高中数学函数的奇偶性

（一） 主要知识：
1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么
函数()f x 就叫做奇函数；
2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么
函数()g x 就叫做偶函数．
3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，
反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；
如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数． 4．奇偶函数的性质：
⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；
⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
（二）主要方法：
1.判断函数的奇偶性的方法：
⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法；
⑶性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域1
2D D D =上：奇±奇
=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，
()
1()
f x f x =±-．
函数的奇偶性
（三）典例分析：
【例1】判断下列函数的奇偶性：
⑴4
()
f x x
=；⑵5
()
f x x
=；⑶
1
()
f x x
x
=+；⑷
2
1
()
f x
x
=．
【例2】判断下列函数的奇偶性：
⑴
1
y
x =；
⑵422
y x x
=++；
⑶3
y x x
=+；
⑷31
y x
=-．
【例3】判断下列函数的奇偶性：
⑴()(
f x x
=-
⑵
11
()()()
12
x
f x F x
a
=+
-
，其中0
a>且1
a≠，()
F x为奇函数．
【例4】判断下列函数的奇偶性并说明理由：
⑴
2
2
1
()
1
x
x
a
f x
a
+
=
-
(0
a>且1)
a≠；
⑵()
f x=；
⑶2
()5||
f x x x
=+．
【例5】已知函数22
()(1)(1)2
f x m x m x n
=-+-++，当,m n为何值时，()
f x是奇函数？
【例6】⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =__________；
⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数，(3)2f =，且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=，则
(25)f =__________；
⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，则函数
()y f x =是___________（指明函数的奇偶性）
【例7】设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，那么当(,0)x ∈-∞时，
()f x =_________．
【例8】已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．
【例9】()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()f x 的表达式．
【例10】设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等
的实数根，那么这两根之和等于_____．
【例11】已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减
函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．
【例12】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1
()()1
f x
g x x -=+，求()f x 、()g x ．
【例13】设函数322||2()2||
x x x x
f x x x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足（ ）．
A ．2M m +=
B ．4M m +=
C ．2M m -=
D ．4M m -=
【例14】已知()ln(4f x ax c x =+++（a 、b 、c 为实数），且3(lglog 10)5f =．则(lg lg3)
f 的值是（ ）．
A ．5-
B ．3-
C ．3
D ．随a 、b 、c 而变
【例15】已知()f x =，)
()lg
g x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公共定义域上的
奇偶性为（ ）．
A ．是奇函数而不是偶函数
B ．是偶函数而不是奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既非奇函数又非偶函数
【例16】函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有()()0f x f x +-=，
()()1g x g x -=，则2()
()()()1
f x F x f x
g x =
+-是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
【例17】已知函数()f x ，当,R x y ∈时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．
①求证：函数()f x 是奇函数； ②若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ． ③如果R x +∈时()0f x <，且(1)0.5f =-．
试判断()f x 的单调性，并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．
【例18】已知(),()f x g x 都是奇函数，()0f x >的解集是2
(,)a b ，()0g x >的解集是2,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22
b
a >，
那么求()()0f x g x >的解集．
【例19】已知函数()f x 是奇函数；2
()(1)()21
x
F x f x =+
-（x ≠0）是偶函数，且()f x 不恒为0，判断()f x 的奇偶性．
【例20】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()f x 与()g x 的表达式．
【例21】函数()f x =为奇函数，则a 的取值范围是（ ）．
A ．10a -<≤或01a <≤
B ．1a -≤或1a ≥
C ．0a >
D ．0a <
【例22】已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>，230x x +>，310x x +>．则
123()()()f x f x f x ++（ ）．
A ．大于零
B ．小于零
C ．等于零
D ．大于零或小于零
【例23】函数()f x 在R 上有定义，且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函
数；求(2005)f 的值．
【例24】已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数．
⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；
⑵若1
()12
f =，解不等式41(lo
g )0f x -<≤，
【例25】设函数()y f x =（x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+，
⑴求证：(1)(1)0f f =-=； ⑵求证：()y f x =是偶函数；
⑶已知()y f x =为(0，)+∞上的增函数，求适合1
()()02
f x f x +-≤的x 的取值范围．。