(－1,3)内，应满足：－1<－mm＋ －11<3，
mm－－11ff3－&.
解得－12<m<0.
(2)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内，应满足：
f(－1)f(1)<0，即(2m＋1)(－2m－3)<0.∴m>－12或 m<－32.
又∵m－1≠0，∴m≠1.
∴m 的取值范围－∞，－32∪－12，1∪(1，＋∞). (3)一根小于 1，另一根大于 2，应满足：
m－1f1<0， m－1f2<0，
当 a＝－16时，令 f(x)＝0，得 x＝3，不是区间[－1,1]上的零 点，舍去；
当 a＝12时，令 f(x)＝0，得 x＝－1，是区间[－1,1]上的零点. ②若函数 y＝f(x)在区间[－1,1]上只有一个零点，但不是 f(x) ＝0 的重根，即 a≠－16，a≠12， 令 f(1)f(－1)＝4a(4a－2)≤0，解得 0≤a≤12. 又 a≠0，a≠12，∴0<a<12.
故实数 a 的取值范围为0，12.
【规律方法】(1)函数 f(x)＝ax2＋x－1＋3a(a∈R)在区间 [－1,1]上有零点，应该分类讨论：讨论 a＝0 与a≠0；讨论有一个
零点或有两个零点；如果只有一个零点还要讨论是否是重根；
(2)函数 f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是方程 f(x) ＝0 的实数根；
或 f(1)·f(2)<0，
解得－12<m<0.
【互动探究】 1.(2018 年山东实验中学诊断)如果方程 x2＋(m－1)x＋m2－ 2＝0 的两个实根一个小于 1，另一个大于 1，那么实数 m 的取 值范围是__(_－__2_,1_)___. 解析：记 f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，由题意，可知 f(1)＝ m2＋m－2<0.解得－2<m<1.
－2ba>k； 图 2-11-1
Δ＝b2－4ac≥0， ⑤方程有两根(如图 2-11-2)：x1<k，x2<k⇔－af2kba><0k，；
图 2-11-2
⑥方程有两根(如图 2-11-3)：x2>k，x1< k ⇔af(k)<0； 图 2-11-3
⑦方程有且只有一根在区间(k1 ，k2) 内⇔ f(k1)f(k2)<0( 如图 2-11-4)；
综上所述，所求实数 m 的取值范围为 m＝3 或 m＞130.
【互动探究】
2.若二次函数 y＝－x2＋mx－1 的图象与两端点为 A(0,3)，
B(3,0)的线段 AB 有两个不同的交点，求 m 的取值范围.
解：线段 AB 的方程为 x＋y＝3(0≤x≤3)，
由题意，得方程组
x＋y＝30≤x≤3， y＝－x2＋mx－1
Δ＝b2－4ac≥0， ②方程有两负根：x1<0，x2<0⇔x1＋x2＝－ba<0， x1x2＝ac>0； ③方程有一正一负根：x1>0，x2<0 或 x1<0，x2>0⇔x1x2<0 ⇔ac<0；
Δ＝b2－4ac≥0， ④方程有两根(如图 2-11-1)：x1>k，x2> k ⇔afk>0，
(2)依题意：要使 y＝f(x)在区间(－1,0)及0，12内各有一个 零点，
f－1>0， 只需f0<0，
f12>0，
3－4a>0， 即1－2a<0，
34－a>0.
解得12<a<34.
(2)若 y＝f(x)在区间(－1,0)及0，12 内各有一个零点.求实数 a 的取值范围.
解：(1)“对于任意的 a∈R(R为实数集)，方程 f(x)＝1 必 有实数根”是真命题.
依题意，得 f(x)＝1 有实数根， 即 x2＋(2a－1)x－2a＝0 有实数根. ∵Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0 对于任意的 a∈R(R为实 数集)恒成立， ∴x2＋(2a－1)x－2a＝0 必有实数根. ∴f(x)＝1 必有实数根.
考点1 一元二次方程根的分布 例1：若关于x 的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0， 分别满足下列条件时，求 m 的取值范围. (1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内； (2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内； (3)一根小于 1，另一根大于 2； (4)一根大于－1，另一根小于－1； (5)两根都在区间(－1,3)； (6)两根都大于 0；
当 a≠0 时，f(x)＝ax2＋x－1＋3a 在区间[－1,1]上有零点 ⇔(x2＋3)a＝1－x 在区间[－1,1]上有解⇔a＝x12－＋x3在区间[－1,1] 上有解.
问题转化为求函数 y＝x12－＋x3在区间[－1,1]上的值域. 设 t＝1－x，由 x∈[－1,1]，得 t∈[0,2]，且 y＝1－tt2＋3≥0. 而 y＝1－tt2＋3＝t＋41t －2.
ⅰ)当
Δ＝0， m＋2 1∈[0，3]
对称轴在区间[0,3]内.
⇒m＝3 时，方程有两相等实根，且
ⅱ)当 f(0)·f(3)≤0，即 4[9－3(m＋1)＋4]≤0，即 m≥130时， 方程恰有一实根在[0,3]内.
但当 m＝130时，由方程①，得 x1＝43或 x2＝3，即当 m＝130时， 方程①有两实根在区间[0,3]内，不合题意，舍去.
图 2-11-4
⑧方程两根满足 k1<x1≤x2<k2(如图 2-11-5)
Δ＝b2－4ac≥0， a>0，
Δ＝b2－4ac≥0， a<0，
⇔fk1>0， fk2>0， k1<－2ba<k2
或fk1<0， fk2<0， k1<－2ba<k2；
图 2-11-5
⑨方程两根满足 k1<x1<k2≤p1<x2<p2
③若函数 y＝f(x)在区间[－1,1]上有两个零点，则
a>0， Δ＝－12a2＋4a＋1>0， －1<－21a<1， f1≥0， f－1≥0，
a<0， Δ＝－12a2＋4a＋1>0， 或－1<－21a<1， f1≤0， f－1≤0，
解得 a∈∅.
综上所述，实数 a 的取值范围为0，12.
方法二，当 a＝0 时，f(x)＝x－1，令 f(x)＝0，得 x＝1，是 区间[－1,1]上的零点.
与线段 AB：y＝－x＋3(0≤x≤3)恰有一个公共点，问题归结为
方程组
y＝－x＋3， y＝－x2＋mx－1
在 0≤x≤3 内只有一个实数解.
解：线段 AB 的方程为 y＝－x＋3(0≤x≤3). 代入抛物线方程，得 x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)， ① 问题归结为方程 x2－(m＋1)x＋4＝0 在[0,3]内仅有一个实 数解. 令 f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，结合 f(x)＝x2－(m＋1)x＋4 在区 间[0,3]上的图象可知：
有两组实数解.代
入，得 x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)有两个实根.令 f(x)＝x2－(m ＋1)x＋4，
因此问题转化为二次函数 f(x)＝x2－(m＋1)x＋4 在 x∈[0,3] 上有两个实根，
Δ＝m＋12－16>0， 故有0<m＋2 1<3，
f0＝4≥0， f3＝9－3m＋1＋4≥0.