3.8 圆内接正多边形
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
边长
23
2 2
边心距
1
1
3
周长
63
8 12
面积
33
4
63
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2， 则这个多边形的边数是 3 .
3.已知一个正多边形的每个内角均为108°， 则它的中心角为___7_2____度．
4.下列说法正确的是（ D ） A.各边都相等的多边形是正多边形
B.一个圆有且只有一个内接正多边形
求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
抽象成
F A
E
O
D
B
PC
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝
BC 4 2， 22
利用勾股定理,可得边心距
r 42 22 2 3.
亭子地基的周长l=6×4=24(m)
亭子地基的面积
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ).
课堂小结
正多边形和圆的
关
系
圆内接正多 边形
正多边形的 有关概念
正多边形的 有关计算
正n边形各顶点等分其外接圆.
中心 半径 边心距 中心角
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
—多边形是正多边形
圆周角相等（多边形的角相等）
归纳 将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个 圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点 n等分其外接圆.
做一做 已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形. 分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 6_0_º， 所以正六边形的边长与圆的半径 相_ 等. 因此，在半径为r的圆上依次截取等于 r 的弦， 即可将圆六等分.
解：
∵ A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴ AB=BC=CD=DE=EA. ∴ B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴ ∠A=∠B.
同理 ∠B=∠C=∠D=∠E.
∴ 五边形ABCDE是正五边形.
A
B O·
E
C
D
问题2 将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点， 所得到的多边形是正多边形吗？
弧相等— 弦相等（多边形的边相等）
讲授新课
正多边形的回顾
问题1 什么叫做正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意
各边相等 正多边形
各角相等
缺一不可
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图 形吗？都是中心对称图形吗？
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
A
120 ° B 中心角 90 °
60 °
C
360 n
F
中心
O 半径R E 边心距问r 题1
D
圆内接正多边形的有关计算
想一想
问题4 正n边形的中心角怎么计算？
360
n
A
问题5 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有
什么关系？
F
a
O
R r
BP
R2 r2 (a )2. 2
∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC= 360 =45 ，
∴∠AOC=90°，
8
∴AC= 2 2 ，此时AC与BO垂直，
∴S四边形AOCB=
1 BO AC= 1 2 2 ，2 =2 2
2
2
∴正八边形面积为：2 2 360 =8．2
90
当堂练习
1源自文库 填表
正多边形边 数
3 4 6
半径
2
2
A B 中心角
C
F
中心
O 半径R E
边心距r
MD
外接圆的圆心 外接圆的半径 每一条边所 对的圆心角
弦心距
正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
正多边形的边心距
练一练
完成下面的表格：
正多边 形边数
3 4 6
n
内角
60 ° 90 ° 120 °
(n 2) 180 n
正多边形的外角= 中心角
问题6 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
S
1 nar 2
1 lr. 2
其中l为正n边形的周长.
E D
C
典例精析
例1：如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是
（C）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
A
B
E
O·
C
D
典例精析 例2 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,
问题3
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形 什么叫做正多边形？
吗？都是中心对称图形吗？
问题1
归纳 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的 正多边形才是中心对称图形.
正多边形与圆的关系
探究归纳 问题1 如图，把⊙O分成相等的5段弧，即A⌒B=B⌒C=C⌒D=⌒DE=E⌒A， 依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？
.O
作法： (1)作⊙O的任意一条直径FC； (2)分别以F，C为圆心，以r为半径作弧，与⊙O 交于点E，A和D，B； (3)依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA， 便得到正六边形ABCDEF即为所求.
E
D
F
.O
C
A
B
正多边形的有关概念及性质
A
圆心角
B
半径R
O圆心
弦心距r
弦a
C MD
类比学习 圆内接正多边问形题1
2
2
F
E
A
O
D
4m
r
B MC
方法归纳 圆内接正多边形的辅助线
F
E
A B
·O
D
rR
MC
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
半径R
C
边长一半
O
中心角一半 边心距r
M
针对训练
1.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为__8__2__．
解：连接AO，BO，CO，AC，
∵正八边形ABCDEFGH的半径为2，
C.圆内接正四边形的边长等于半径
D.圆内接正n边形的中心角度数为 360o
n
5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，
则一个内角为
_1_2_8度74.（不取近似值）
6. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直 径最小要_4___2cm.
也就是要找这个正方形外 接圆的直径
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. (重点) 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
导入新课
观察与思考
问题：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到 的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
边长
23
2 2
边心距
1
1
3
周长
63
8 12
面积
33
4
63
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2， 则这个多边形的边数是 3 .
3.已知一个正多边形的每个内角均为108°， 则它的中心角为___7_2____度．
4.下列说法正确的是（ D ） A.各边都相等的多边形是正多边形
B.一个圆有且只有一个内接正多边形
求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
抽象成
F A
E
O
D
B
PC
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝
BC 4 2， 22
利用勾股定理,可得边心距
r 42 22 2 3.
亭子地基的周长l=6×4=24(m)
亭子地基的面积
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ).
课堂小结
正多边形和圆的
关
系
圆内接正多 边形
正多边形的 有关概念
正多边形的 有关计算
正n边形各顶点等分其外接圆.
中心 半径 边心距 中心角
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
—多边形是正多边形
圆周角相等（多边形的角相等）
归纳 将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个 圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点 n等分其外接圆.
做一做 已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形. 分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 6_0_º， 所以正六边形的边长与圆的半径 相_ 等. 因此，在半径为r的圆上依次截取等于 r 的弦， 即可将圆六等分.
解：
∵ A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴ AB=BC=CD=DE=EA. ∴ B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴ ∠A=∠B.
同理 ∠B=∠C=∠D=∠E.
∴ 五边形ABCDE是正五边形.
A
B O·
E
C
D
问题2 将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点， 所得到的多边形是正多边形吗？
弧相等— 弦相等（多边形的边相等）
讲授新课
正多边形的回顾
问题1 什么叫做正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意
各边相等 正多边形
各角相等
缺一不可
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图 形吗？都是中心对称图形吗？
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
A
120 ° B 中心角 90 °
60 °
C
360 n
F
中心
O 半径R E 边心距问r 题1
D
圆内接正多边形的有关计算
想一想
问题4 正n边形的中心角怎么计算？
360
n
A
问题5 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有
什么关系？
F
a
O
R r
BP
R2 r2 (a )2. 2
∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC= 360 =45 ，
∴∠AOC=90°，
8
∴AC= 2 2 ，此时AC与BO垂直，
∴S四边形AOCB=
1 BO AC= 1 2 2 ，2 =2 2
2
2
∴正八边形面积为：2 2 360 =8．2
90
当堂练习
1源自文库 填表
正多边形边 数
3 4 6
半径
2
2
A B 中心角
C
F
中心
O 半径R E
边心距r
MD
外接圆的圆心 外接圆的半径 每一条边所 对的圆心角
弦心距
正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
正多边形的边心距
练一练
完成下面的表格：
正多边 形边数
3 4 6
n
内角
60 ° 90 ° 120 °
(n 2) 180 n
正多边形的外角= 中心角
问题6 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
S
1 nar 2
1 lr. 2
其中l为正n边形的周长.
E D
C
典例精析
例1：如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是
（C）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
A
B
E
O·
C
D
典例精析 例2 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,
问题3
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形 什么叫做正多边形？
吗？都是中心对称图形吗？
问题1
归纳 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的 正多边形才是中心对称图形.
正多边形与圆的关系
探究归纳 问题1 如图，把⊙O分成相等的5段弧，即A⌒B=B⌒C=C⌒D=⌒DE=E⌒A， 依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？
.O
作法： (1)作⊙O的任意一条直径FC； (2)分别以F，C为圆心，以r为半径作弧，与⊙O 交于点E，A和D，B； (3)依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA， 便得到正六边形ABCDEF即为所求.
E
D
F
.O
C
A
B
正多边形的有关概念及性质
A
圆心角
B
半径R
O圆心
弦心距r
弦a
C MD
类比学习 圆内接正多边问形题1
2
2
F
E
A
O
D
4m
r
B MC
方法归纳 圆内接正多边形的辅助线
F
E
A B
·O
D
rR
MC
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
半径R
C
边长一半
O
中心角一半 边心距r
M
针对训练
1.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为__8__2__．
解：连接AO，BO，CO，AC，
∵正八边形ABCDEFGH的半径为2，
C.圆内接正四边形的边长等于半径
D.圆内接正n边形的中心角度数为 360o
n
5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，
则一个内角为
_1_2_8度74.（不取近似值）
6. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直 径最小要_4___2cm.
也就是要找这个正方形外 接圆的直径
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. (重点) 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
导入新课
观察与思考
问题：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到 的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?