2019-2020年高三数学第一轮复习章节测试4-5 北师大版

2019-2020年高三数学第一轮复习章节测试4-5 北师大版
一、选择题
1．(xx·新课标文)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π
4)＝( )
A ．－7210 B.72
10
C ．－
2
10
D.210
[答案] A
[解析] 本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．
由题知，cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－3
5，由两角和的正弦公式可得sin(α
＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－72
10. 2．(xx·济南模拟)s in15°cos75°＋cos15°sin105°等于( ) A ．0
B.1
2
C.
3
2
D ．1 [答案] D
[解析] sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.
3．已知－π4<α<3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝55，则sin α＝( ) A.1010 B.255
C.5
5
D.33
[答案] A
[解析] ∵－π4<α<3π4，∴－π2<π4－α<π
2，
又sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π4－α
＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝255，
∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
－α＝1010，故选A. 4．已知sin α＝3
5，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值是( )
A ．－7
B ．7
C ．－34
D.34
[答案] B
[解析] 由sin α＝35，α为第二象限角，得cos α＝－4
5，
则tan α＝－3
4
.
∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
α＋β－tan α
1＋
α＋βα
＝
1＋34
1＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－34＝7.
5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α的值为( ) A.31
32
B ．－31
32
C ．－7
8
D.78
[答案] C
[解析] 方法1：sin2α＝cos(π2－2α)＝2cos2(α－π4)－1＝－7
8，故选C.
方法2：cos(α－π4)＝22cos α＋22sin α＝1
4
两边平方得 12＋12sin2α＝116，∴sin2α＝－7
8
，故选C.
6．已知sinx －siny ＝－23，cosx －cosy ＝2
3，且x 、y 为锐角，则tan(x －y)的值是( )
A.214
5
B ．－2145
C ．±2145
D ．±51428
[答案] B
[解析] 由已知sinx －siny ＝－23，cosx －cosy ＝2
3，得
⎩⎪⎨⎪⎧
sin2x －2sinxsiny ＋sin2y ＝4
9cos2x －2cosxcosy ＋cos2y ＝49
，
相加得cos(x －y)＝5
9
，且x 、y 均为锐角，
∴sin(x －y)＝－2149，∴tan(x －y)＝－214
5
，故选B.
7．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )
A ．－
3
2
B ．－12
C.1
2
D.32
[答案] B
[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π4 ∴α2－β＝－π
6
① ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴α－β2＝－π6或π
6②
由①②有⎩⎪⎨⎪⎧
α＝π
3
β＝π
3
或⎩⎪⎨⎪⎧
α＝－π
9β＝π
9
(舍去)，
∴cos(α＋β)＝cos 2π3＝－1
2
.
8．在△ABC 中，tanA ，tanB ，tanC 依次成等差数列，则B 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6
C.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫π6，π2
D.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫π3，π2 [答案] D
[解析] 由条件知2tanB ＝tanA ＋tanC(※)
显然B 为锐角，若B 为钝角，则tanA>0，tanC>0，tanB<0(※)式不成立． ∵tanB ＝－tan(A ＋C)＝－tanA ＋tanC
1－tanA·tanC
＝－2tanB
1－tanA·tanC
，且tanB≠0，
∴tanAtanC ＝3，
∴(2tanB)2＝(tanA ＋tanC)2＝tan2A ＋tan2C ＋2tanAtanC≥4tanAtanC＝12，因此tan2B≥3， ∵tanB>0，∴tanB≥3，π3≤B<π2
，
即B 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π3，π2，选D.
二、填空题
9．(xx·乐山模拟)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝________.
[答案]
π
3
[解析] ∵α、β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin α＝437，sin(α＋β)＝53
14，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1
2，
∵0<β<π2，∴β＝π
3
.
10．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2的最小正周期T ＝______.
[答案] π
[解析] 解法1：f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2
＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6
＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋3
4.∴T ＝π.
解法2：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12sinx ＋32cosx cosx
＝14sin2x ＋34cos2x ＋3
4 ＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3
4，∴T ＝π.
11．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝3
5，则tan α·tan β＝________.
[答案] 1
2
[解析] 由题意知：
⎩⎪⎨⎪⎧ cos αcos β－sin αsin β＝15
，
cos αcos β＋sin αsin β＝35
，
① ②
①＋②⇒cos αcos β＝2
5，③
②－①⇒sin αsin β＝1
5，④
④③得：tan αtan β＝12
. 三、解答题
12．(xx·北京海淀区模拟)已知tan α＝2.求： (1)tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；
(2)
sin2α＋π－α1＋cos2α
的值．
[解析] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α，且tan α＝2， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋21－2＝－3.
(2)
sin2α＋π－α
1＋cos2α＝
2sin αcos α＋cos2α
2cos2α
＝
2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝5
2
.
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为
210、
25
5
.
(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． [解析] 由已知得cos α＝
210，cos β＝255
. ∵α、β为锐角，∴sin α＝1－cos2α＝72
10
， sin β＝1－cos2β＝
55
， ∴tan α＝7，tan β＝1
2
.
(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
7＋12
1－7×
12
＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan2β＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4
3
，
∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β
1－tan α·tan2β
＝
7＋43
1－7×
43
＝－1. ∵α、β为锐角，0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π
4
.
14．(文)若sinA ＝
55，sinB ＝1010
，且A ，B 均为钝角，求A ＋B 的值． [分析] 欲求A ＋B ，先求A ＋B 的一个三角函数值，然后再由A 、B 的范围求得A ＋B 的值． [解析] ∵A 、B 均为钝角且 sinA ＝
55，sinB ＝1010
， ∴cosA ＝－1－sin2A ＝－
2
5
＝－25
5，
cosB ＝－1－sin2B ＝－
3
10
＝－310
10，
∴cos(A ＋B)＝cosAcosB －sinAsinB ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝2
2① 又∵π2<A<π，π
2<B<π，
∴π<A ＋B<2π. 由①②知A ＋B ＝7π4
.
[点评] (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切
函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，选正弦较
好．
(理)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7 2 10，cos2α－sin2α＝725，求sin α及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3. [解析] 由题设条件，应用两角差的正弦公式得： 7210＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)， 即sin α－cos α＝7
5
①
由题设得cos2α－sin2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－7
5(cos α＋sin α)，
故cos α＋sin α＝－1
5
②
由①式和②式得：sin α＝35，cos α＝－4
5.
∴tan α＝－3
4
，
tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋tan π31－tan αtan π3＝－3
4＋3
1＋34×3
＝
43－34＋33
＝48－253
11.
15．设函数f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π
3.
(1)求ω的值；
(2)若函数y ＝g(x)的图像是由y ＝
f(x)的图像向右平移π
2个单位长度得到的，求y ＝g(x)的单
调增区间．
[解析] (1)f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2sin ωxcos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2 ＝2sin(2ωx ＋π
4
)＋2，
依题意得2π2ω＝2π3，故ω的值为3
2
.
(2)依题意得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＋2
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2，
由2k π－π2≤3x－5π4≤2k π＋π
2 (k ∈Z)，解得
23k π＋π4≤x≤23k π＋7π
12
(k ∈Z)， 故y ＝g(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2
3k π＋π4，23k π＋7π12 (k ∈Z)．
2019-2020年高三数学第一轮复习章节测试6-5 北师大版
一、选择题
1．如果数列{an}的前n 项和Sn ＝1
4n (9n －4n)(n ∈N*)，那么这个数列( )
A ．是等差数列而不是等比数列
B ．是等比数列而不是等差数列
C ．既是等差数列又是等比数列
D ．既不是等差数列又不是等比数列 [答案] B
[解析] Sn ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫94n －1符合Sn ＝Aqn －A 的特征，故该数列为等比数列． 2．数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－2n －1，则a3＋a17等于( ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 [答案] C
[解析] a3＝S3－S2＝(32－2×3－1)－(22－2×2－1)＝3. a17＝S17－S16＝(172－2×17－1)－(162－2×16－1)＝31， ∴a3＋a17＝34.
3．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后细胞存活数是( ) A ．33 B ．64 C ．65 D ．127 [答案] B
[解析] 每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．
4．(xx·黄冈模拟)小正方形按照如图的规律排列：
每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{an}，有以下结论： ①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列； ③数列{an}是一个等比数列；
④数列的递推公式为：an ＋1＝an ＋n ＋1(n ∈N*)． 其中正确的命题序号为( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．① [答案] C
[解析] 当n ＝1时，a1＝1；当n ＝2时，a2＝3；当n ＝3时，a3＝6；当n ＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有an ＋1＝an ＋n ＋1，a5＝15.故①④正确．
5．△ABC 中，tanA 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB 是以1
2为第三项，
4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上均错 [答案] B
[解析] 由题意知：tanA ＝
－1－－
7－3
＝34
>0. tan3B ＝4
12＝8，∴tanB ＝2>0，
∴A 、B 均为锐角．
又∵tan(A ＋B)＝34＋21－34×2＝－11
2<0，
∴A ＋B 为钝角，即C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．
6．在正项数列{an}中，a1＝2，点(an ，an －1)(n≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{an}的通项公式an 为( ) A ．2n －1 B ．2n －1＋1 C ．2n D ．2n ＋1 [答案] C
[解析] 据题意得an －2an －1＝0，即an ＝2an －1，所以an ＝2×2n－1＝2n.
7．编辑一个运算程序：1&1＝2，m&n ＝k ，m&(n ＋1)＝k ＋3(m 、n 、k ∈N*)，1&xx 的输出结果为( ) A ．xx B ．xx C ．4008 D ．6011 [答案] D
[解析] 由已知m&(n ＋1)－m&n ＝3可得，数列{1&n}是首项为1&1＝2，公差为3的等差数列，∴1&xx ＝2＋(xx －1)×3＝6011.应选D. 8．下表给出一个“直角三角形数阵” 14 12，14 34，38，316
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且诸行的公比都相等，记第i
行，第j 列的数列为aij(i≥j，i ，j ∈N)，则a83等于( ) A.18 B.14 C.12 D ．1
[答案] C
[解析] 由已知在第一列构成的等差数列中，首项为14，公差为14，∴a81＝14＋(8－1)·1
4＝2
在每行构成的等比数列中公比q ＝1
2，
∴a83＝2·(12)2＝1
2.
二、填空题
9．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x2m ＋y2
n ＝1的离心率为________．
[答案]
22
[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n2＝m2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝
n －m n
＝2
2. 10．已知α∈(0，π2)∪(π
2，π)，且sin α，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．
[答案]
2π3
[解析] 由题意，sin22α＝sin α·sin4α， ∴sin22α＝2sin α·sin2α·cos2α， 即sin2α＝2sin α·cos2α，
∴2sin αcos α＝2sin α·cos2α，即cos α＝cos2α， ∴2cos2α－1＝cos α，∴(2cos α＋1)(cos α－1)＝0. 解得cos α＝1(舍去)或cos α＝－12，∴α＝2π
3
.
11．(文)(xx·江苏卷)函数y ＝x2(x>0)的图像在点(ak ，ak2)处的切线与x 轴的交点的横坐标
为ak ＋1，其中k ∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． [答案] 21
[解析] 本题主要考查了导数的几何意义及等比数列的知识，要求数列的和，关键在于确定ak 与ak ＋1之间的关系，再利用数列的相关知识求解．
∵y′＝2x ，∴过点(ak ，ak2)的切线方程为y －ak2＝2ak(x －ak)，又该切线与x 轴的交点为(ak ＋1,0)，所以ak ＋1＝12ak ，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q ＝1
2，∴a3＝4，
a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
(理)如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n(n>7，n ∈N)行，设其第k(k≤n，k ∈N*)行中不是1的数字之和为ak ，由a1，a2，a3，…组成的数列{an}的前n 项和是Sn.现在下面四个结论：①a8＝254；②an ＝an －1＋2n ；③S3＝22；④Sn ＝2n ＋1－2－2n.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… … … …
其中正确结论的序号为________．(写出所有你认为正确的结论的序号)
[答案] ①④
[解析] 由已知得an ＝Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn －2
＝(1＋1)n －2＝2n －2，
∴a8＝28－2＝256－2＝254，①正确；
an －an －1＝2n －2－2n －1＋2＝2n －1≠2n，②不正确；
∵Sn ＝2－2＋22－2＋…＋2n －2＝－
1－2－2n ＝2n ＋1－2n －2，
∴S3＝24－6－2＝8≠22，③不正确，④正确．
∴①④正确．
三、解答题
12．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，记Sn 为其前n 项和．
(1)若a2、a3、a6依次成等比数列，求其公比q.
(2)若a1＝1，证明点P1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S11，P2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S22，…，Pn ⎝
⎛⎭⎪⎫n ，Sn n (n ∈N*)在同一条直线上，并写出此直线方程．
[解析] (1)∵a2、a3、a6依次成等比数列，
∴q ＝a3a2＝a6a3＝a6－a3a3－a2＝3d d
＝3，即公比q ＝3. (2)证明：∵Sn ＝na1＋－2d ，
∴Sn n ＝a1＋n －12d ＝1＋n －12
d. ∴点Pn ⎝
⎛⎭⎪⎫n ，Sn n 在直线y ＝1＋x －12d 上． ∴点P1，P2，…，Pn(n ∈N*)都在过点(1,1)且斜率为d 2
的直线上． 此直线方程为y －1＝d 2
(x －1)． 13．(xx·福建文)数列{an}中，a1＝13.前n 项和Sn 满足Sn ＋1－Sn ＝(13
)n ＋1(n ∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式an 以及前n 项和Sn ；
(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t 的值．
[解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．
(1)由Sn ＋1－Sn ＝(13)n ＋1得an ＋1＝(13
)n ＋1(n ∈N*) 又a1＝13，故an ＝(13
)n(n ∈N*) 从而Sn ＝13×[1－131－13＝12[1－(13
)n](n ∈N*) (2)由(1)可得S1＝13，S2＝49，S3＝1327
从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得
13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49
)t ，解得t ＝2. 14．(xx·湖北文)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6)
[解析] 本小题主要考查阅读资料，提取信息，建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．
(1)第1年末的住房面积a·1110
－b ＝(1.1a －b)(m2) 第2年末的住房面积(a·1110－b)1110－b ＝a(1110)2－b(1＋1110
)＝(1.21a －2.1b)(m2) (2)第3年末的住房面积
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1110－＋1110·1110－b ＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡ 1＋1110＋ ⎦⎥⎤1110 第4年末住房面积为： a(1110)4－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋1110＋1110. 第5年末住房面积为： a·(1110)5－b ⎣⎢⎡ 1＋1110＋1110＋
1110 ⎦⎥⎤＋1110＝1.6a －6b 依题意可得，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧房面积为a 20
(m2)． 15．某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)
[解析] 设该企业逐年的项目资金依次为a1，a2，a3，…，an ，则由已知an ＋1＝an(1＋25%)
－200(n ∈N*)，即an ＋1＝54
an －200， 令an ＋1－x ＝54
(an －x)， 即an ＋1＝54an －14
x ， 由x 4
＝200，得x ＝800， ∴an ＋1－800＝54
(an －800)(n ∈N*)， 故{an －800}是以a1－800为首项，54
为公比的等比数列． ∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050，
∴a1－800＝250
∴an －800＝250⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －1， ∴an ＝800＋250⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －1(n ∈N*)． 由题意an≥4000，
∴800＋250⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －1≥4000， 即⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n≥16， ∴nln 54
≥lg16，即n(1－3lg2)≥4lg2， ∵lg2＝0.3，∴0.1n≥1.2，故n≥12.
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一、函数与方程的思想在数列中的应用
在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定义域是N ＋(或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的点．数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a1>0，q>1)．因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式．在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题．但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别．
[例1] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，点(n ，Sn)在函数f(x)＝2x －1的图像上，数列{bn}满足bn ＝log2an －12(n ∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an ；
(2)当数列{bn}的前n 项和最小时，求n 的值；
(3)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，求不等式Tn<bn 的解集．
[分析] 先利用函数关系求出Sn 的表达式，再依an 与Sn 关系求出an.进而求出bn 、Tn ，使问题解决．
[解析] 由题意得Sn ＝2n －1.
(1)当n ＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1.
又∵a1＝1＝21－1，∴an ＝2n －1.
(2)bn ＝log2an －12＝log22n －1－12＝(n －1)－12＝n －13，
∴bn ＝n －13，令bn≥0得n≥13，
∴数列{bn}的前12项均为负数，第13项为0，从第14项起均为正数，∴当n ＝12或13时，数列{bn}的前n 项和最小．
(3)∵bn ＋1－bn ＝1，∴数列{bn}为等差数列．
∴Tn ＝－2<n －13，
整理得n2－27n ＋26<0，解得1<n<26.
∴Tn<bn 的解集为{n|1<n<26，n ∈N*}．
[例2] 设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知S7＝21，S15＝－75，Tn 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫Sn n 的前n 项和，求Tn 的最大值．
[分析] 列方程组可求得Sn ，继而求得Tn ，把Tn 看成关于自变量n 的函数来求最大值即可．
[解析] 设等差数列{an}公差为d ，则Sn ＝na1＋12
n(n －1)d. ∵S7＝21，S15＝－75，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ 7a1＋21d ＝21，15a1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋3d ＝3，a1＋7d ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝9，d ＝－2.
∴Sn ＝na1＋－2d ＝9n －(n2－n)＝10n －n2， 则Sn n
＝10－n ， ∵Sn ＋1n ＋1－Sn n
＝－1， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫Sn n 是以9为首项，公差为－1的等差数列． 则Tn ＝n·[9＋－2＝－12n2＋192
n ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋3618
. ∵n ∈N*，∴当n ＝9或n ＝10时，Tn 有最大值45.
二、分类整合思想在数列中的应用
分类整合思想在数列中的体现，主要是表现在对字母范围的讨论上．例如，涉及到等比数列前n 项和问题时，需要对公比q 进行讨论，在对公比q 进行讨论时，除去q ＝1，q≠1两种情况外，有时还需对0<q<1及q>1进行讨论，这需认真审题弄清题意，切实做到分类讨论时不漏不重，合情合理．已知Sn 求an 时，需对n ＝1与n≥2两种情况进行讨论．最后需进行验证，能否将通项公式写为一个通式．若能，则写为一个通式；若不能，则需写成分段函数的
形式．
[例3] 设等比数列{an}的公比为q ，前n 项和Sn>0(n ＝1,2，…)．
(1)求q 的取值范围；
(2)设bn ＝an ＋2－32
an ＋1，记{bn}的前n 项和为Tn ，试比较Sn 和Tn 的大小． [解析] (1)因为{an}是等比数列，Sn>0，
可得a1＝S1>0，q≠0.
当q ＝1时，Sn ＝na1>0；
当q≠1时，Sn ＝－1－q >0，∴1－qn 1－q >0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q<01－qn<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q>01－qn>0.
∴－1<q<0或0<q<1或q>1.
综上所述，q>－1且q≠0.
(2)由bn ＝an ＋2－32an ＋1得bn ＝an ⎝
⎛⎭⎪⎫q2－32q ， ∴Tn ＝⎝
⎛⎭⎪⎫q2－32q Sn ∴Tn －Sn ＝Sn ⎝ ⎛⎭⎪⎫q2－32q －1＝Sn ⎝ ⎛⎭
⎪⎫q ＋12(q －2)， ∴当－1<q<－12
或q>2时，Tn>Sn ； 当－12
<q<2且q≠0时，Tn<Sn ； 当q ＝－12
或q ＝2时，Tn ＝Sn. 三、转化思想在数列中的运用
在数列中，处处体现转化与化归的思想．例如，求a1、an 、n 、Sn 、d 、q 时，往往是设出基本量，转化为解方程(组)问题；等差数列的单调性、前n 项和最值问题可转化为解不等式组、二次函数或利用图像来解决；数列的求和问题往往转化为等差、等比数列的求和问题；求数列的通项公式、解数列应用题等都要进行相应的转化．
[例4] (xx·哈尔滨模拟)数列{an}中，a1＝57，an ＝2－1an －1
(n≥2，n ∈N*)，数列{bn}满足bn ＝1an －1
(n ∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求an ；
(3)求数列{an}中的最大项与最小项．
[分析] (1)根据已知an 与bn 的关系式利用等差数列的定义证明．
(2)利用(1)的结论，数列{bn}是等差数列，确定其通项公式，根据已知an 与bn 的关系求解．
(3)利用(2)的结论，即求出的an 的表达式，利用函数的单调性求解即可．
[解析] (1)证明：∵bn －bn －1＝1an －1－1an －1－1
＝12－1an －1
－1－1an －1－1＝1(n≥2)． ∴{bn}是等差数列． (2)∵{bn}是等差数列，首项b1＝
1a1－1＝－72且公差为1， ∴bn ＝－72＋(n －1)×1，即bn ＝n －92
， ∴1an －1＝n －92，an ＝1n －92
＋1＝2n －72n －9. (3)∵an ＝1n －92
＋1， 而函数f(x)＝1x －92
＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92，⎝ ⎛⎭⎪⎫92，＋∞上都是减函数， ∴a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…，
且当n≤4时，an<1；当n>4时，an>1，
∴最大项为a5＝3，最小项为an ＝－1.
四、定义的应用
深刻理解等差、等比数列的定义，能正确运用定义和等差、等比数列的性质，是学好本板块的关键．在正确理解定义的基础上，要认真分析等差数列、等比数列定义中所蕴含的各自的特点，不要被某些问题的表面现象所迷惑，特别是一些与定义有关的题目，可能会在关键词部位做手脚，使人产生错觉而出错．
[例5] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，又有数列{bn}，它们满足关系b1＝a1，对n ∈N ＋，有an ＋Sn ＝n ，bn ＋1＝an ＋1－an.
求证：数列{bn}是等比数列，并写出它的通项公式．
[解析] 当n ＝1时，a1＝S1，故a1＝b1＝12
. 当n ≥2时，an ＋Sn ＝n ，an ＋1＋Sn ＋1＝n ＋1，两式相减得2an ＋1－an ＝1①
将①中的n 换为n －1，有
2an －an －1＝1②
由①－②得
2(an ＋1－an)－(an －an －1)＝0(n≥2)，
即2bn ＋1＝bn(n≥2)，
于是bn ＋1bn ＝12
(n≥2)． 又由a2＋S2＝2，得a2＝34，b2＝a2－a1＝14
， 于是b2b1＝12.所以 bn ＋1bn ＝12
(n ∈N ＋)． 因此，数列{bn}是等比数列，公比q ＝12，通项公式为bn ＝12n
(n ∈N ＋)．。