简单逻辑联结词、全称量词与存在量词 教案

简单逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立” 用符号简记为：∀x ∈M ，p (x ).
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0).
2．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ，¬p (x 0) ∃x 0∈M ，p (x 0) ∀x ∈M ，¬p (x )
1．命题p ∧q ，p ∨q ，¬p 的真假判定
p q p ∧q p ∨q ¬p
真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真
2．确定p ∧q ，p ∨q ，¬p 真假的记忆口诀如下：p ∧q →见假即假，p ∨q →见真即真，p 与¬p →真假相反． 3．“p ∨q ”的否定是“(¬p )∧(¬q )”；“p ∧q ”的否定是“(¬p )∨(¬q )”．
4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．
5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则¬q ”，否命题是“若¬p ，则¬q ”．
1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≤1
2”的否定为( )
A ．∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x >12
B ．∀x ∉N *，⎝⎛⎭⎫12x >12
C ．∃x ∉N *，⎝⎛⎭⎫12x >12
D ．∃x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x >12
答案 D
解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D ． 2．如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么( ) A ．命题p 一定是真命题 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 一定是假命题
D ．命题q 可以是真命题也可以是假命题 答案 D 解析 ∵¬p 是真命题，∴p 是假命题，又p ∧q 是假命题，∴q 可真可假，故选D ． 3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,3] B ．(－1,3) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D
解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2
0＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝ (a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.
4．命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( ) A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分
B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分
C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分
D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D
解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D ．
5．下列说法正确的是( )
A ．命题“若|x |＝5，则x ＝5”的否命题为“若|x |＝5，则x ≠5”
B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x 0∈R,3x 20＋2x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R,3x 2
＋2x －1<0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 答案 D
解析 A 中，命题“若|x |＝5，则x ＝5”的否命题为“若|x |≠5，则x ≠5”，故A 不正确；B 中，由x 2
－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；
C 中，“∃x 0∈R,3x 2
0＋2x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R,3x 2＋2x －1≤0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确，故选D ．
6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0,4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(¬q )
C ．(¬p )∧(¬q )
D ．(¬p )∧q 答案 D
解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎨⎧
a >0，
Δ＝a 2－4a <0，
解得0<a <4，综上，可得
实数a ∈[0,4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；
命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D ．
核心考向突破
考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断
例1 (1)在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p 是“甲试驾成功”，q 是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )
A ．(¬p )∨(¬q )
B ．p ∨(¬q )
C ．(¬p )∧(¬q )
D ．p ∨q 答案 A
解析 命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A ．
(2)(2020·安庆模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1
x 0
>3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命
题为真的是( )
A ．p ∧(¬q )
B ．(¬p )∧q
C ．p ∧q
D ．(¬p )∨q 答案 A
解析 命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3，当x 0＝3时，x 0＋1x 0＝10
3
>3，命题p 为真；命题q ：∀x ∈(2，
＋∞)，x 2>2x ，当x ＝4时，42＝24，命题q 为假，所以p ∧(¬q )为真，故选A ．
判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤 (1)定结构：先判断复合命题的结构形式．
(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性． (3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．
[即时训练] 1.已知命题p ：∃x >e ，⎝⎛⎭⎫12x
>ln x ；命题q ：∀a >1，b >1，log a b ＋2log b a ≥22，则下列命题中为真命题的是( )
A ．(¬p )∧q
B ．p ∧q
C ．p ∧(¬q )
D ．p ∨(¬q ) 答案 A
解析 因为∀x >e ，⎝⎛⎭⎫12x
<1<ln x ，因此命题p 是假命题；因为∀a >1，b >1，log a b >0，log b a >0，所以log a b
＋2log b a ＝log a b ＋2log a b ≥2log a b ·2
log a b
＝22，当且仅当log a b ＝2时取等号．因此q 是真命题．则为真命
题的是(¬p )∧q .故选A ．
2．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π
2
对称．则下
列判断正确的是________.
①p 为真 ②¬q 为假
③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真 ⑤(¬p )∧(¬q )为真 ⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥
解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．
精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题
角度1 全称命题、特称命题的否定 例2 (1)(2019·贵州联考)已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则¬p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0 ＋1)e x 0≤1
C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1
D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1 答案 B
解析 命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1的否定为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1，故选B ．
(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B
解析 根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．
[即时训练] 3.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )
A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2
B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2
C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20
D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20 答案 D
解析 先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D ． 4．命题“奇数的立方是奇数”的否定是____________________. 答案 存在一个奇数，它的立方不是奇数 解析 此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”． 角度2 全称命题、特称命题真假的判断
例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数
D ．存在一个负数x ，使1
x
>2
答案 B
解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D
中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1
x
>2，所以D 是假命题．故选B ．
全称命题与特称命题真假性的两种判断方法错误!未指定书签。

.
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称命题
真 所有对象使命题真 否定为假
假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题
真 存在一个对象使命题真 否定为假
假 所有对象使命题假 否定为真
[即时训练] 5.(2020·江西师大附中月考)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真
命题的是( )
A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )
B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )
C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)
D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C
解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0
∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C ．
考向三 利用复合命题的真假求参数范围 例4 (1)(2019·山西大同质检)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0
＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )
A ．[1,4]
B ．[1，e]
C ．[e,4]
D ．[4，＋∞) 答案 C
解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0
∈R ，使x 20＋4x 0
＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．故选C ． (2)(2019·金华联考)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________.
答案 (1,2]∪[3，＋∞)
解析 p 为真命题，有⎩
⎨⎧
Δ＝m 2－4>0，
－m <0，解得m >2.
q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3.
由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假．
当p 真q 假时，由⎩⎨⎧
m >2，
m ≤1或m ≥3，得m ≥3；
当p 假q 真时，由⎩
⎨⎧
m ≤2，
1<m <3，得1<m ≤2.
综上，实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
根据命题真假求参数的方法步骤错误!未指定书签。

(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况；本例(2)中有两种情况)．错误!未指定书签。

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．错误!未指定书签。

(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
[即时训练] 6.已知命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg (ax 2
－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________.
答案 ⎝⎛⎦
⎤0，1
2∪[1，＋∞) 解析 由关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1； 由函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知 不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，
则⎩⎨⎧
a >0，Δ＝1－4a 2<0，
解得a >12.
因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，
所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1，a ≤12，
解得a ≥1或0<a ≤12
，
故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，1
2∪[1，＋∞)． 课时作业
1．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q 答案 D
解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”． 2．(2019·梅州质检)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，ln x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 答案 B
解析 因为当x ＝1时，(x －1)2＝0，所以B 为假命题，故选B ． 3．(2020·河北保定模拟)命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是( )
A ．∀x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0
B ．∀x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0
C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0且g (x 0)＝0
D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0 答案 D
解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x ∈R ，f (x )g (x )≠0”的否定是“∃x 0
∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0”．故选D ．
4．下列命题的否定是真命题的是( ) A ．有些实数的绝对值是正数 B ．所有平行四边形都不是菱形 C ．任意两个等边三角形都是相似的 D ．3是方程x 2－9＝0的一个根 答案 B
解析 若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A ，C ，D 是真命题，B 是假命题．故选B ． 5．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q 答案 B
解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B ．
6．(2019·山西太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a <b ，则1a >1
b ，则下列命题中为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(¬q )
C ．(¬p )∧q
D ．(¬p )∧(¬q ) 答案 B
解析 x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34
>0，所以 ∃x 0∈R ，使x 20－x 0＋1≥0成立，故p 为真命题，¬p 为假命题，又易知命题q 为假命题，所以¬q 为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p ∧(¬q )为真命题，故选B ．
7．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，log 2x ＝0 B ．∃x ∈R ，cos x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R,2x >0 答案 C
解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以选项A ，B 均为真命题，又02＝0，所以选项C 为假命题，故选C ． 8．命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x >1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1 答案 C
解析 由特称命题的否定为全称命题，可知原命题的否定为对任意实数x ，都有x ≤1. 9．(2019·南宁模拟)已知命题p ：∀x >0，ln (x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(¬q )
C ．(¬p )∧q
D ．(¬p )∧(¬q ) 答案 B
解析 由x >0时x ＋1>1，知p 是真命题，由－1>－2，(－1)2<(－2)2可知q 是假命题，即p ，¬q 均是真命题．故选B ．
10．(2019·淮北模拟)命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )
A ．p
B ．¬q
C ．p ∧q
D ．p ∨q 答案 D
解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cos α·cos β＝1，则
⎩⎨
⎧ cos α＝1，cos β＝1或⎩
⎨⎧
cos α＝－1，
cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D ． 11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )
A ．甲第一、乙第二、丙第三
B ．甲第二、乙第一、丙第三
C ．甲第一、乙第三、丙第二
D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D 解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D ．
12．(2019·衡水中学模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
－m ，若∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )
A ．⎣⎡⎭⎫14，＋∞
B ．⎝⎛⎦⎤－∞，14
C ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞
D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12 答案 A
解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥ g (x )min ，得0≥
1
4
－m ，所以m ≥1
4
.故选A ．
13．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(¬p )∧q 为真命题，则x 的值为________. 答案 －2
解析 因为¬p ：∃x ∈R,2x ≥3x ，要使(¬p )∧q 为真，所以¬p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x
≥1，所以x ≤0.由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，所以x ＝1或x ＝－2.又x ≤0，所以x ＝－2.
14．(2019·福建三校联考)若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.
答案 [－3，3]
解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R,3x 2
＋2ax ＋1≥ 0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3]．
15．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“¬q ”同时为假命题，则x ＝________. 答案 －2
解析 若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“¬q ”为假，所以q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3<x <－1.由题意，得x ＝－2.
16．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、¬p 真，则实数m 的取值范围是________.
答案 (1,2) 解析 由于¬p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.
17．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2
a
≥2，所以0<a ≤1.
若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根． 所以Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，
所以12<a <32
.
因为命题“p ∧q ”为真命题，
所以命题p ，q 都为真，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
0<a ≤1，12<a <3
2， 所以1
2
<a ≤1.
故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤
12，1.
18．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．
解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2. 解得1≤m ≤2.
因此，若p 为真命题，则m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，
∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．
当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ 1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2；
当p 假q 真时，⎩⎨⎧
m <1或m >2，
m ≤1，
即m <1.
综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．。