3-2积分与其路径的无关性

10
柯西积分定理
设f (z) 是单连通区域D 上的解析函数，则对 D内的任一可求长的Jordan曲线 C , 有
c f (z)dz 0.
C D
说明：该定理的主要部分是 Cauchy于1825年建立；
它是复变函数理论的基础。
11
试着证明 Cauchy 积分定理:
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
C
这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系 ？
5
观察上一节最后两例题后发现： 有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终
点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积 分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分 路径的形状还有关． 前一类函数是解析函数．知道 f(z)=1也是解析函 数，其积分也只依赖于积分路径的起点与终点，而 与积分路径的形状无关． 由此，我们可提出猜想：
于是 Re z 1, dz idt,
y
i
1 i
Re zdz
1
tdt

1
1 idt

1

i.
C
0
0
2
y x2
1
1
o
x
1
C zdz 0 tdt 0 (1 it)idt
i.
4
注意1 从例 5 可以看出，曲线积分 zdz与积分路
C
径无关，但曲线积分 Re(z)dz与积分路径有关。
( z12

z02
).
例2 求 i z cos z2dz 的值. 0
解
i z cos z2dz 1 i cos z2dz2
0
20
1 sin z2 i 1 sin( 2 ) 1 sin 2 .
2
02
2
30
例3 求 i z cos zdz 的值. 0
解 因为 z cos z 是解析函数,
C
0
0
x
1 2
y
(2) 积分路径的参数方程为
i
z(t) t it2 (0 t 1),
于是 Re z t, dz (1 2ti)dt, o
1 i
y x2 x
1
Re zdz C
1
t(1 2it)dt
0


t2 2

2i 3
t3

1 0
1 2 i; 23
则对D内的任何简单闭路C有
pdx qdy 0
C
9
1. Cauchy积分定理
首先介绍高等数学中的Green定理:
设单连通区域D由分段光滑曲线L围成，函 数P( x, y)及Q( x, y)在D上具有一阶连续偏导数， 则有：

D
( Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
其中，L是D的取正向的边界曲线。
1i ze zdz 1
(z 1)ez 1i 1
ie1i
ie(cos1 i sin1).
32
问题：如果G是复连通区域，那么，定理是否仍 然有效？
三、复闭路定理和闭路变形原理
33
设 C 为多连通域 D内的一条简单闭曲线, C1, C2 ,, Cn 是在 C 内部的简单闭曲线,它们 互不包含也互不相交, 并且以C , C1, C2 ,, Cn 为边界的区域全含于D,
C2
f (z)dz f (z)dz 记为 z1 f (z)dz
C1
C2
z0
如果固定 z0, 让 z1 在 B内变动, 并令 z1 z,
便可确定 D内的一个单值函数 F (z)
z
f ( )d .
z0
26
可以证明 F (z) z f ( )d 是 f (z)的一个原函数. z0 如果函数 f (z) 在单连通域 D内处处解析, 则
改进的Green定理:
设单连通区域D由分段光滑曲线L围成，函
数P( x, y)及Q( x, y)在D上存在P , Q，且 Q P y x x y
在D上连续，则有：

D
( Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
其中，L是D的取正向的边界曲线。
13
Cauchy 积分定理的证明:
解：C 的参数方程为：z(t) Re it ,t [0,2 ] ，于是 有
dz i Reit dt
zm zndz
|z|R
2
2
Rmnemti entii Reit dt R i mn1 ei(m1n)tdt
0
0
2
2
Rmn1i( cos[(m 1 n)t]dt i sin[(m 1 n)t]dt)
它的一个原函数是 zsinz cosz,
i 0
z
cos
zdz

[
zsinz

cosz]0i
Байду номын сангаас
i sin i cos i 1
i e1 e e1 e 1 e1 1.
2i
2
31
例4 求 1i zezdz 的值. 1
解 利用分部积分法可得
zez 的一个原函数为(z 1)ez ,
记 I pdx qdy ，则该积分与在D内
的积分路C径无关的充要条件为对D内的任 何闭路C其积分值I=0。
8
命题2 设 p p(x, y)和 q q(x, y) 在单连域D内 具有连续的一阶导数
p和 q ，且满足条件
y x
p q ((x, y) D) y x
函数 F (z) z f ( )d 必为 D内的一个解析函数, z0
并且 F(z) f (z).
27
2. Newton-Leibniz 公式
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析,
G(z) 为 f (z)的一个原函数, 那末
z1 z0
f
( z )dz

G(z1 )

G ( z0
)
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.
说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用 与微积分学中类似的方法去计算.
28
证 因为 z f (z)dz 也是 f (z)的原函数, z0
所以 z f (z)dz G(z) c, z0
当 z z0 时, 根据 Cauchy 积分定理,
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
由 f (z)解析，u, v 在D上可微，且
u v 0 y x
u v 0 x y
由改进的Green公式
C udx

vdy


D
[(v x
)

u]dxdy y

0
C vdx udy

1 z

2
11 2zi

11 2z
i
dz
18
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
19
一、复积分与其积分路径无关的条件
24
类似于高等数学的结果，可以得到
若函数 f (z) 在单连通区域D内处处解析,
那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关.
由此结论可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点
和终点有关, 即：
25
如果起点为 z0 , 终点为 z1,
D
C1
z0 C2
z1
D
C1
z0
z1
解 (1) 积分路径的参数方程为
y
z(t) t it (0 t 1),
i
1 i
于是 Re z t, dz (1 i)dt,
Re zdz
1
t(1 i)dt

1 (1 i);
o
C
0
2
zdz
1
(1

i
)2
tdt

(1

i
)2
1
tdt i
得 c G(z0 ),
所以
z z0
f (z)dz G(z) G(z0 ),
或
z1 z0
f
(
z
)dz

G(
z1
)

G(
z0
).
29
例1 求 z1zdz 的值. z0
解 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z2 ,
2
z1zdz z0
1 z2 z1 2 z0

1 2
22
二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用
1. 原函数的概念
定义 如果函数(z) 在区域 D内的导数为 f (z), 即(z) f (z), 那末称(z) 为 f (z) 在区域 D内
的原函数.
如果 f (z)在区域 D内存在原函数(z)，则函数
f (z)在区域 D内必是解析函数。
从定点z0到动点z的积分值与在D内所取路径无 关，而只与动点z有关。
D内积分值为z的单值函数,可简记为：
z
F(z) f (z)dz z0
(3-2-1)
21
例 计算积分
解 因为
均在复平面上解析，
所以，它们的和在一包含积分路径
的单
连通区域G内解析，而积分路径
是围线，
所以，由定理得
显然，该例所用方法是最简单的．
原函数之间的关系: f (z)的任何两个原函数相差一个常数.
23
证 设 G(z) 和 H (z) 是 f (z)的任何两个原函数,
那末 G(z) H(z) G(z) H(z)
f (z) f (z) 0 于是 G(z) H (z) c. (c 为任意常数)
根据以上讨论可知: 如果 f (z) 在区域 B内有一个原函数 F (z), 那末它就有无穷多个原函数, 一般表达式为 F (z) c (c为任意常数).
z
2
2
注意4 定理不能反过来用.
即不能由 f (z)dz 0, 而说 f (z) 在 C 内处处解析.
C
例如:
f
( z)

1 z2
在z

1内.
16
例 1 计算积分
1 dz.
z 1 2z 3
解 函数 1 在 z 1内解析, 2z 3
根据Cauchy积分定理, 有
1 dz 0.
0
0
0, n m 1,
2R2ni, n m 1.
1
例 5 计算 C Re zdz, C zdz 其中C 为 :
(1)从原点到点1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x2 上从原点到点1 i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点1 再到1 i 的折线.
定理1 Cauchy积分定理
若函数 f (z)在简单闭曲线C上及其内部解
析，则一定有
f (z)dz 0
Cauchy-Goursact基本定理
若 f (z)在单连域D内解析，则对D内的任何
闭路有
f (z)dz 0
c
20
定理2 复积分与其积分路径的无关性
若函数 f (z)在单连域D内解析，则它在D内
z 1 2z 3
17
例
2
计算积分
z
i

1
z(
z
1 2
1)
dz.
2
解
z(
1 z2
1)

1 z

1 2

z
1
i

z
1
i
,
因为1 和 1 都在 z i 1 上解析,
z zi
2
根据Cauchy积分定理得
z
i

1
z
(
z
1 2
1)
dz
2
zi
1
为边界的区域全含于并且以互不包含也互不相交它们内部的简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域如图作两条辅助线这样ie积分定理所围区域内解析由如图在多连通域内解析设函数正向为逆时针方向单闭曲线内的任意两条简由复合闭路原理这就是闭路变形原理解析函数沿闭曲线的积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值
例：求 zm zndz 其中 m, n 为整数 |z|R


D
[u x

v y
]dxdy
0
14
注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线.
C D
注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 函数 f (z) 在D内解析, 在闭区域 D D C 上连续, 则
c f (z)dz 0.
15
注意3 定理的条件必须是“单连通区域”.
例如: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
zdz 1(t it2 )(1 2it)dt
C
0

1
[(t

2t
3
)

i

3t
2
]dt

i;
0
3
(3) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 z(t) t (0 t 1),
于是 Re z t, dz dt,
1到1+i直线段的参数方程为 z(t) 1 it (0 t 1),
由Green公式
L
Pdx

Qdy


D
(Q x

P y
)dxdy
C udx

vdy


D
[(v x
)

u]dxdy y

0
C vdx udy


D
[u x

v y
]dxdy
0
该定理的证明如此简单？
12
1925年 Cauchy 建立该定理时，对 u, v 加了导数连 续性条件；Gaursat 去掉了导数连续性的假设。
解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终 点，而与积分路径的形状无关．
6
§3-2 积分与其路径的无关性
一、复积分与其积分路径无关的条件 二、解析函数的原函数和在积分计算
中的应用 三Δ、复闭路定理和闭路变形原理
7
命题1 设 p p(x, y) 和 q q(x, y) 在单连 域D内连续，积分路径C在D内，且