组合与组合数 同步练习——2022-2023学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册

3.1.3 组合与组合数--2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择
性必修第二册同步课时训练
一、概念练习
，，，，等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列1.A B C D E
名次）.已知学生A和B都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（）
A.18种
B.36种
C.48种
D.54种
2.中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、
，，，，共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A B C D E
，，不去河山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花．其中每个地方至少有一位同学去，A B C
，四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（）
北但能去其他三个地方，D E
A.240
B.126
C.78
D.72
3.现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为( )
A.18
B.36
C.72
D.81
4.2 月 23 日,以“和合共生”为主题的 2021 世界移动通信大会在上海召开,中国5G规模商用实现了
A B C D E五名工作人员到甲、乙、丙三快速发展. 为了更好地宣传5G，某移动通信公司安排,,,,
个社区开展5G宣传活动, 每人只能去一个社区且每个社区至少安排一人, 则不同的安排方法种数为( )
A. 80
B. 120
C. 150
D. 180
5.2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安
排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不
同的分配方案种数为（）
A.8
B.10
C.12
D.14
二、能力提升
6.在北京冬奥会期间，云顶滑雪公园的“冰墩墩”凭借着“‘冰墩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速出圈.比赛期间，每场比赛观众到场后，“冰墩墩”都会走上看台，结合现场的舞蹈表演、互动游戏，通过舞动肢体，做出各种可爱的造型，活跃现场气氛.云顶滑雪公园设置了3个“结束区”，共安排了
甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员，每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演，则可能的安排方式种数为( )
A.18
B.36
C.72
D.576
7.重阳节是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到3所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案种数是( )
A.540
B.564
C.600
D.720
（多选）
8.为了提高教学质量，省教育局派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，则下列说法正确的有( )
A.每个教研员只能去1所学校调研，则不同的调研方案有243种
B.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种
C.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有300种
D.若每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有114种
9.第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有( )
A.若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案
B.若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案
C.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D.已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法
10.某大型商场有三个入口，春节过后，客流量大增，为做好防疫工作，拟增派6人去入口处为顾客测体温，则下列选项正确的是( )
A. 若在正式上岗前，6个人自主选择去一个入口处进行观摩学习，则有216种不同的选择结果
B. 若每个入口派2人，则有90种不同的选派方案
C. 若两个入口各派1人，一个入口派4人，则有180种不同的选派方案
D. 若一个入口派1人，一个入口派2人，一个入口派3人，则有360种不同的选派方案
11.将16个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为________.
12.某县为巩固脱贫攻坚的成果，选派4名工作人员到2个村进行调研，每个村至少安排一名工作人员，则不同的选派方式共有______种（用数字作答）.
13.小红同学去买糖果，现只有四种不同口味的糖果可供选择，单价均为一元一颗，小红只有7元钱，要求钱全部花完且每种糖果都要买，则不同的选购方法共有______种.（用数字作答）
14.回答下列问题
（1）用0，2，4，6，8这五个数字可以组成多少个不同且无重复数字的四位数？
（2）将5件不同的礼物分给甲1件，乙､丙各2件，试问有多少种不同的分配方法？
15.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）队长中至少有1人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意, 甲、乙都不是第一名且不是最后一名; 故先排乙, 有 3 种情况; 再排甲, 有 2 种情况; 余下 3 人有 33A 种排法.
故共有 3
33236A ⨯⨯= 种不同的情况. 故选： B . 2.答案：C
解析：根据题意，分3种情况讨论：①A B C ，，三人中有2人分到同一组，②A B C ，，三人中一人与D E ，中一人分到同一组，③D E ，两人分到同一组，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组， 分3种情况讨论：
①A B C ，，三人中有2人分到同一组，有22233236C A A =种安排方法，
②A B C ，，三人中一人与D E ，中一人分到同一组，有11332336C A A =种安排方法， ③D E 、两人分到同一组，有336A =种安排方法， 则有3636678++=种安排方法． 故选：C ． 3.答案：B
解析：将四人分为三组有 246C - 种方案；分好的三组全排列，三项安排不同的学生有336A -种方
案，根据分步计数原理知总共有 23
4336C A = 种方案.
故选:B 4.答案：C
解析：先将 ,,,,A B C D E 五名工作人员分成三组, 有两种情况, 分别为 “221++” 和 “113++”, 共有
22125351
22
22
25 C C C C A A += 种不同的分法, 再将这三组分给甲、乙、丙三个社区开展 5G 宣传活动, 则不同的安排方法种数为3325150A =.
5.答案：C
解析：甲和乙必须安装不同的吉祥物, 则有 222A = 种情况,
剩余 3 人分两组, 一组 1 人, 一组 2 人, 有233C =, 然后分配到参与两个吉祥物的安装,
有22
32 326C A =⨯=,
则共有 2612⨯= 种, 故选: C. 6.答案：B
解析：先分3组(1,1,2)，有24C 6=种分组的方案：再分配，有33
A 种分配的方案，则可能的安排方式种数为2343C A 36
=，故正确选项为B. 7.答案：A
解析：根据题意，三所敬老院可能的分配有4，1，1；1，2，3；2，2，2三种情况；
如果按4，1，1分配，则有4363C A 90=种； 若按1，2，3分配，则有12336533C C C A 360
=种； 若按2，2，2分配，则有222
3642
33
3
C C C A 90A ⨯=种， 所以共有9036090540++=种. 故选：A. 8.答案：ABD
解析：对于A 选项，每位教研员有三所学校可以选择， 故不同的调研安排有53243=种，故A 正确；
对于B ，C 选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1， 分别有
311521
22C C C 10A =，221
5312
2
C C C 15A =种分组方法， 则不同的调研安排有()331015A 150
+=种，故B 正确，C 错误； 对于D 选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有
211
3421
32
2
C C C A 36A ⨯=种， 则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有15036114-=种，
D 正确. 故选：ABD. 9.答案：ABD
解析：若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛
区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有2
353C A 60
=种，A 正确； 若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故
有2454C A 240
=种，B 正确；
若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有44
A 种排法，甲、乙两人相邻有22A 种排法，所以共有42
42A A 48
=种站法，C 错误； 前排有25A 种站法，后排3人中最高的站中间有22A 种站法，所以共有2252A A 40
=种站法，D 正确. 故选：ABD. 10.答案：BD
解析：A.每人各有3种选择，故有63729=（种）不同的选择结果，所以A 错误. B.每入口各两人，先从6人中抽取2人去第一个入口，有26C 种不同的选派方案；
再从剩下的4人中抽取2人去第二个入口有24C 种不同的选派方案，剩下的人去第三个入口，所以共有226415690C C =⨯=（种）不同的选派方案，所以B 正确.
C.两个入口各派1人，一个入口4人，则先从6人中抽取4人组合到一起，有 4 6C 种不同的方案；
再把抽出的4人当成一个元素与另外2人全排，有33A 种方案，所以共有436315690C A =⨯=（种）不
同的选派方案，所以C 错误.
D.一入口1人，一入口2人，一入口3人，则先从6人中抽取1人，有16C 种不同的方案；再从剩
下的5人中抽出2人组合到一起，有25C 种不同的方案；再把抽出的2人当成一个元素把剩下的3人当成一个元素和最开始抽出的人全排有33A 种方案，
所以共有1236536106360C C A =⨯⨯=（种）不同的选派方案.所以D 正确故选：BD.
11.答案：84
解析：先在编号为1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，再将剩下的10个小球分成四份分别放入编号为1，2，3，4的盒子里.10个球之间有9个空隙，选出3个空隙放入隔板，所以有39C =84种放法. 故答案为：84. 12.答案：14
解析：每个村选派2名工作人员的方式共有2242C C 6
⋅=种方式， 一个村选派3名工作人员，另一个村选派1名工作人员共有3242C A 8
⋅=种方式， 所以不同的选派方式共有6814+=种方式， 故答案为：14. 13.答案：20
解析：由题得小红要买7颗糖果，把7颗糖果看作7个相同的小球，排成一横排，它们产生6个空位，从六个空位里选三个空位，插入三块隔板，隔板不能放在两端，共有36C 20=种方法，所以不同的选购方法共有20种.（如果这一横排为：小球，小球，隔板，小球，隔板，小球，小球，隔板，小球，小球，则代表第一种糖果买2颗，第二种糖果买1颗，第三种糖果买2颗，第四种糖果买2颗）.
故答案为：20.
14.答案：（1）96；（2）30种.
解析：（1）第一步，千位数字有4种填法； 第二步，百位数字有4种填法； 第三步，十位数字有3种填法； 第四步，个位数字有2种填法，
故这五个数字可以组成443296⨯⨯⨯=个不同且无重复数字的四位数. （2）先把1件礼物分给甲，有15
C 种方法， 再从剩下的4件礼物中任选2件分给乙，有24
C 种方法，最后剩下的2件分给丙， 所以一共有1254C C 30=种不同的分配方法. 15.答案：(1)3264C C 120⋅= (2)43
8
82C C 196+= (3)4449
85C C C 191+-= 解析：(1)分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有36C 种选法；
第二步，选2名女运动员，有24C 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有32
64C C 120⋅=(种)选法.
(2)方法一(直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为48C ； “只有女队长”的选法种数为48C ； “男､女队长都入选”的选法种数为38C ， 所以共有43
8
82C C 196+=(种)选法. 方法二(间接法)从10人中任选5人有5
10C 种选法，
其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少有1名队长”的选法有55
108C C 196-=(种). (3)当有女队长时，其他人任意选，共有4
9C 种选法；
当不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队
长时的选法共有()
44
85C C -种.
所以既要有队长又要有女运动员的选法共有4449
85C C C 191+-=(种).。