2018年高考数学(理)二轮练习：大题规范练11 “20题、21题”24分练

大题规范练(十一) “20题、21题”24分练

(时间：30分钟 分值：24分)

解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率为

2

2

.过F 1的直线l 0交C 于P ，Q 两点，且△PQF 2的周长为8 2. (1)求椭圆C 的方程；

(2)圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522

＋(y －2)2

＝254与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，过点M 任作

一条直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证∠ANM ＝∠BNM .

【导学号：07804242】

[解] (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为离心率为2

2，所以

1－b 2a 2＝22

，

解得b 2a 2＝12

，即a 2＝2b 2

.

又△PQF 2的周长为|PQ |＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|QF 1|＋|QF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ， 所以4a ＝82，即a ＝22，b ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 28＋x 2

4

＝1.

(2)证明：把y ＝0代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522

＋(y －2)2

＝254，解得x ＝1或x ＝4，

即点M (1,0)，N (4,0)．

①当AB ⊥x 轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM ＝∠BNM . ②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．

联立⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝k x －1，2x 2＋y 2

＝8，

消去y ，得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2

－8＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2

k 2＋2，x 1x 2＝k 2

－8k 2＋2.

因为y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2

x 2－4

＝

k x 1－1x 1－4＋k x 2－1

x 2－4

＝

k [x 1－1

x 2－4＋x 2－1

x 1－4]

x 1－4x 2－4

.

因为(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝

2k 2

－8

k 2＋2－10k 2

k 2＋2

＋8＝2

k 2－8－10k 2＋8k 2＋2

k 2＋2

＝0，

所以k AN ＋k BN ＝0，所以∠ANM ＝∠BNM . 综上所述，∠ANM ＝∠BNM .

21．已知函数f (x )＝ax 2

－bx ＋ln x ，a ，b ∈R .

(1)当b ＝2a ＋1时，讨论函数f (x )的单调性；

(2)当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点分别是x 1和x 2(x 1＜x 2)，求证：

f (x 1)－f (x 2)＞3

4

－ln 2.

[解] (1)因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2

－(2a ＋1)x ＋ln x ， 从而f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x ＝2ax 2

－2a ＋1x ＋1x

＝

2ax －1x －1x

，x ＞0.

当a ≤0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得x ＞1， 所以f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．

当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜1

2a ，

所以f (x )在区间(0,1)和区间⎝

⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭

⎪

⎫1，12a 上单调递减．

当a ＝1

2时，因为f ′(x )≥0(当且仅当x ＝1时取等号)，

所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．

当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得1

2a ＜x ＜1，

所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减．

综上，当a ≤0时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减；

当0＜a ＜12时，f (x )在区间(0,1)和区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减； 当a ＝1

2

时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；

当a ＞12时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减．

(2)法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2

－bx ＋ln x (x ＞0)，从而f ′(x )＝2x 2

－bx ＋1x

，

由题意知x 1，x 2是方程2x 2

－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12

.

记g (x )＝2x 2

－bx ＋1，因为b ＞3，所以g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝

3－b 2＜0，g (1)＝3－b ＜0， 所以x 1∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12，x 2∈(1，＋∞)，且bx 1＝2x 21＋1，bx 2＝2x 2

2＋1，