20212021学年高中数学第四章导数应用1函数的单调性与极值学案北师大版选修11

§1函数的单调性与极值

1．1 导数与函数的单调性

函数f(x)＝x2－2x－2的图像如图所示：

问题1：当x0∈(－∞，1)时，函数在(x0，f(x0))处的切线斜率f′(x0)大于零仍是小于零？

提示：小于零．

问题2：函数f(x)＝x2－2x－2在(－∞，1)上单调性如何？

提示：是减少的．

问题3：当x0∈(1，＋∞)时，函数在(x0，f(x0))处的切线斜率f′(x0)大于零仍是小于零？

提示：大于零．

问题4：f(x)＝x2－2x－2在(1，＋∞)上单调性如何？

提示：是增加的．

函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号关系

导函数的正负函数在(a，b)上的单调性

f′(x)＞0是增加的

f′(x)＜0是减少的

1．求函数的单调区间先求函数的概念域，再求导数f′(x)，令f′(x)>0，得单调增区间，令f′(x)<0得单调减区间．

2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．若是出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包括该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在概念域(－∞，＋∞)上是增加的，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并非是在定义域内的任意一点处都知足f′(x)>0.

[对应学生用书P45]

求函数的单调区间

[例1]

(1)f(x)＝x2－ln x；

(2)f (x )＝e

x

x －2；

(3)f (x )＝－x 3

＋3x 2

.

[思路点拔] 按照求可导函数单调区间的大体步骤求解．

[精解详析] (1)函数f (x )的概念域为(0，＋∞)．

f ′(x )＝2x －1x

＝

2x －12x ＋1

x

.

因为x ＞0，所以2x ＋1＞0，由f ′(x )＞0，解得x ＞2

2

，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝

⎛⎭

⎪⎫

22，＋∞；由f ′(x )＜0，解得x ＜22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调

递减区间为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，

22. (2)函数f (x )的概念域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝

e

x

x －2－e x x －22＝e x x －3

x －22

.

因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x

＞0，(x －2)2

＞0.

由f ′(x )＞0，解得x ＞3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )＜0，解得x ＜3，又概念域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．

(3)由f (x )＝－x 3

＋3x 2

。

得f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．

由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜2，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；

由f ′(x )＜0，解得x ＞2或x ＜0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的．

故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)． [一点通]

1．求函数单调区间的步骤：

2．含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论．

1．下列函数中在区间(－1,1)上单调递减的是( ) A ．y ＝2－3x 2

B ．y ＝ln x

C ．y ＝x 3

－3x

D ．y ＝sin x

解析：显然，函数y ＝2－3x 2

在区间(－1,1)上是不单调的；函数y ＝ln x 的概念域为(0，＋∞)，不知足题目要求；

函数y ＝sin x 在(－π2，π

2)上单调递增，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也单调

递增；

对于函数y ＝x 3

－3x ，y ′＝3x 2

－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ∈(－1,1)时，y ′＜0，所以函数y ＝x 3

－3x 在区间(－1,1)上单调递减．

答案：C

2．若f (x )＝x 2

－2x －4ln x ，则函数的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)

D ．(－1,0)

解析：由已知得函数的概念域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2

－2x －4

x

，

由f ′(x ) ＞0可得x 2

－x －2＞0， 得x ＞2. 答案：C

3．求下列函数的单调区间，指出其单调性． (1)y ＝－2x ＋cos x ； (2)y ＝x 3

－x .

解：(1)由题意得y ′＝－2－sin x ，∵－1≤sin x ≤1，

∴y ′<0，单调区间为(－∞，＋∞)，且函数y ＝－2x ＋cos x 在R 上为减少的． (2)函数的概念域为R ， 令y ′＝3x 2－1>0，得x <－33或x >3

3

； 令y ′＝3x 2－1<0，得－

33<x <33

. ∴y ＝x 3

－x 有三个单调区间， 其中在⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上别离是增加的，在⎝ ⎛

⎭⎪⎫－33

，33上是减少的．

由函数的单调性求参数的取值范围

[例2] f x x 3

ax