D5_1定积分概念与性质x
定积分的概念及性质
定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一． 定积分的定义A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。
注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
掌握定积分概念及基本性质
供需关系研究
通过定积分，可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分， 掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算 面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的概念及性质课件
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
高等数学课件--D5_1定积分概念与性质
积分学
不定积分
定积分
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
第五章
二、 定积分的定义
三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
2012-10-12 同济高等数学课件
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一、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
b
c
b
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 a b c ,
则有
a
b
c
c
a f ( x ) dx a f ( x ) dx
c
b
f ( x ) dx
b
a f ( x ) dx a f ( x ) dx
b
c
f ( x ) dx
b
c
a f ( x ) dx
7. 设 M max f ( x) , m min f ( x) , 则
[ a , b]
( a b)
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例4. 试证: 证: 设 f (x)
f (x)
sin x ,
x x cos x sin x
则在 (0 , 2 ) 上, 有
2
n
0
y
i 1
lim
2012-10-12
yx
2
n
1 3
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注 目录 上页 下页 返回 结束
O
i n
1 x
例2. 用定积分表示下列极限:
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
定积分第一节定积分的概念及性质-25页PPT精品文档
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) d.x
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
(k 为常数).
性质3 假 设 a<c<b
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )d.x
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )Dti
i1
（3）取极限 m D t 1 ,a D t2 , x ,D tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)Dti
二、定积分定义
a x 0 < x 1 < x 2 < < x n b ,
任一种分法 任取
b
n
a
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(xi )Dxi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
b
f (x)dx
a
b f (t ) dt
b
f (u)du
a
a
定积分存在的条件
定理1. 定理2.
(4)取极限:设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i m
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是 时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.
高等数学课件--D51定积分概念与性质
x i a i x ( i 0 ,1 , ,n )
记 f( x i) y i( i 0 ,1 , ,n )
1. 左矩形公式
O a xi1x i
bx
ab f (x)dx y 0 x y 1 x y n 1 x
曲边梯形面积的负值
y
A1
A3
a
A2 O
A5
A4
bx
b
af(x )dxA 1 A 2A 3 A 4A 5
各部分面积的代数和
2020/6/3
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可积的充分条件:
定理1. 函数 f(x)在[a,b]上连续f(x)在[a,b]可积 .
定理2. 函数 f(x)在 [a,b]上有 ,且界 只有有限个间断点
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3) 近似和.
n
n
A Ai f (i)xi
i1
i1
4) 取极限. 令 ma{xxi},则曲边梯形面积 1in
n
y
A l im0i1Ai
n
limf 0i1
(i)xi
O a x1 xi1 x i bx i
2020/6/3
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2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i[xi1,xi]
作以[xi1, xi]为底 , f (i )
y
为高的小矩形, 并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 Ai , 得
O a x1 xi1 x i bx i
A i f(i) x i ( x i x i x i 1 ,) i 1 ,2, ,n)
nl i m 1p2p n p 1 npnl imin1
定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线所夹面积、计算物体的体积、求解解析几何中的定性表达式等问题。
在本文中，我们将介绍定积分的性质和计算方法。
一、定积分的性质：1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分存在。
也就是说，连续函数一定可积。
2.定积分具有线性性质，即对于任意实数a和b，以及两个连续函数f(x)和g(x)，有：∫[a,b](af(x)+bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx3.若函数f(x)在区间[a,b]上非负且可积，则定积分表示的是曲线f(x)与x轴之间的面积。
4. 定积分的取值与区间的选取无关。
即∫[a,b]f(x)dx =∫[c,d]f(x)dx，只要[a,b]和[c,d]的函数f(x)在二者都是可积函数。
5.若函数f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]内的每个子区间上f(x)的值都大于等于0，则在[a,b]上的定积分不小于0。
也就是说，不会出现整个区间上的定积分为负数的情况。
二、定积分的计算方法：1. 基本积分法：对于一些简单的函数，我们可以直接利用已知的基本积分公式进行计算。
比如∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C。
2. 反向运用微积分定理：利用微积分基本定理，我们可以求取函数的原函数（也称为不定积分），然后通过减去两个边界条件的原函数，即可求得定积分的结果。
比如∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
3.凑微分法：当函数难以直接积分时，我们可以通过凑微分来简化积分。
具体方法是，选取合适的函数和常数，使得被积函数可以表示为一个已知函数与该函数对应的导数的乘积。
然后利用换元法将积分转化为一个更容易求解的形式。
4. 分部积分法：分部积分法实质上是对乘积求导公式的反向运用。
对于乘积积分，我们可以利用分部积分法将其转化为两个函数分别求导和积分的问题。
5.1 定积分的概念与性质
形的面积的相反数。 例：设 y f ( x) x 。
（1） 下图中的阴影部分正是由三条直线 x 0 ，x 1 ，y 0 ， 以及曲线 y x 所 围成的曲边梯形。注意到该曲边梯形全部在 x 轴上方。于是有
b
a
f ( x)dx 该曲边梯形的面积的相反数
y f ( x)
f ( x) dx 面积
b a
b
a
f ( x)dx 面积
y f ( x)
（3）设在区间 [a, b] 上， f ( x) 既可取到正数，也可取到负数。于是，在由三条直 线 x a ， x b ， y 0 （即 x 轴） ，以及曲线 y f ( x) 所围成的图形中，一部分 在 x 轴上方，一部分在 x 轴下方。从而有
第一节 定积分的概念与性质
1． 定积分： f ( x)dx
a
b
其中 f ( x) 为被积函数， x 为积分变量， a 为积分下限，b 为积分上限，[a, b] 为积 分区间。
注 1： 定积分与不定积分的区别在于： （1） 定积分多了积分上限与积分下限； （2） 不定积分的结果是某些函数，而定积分的结果是某个具体的常数。
y 1 yx
0
x
（3） 下图中的阴影部分正是由三条直线 x 1 ， x 2 ， y 0 ，以及曲线 y x 所围成的曲边梯形。注意到该曲边梯形一部分在 x 轴上方，一部分在 x 轴下方。 于是有
2
1
xdx x轴上方图形的面积 x轴下方图形的面积 1 1 1 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2
第一节定积分的概念和性质
x i 1 .
n
于是，
y
y x2
0
点为 i , 则
n ;
O
1 23 nnn
取每个小区间的右端
...
i n
...
n 1 n 1
x
例1 利用定积分的定义计算积分 x 2 dx . 解 取每个小区间的右端点为 i , 则
定积分的几何意义
f ( x ) 0,
y
y
f ( x ) 0,
a b x
o o
a
b
b
x
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积 的负值
b
几何意义
y
o
A1
A 2
A3
x
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a , x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
[sin 1 cos 1 1].
求定积分过程中的辩证思维 恩格斯指出:“初等数学, 即常数的数学, 是在形式 逻辑的范围内活动的, 至少总的说来是这样; 而变 量数学 -----其中最主要的部分是微积分 -----本质
上不外乎是辩证法在数学方面的应用”.
从初等数学到变量数学的过渡, 反映了人类思维 从形式逻辑向辩证逻辑的跨越, 是人类的认识能 力由低级向高级的发展. 求曲边梯形的面积和求变
称 f ( x ) 在区间 [a , b]上可积.
定积分存在定理 定理1 若函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续,
xD51定积分的概念与性质
0
0
2
F(1) F(), 且F(x)在,1上连续，在（,1）内可导.
由Roll定理, (,1) (0,1),
F( ) 0, 即，f ( ) 30-f28( ) 0.
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限 2. 定积分的性质 3. 积分中值定理
连续函数在区间上的平均值公式
30-29
第五章
一元函数积分学
不定积分 积分学
定积分
30-1
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题引例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
30-2
一、定积分问题引例
矩形面积 梯形面积 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成 , 求其面积 A .
y f (x)
A?
30-3
解决步骤 :
特别地，如果将区间[a,b] 进行等分，则 0与n 是等价的．
30-10
2021/1/19
限 a 必须小于b a
积分上限．这有时给定积分的运算带来了不便，也限制了定
积分理论的发展，为此对定积分作如下补充规定：
a
① 当 b a 时， f (x)dx 0 ； a
(1)
2 2 0
xf
(
x)dx,
试证：至少存在一点 0,1，使f ( ) f ( ) 0.
证: 设F (x) xf (x).
则 F(x)在0,1上连续，且F(1) f (1).
又由积分中值定理,
0,
1 2
,使
2
1
2 xf (x)dx 2
1 2
F (x)dx
2F ()
(1
高等数学(上册)-电子教案 D5.1 定积分的概念与性质
( a b)
例1 比较 x dx 与 0 ln (1 x) dx 的大小.
0 1
1
解:
设 f ( x) x ln(1 x), x [0,1], 则 x (0,1) 时, 1 f ( x) 1 0 , f ( x)在 [0, 1] 上单调递增, 1 x
第五章
第一节 定积分的概念与性质
一、引例
Hale Waihona Puke 二、定积分的定义三、定积分的几何意义
四、定积分的性质
一、引例
1. 曲边梯形的面积 曲边梯形: 设曲线 在区间[a, b]上非负、连续,
由直线
及曲线
所围成的图形.
(1) 分割 在区间 [a , b] 内 任意插入 n –1 个分点
y
y f ( x)
a x0 x1 x2
路程
S v(t ) dt
T2
可积. 且只有有限个间断点 可积.
三、 定积分的几何意义
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a A3 A2 O A4 A5 b x
b a
f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5 各部分面积的代数和
如
四、定积分的性质 (设下列定积分都存在)
(2) 定积分的值与积分变量的记号无关, 仅与f (x) 和 [a , b] 有关. 即
a f ( x) d x a f (u ) d u
b
b
(3)
a b
f ( x) d x a f (u) d u
b a
b
a=b 时,
T1
b a
f ( x) d x 0.
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1. 左矩形公式 b a f ( x) dx y0x y1x yn1x 2. 右矩形公式 b a f ( x) dx y1x y2 x yn x
O a
xi 1xi
bx
ba ( y0 y1 yn1 ) n ba ( y1 y2 yn ) n
则
f ( i ) xi 0
i 1
n
lim a f ( x) d x 0 f ( i ) xi 0 i 1
则
b
n
推论1. 若在 [a , b] 上
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推论2. 证:
( a b)
f (x) f ( x) f (x)
b b b a a a
a
b
y f (x)
f ( )
因
f ( x ) dx ba
y
O a
b x
1 n lim f ( i ) n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
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例3. 试证:
sin x π , 则在 (0 , 2 ) 上, 有 证: 设 f (x) x x cos x sin x cos x 2 ( x tan x) 0 f (x) 2 x x f ( π ) f ( x ) f (0 ) 2 2 x (0, π ) f ( x) 1, 即 2 π
A? O
a
bx
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解决步骤 : 1) 分割： 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 近似代替： 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小
n
1 1 1 注. 当n2较大时, 此值可作为 1 (1 )(2 ) 0 x dx 的近似值 6 n n
1 2 x 0
dx lim i xi
2
n
0 i 1
y
lim
1 3
n
yx
2
O
注 目录 上页
i n
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1x
结束
三. 定积分的近似计算
b a
被 积 函 数
a f ( x) d x a f (t ) d t a f (u ) d u
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b
b
b
定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a
b
A3 A2 O A4
A5
b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
第五章 定积分
积分学
不定积分
定积分
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
第五章
二、 定积分的定义
三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
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一、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所种分法
a x0 x1 x2 xn b ,
任取
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a b
在区间
即
a f ( x) d x lim0 i f ( i ) xi 1
b
n
O a x1
i xi 1 xi b x
a f ( x ) dx 0
2.
a
a dx b a
( k 为常数)
b
4.
a [ f ( x) g ( x)] dx a f ( x) dx a g ( x) dx
b
b
b
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当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
c b
a b c,
a
c
b
c
a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx
a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx
f ( x ) dx f ( x ) dx
a c c b
b
c
c
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6. 若在 [a , b] 上 证:
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思考与练习
1. 用定积分表示下述极限 :
1 n 1 k π π 1 π 解: I lim sin sin x dx n π n n π 0 k 0
O
或
n 1
π n
2π n
( n 1) π π n
x
1 k 1 I lim sin (π ) sinπ x dx 0 n n n k 0
O
1 n
2 n
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n 1 n
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1
结束
x
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 得
O a x1
xi 1 xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
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i
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3) 求和：
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限：令
则曲边梯形面积
A lim Ai
例1
设 f ( x) C[a, b] , 则 f ( x) d x 存在 , 根据定积分定义
可得如下近似计算方法:
y
xi a i x (i 0 ,1,, n) 记 f ( xi ) yi (i 0 ,1,, n)
将 [a , b] 分成 n 等份: x ba , n
a f ( x) dx f ( )(b a)
证: 设 f ( x) 在[a, b] 上的最小值与最大值分 别为 m, M , 则由性质7 可得
b
根据闭区间上连续函数介值定理, 在[a , b] 上至少存在一 使 因此定理成立.
性质7 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
• 积分中值定理对 • 可把
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3. 梯形公式
b a
y
f ( x ) dx
n 1 i 1
1 [ yi 1 yi ]x 2
ba 1 ( y0 yn ) ( y1 yn1 ) n 2
O a
xi 1xi
bx
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四、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
O a x1
xi 1 xi
i
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 分割： n 个小段 过的路程为 2) 近似代替： 得 将它分成 在每个小段上物体经
si v( i )t i
(i 1, 2,, n)
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3) 求和：
4) 取极限 ：
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “近似 , 代替 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
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二、定积分定义 (P225 )
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
即
a f ( x) dx a
[a , b]
b
b
f ( x ) dx
7. 设 M max f ( x) , m min f ( x) , 则
[a , b]
( a b)
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8. 积分中值定理 则至少存在一点 使
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
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积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0 i 1
n
被 积 积 积 分 分 表 变 和 达 量 式 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
各部分面积的代数和
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可积的充分条件: 定理1. 定理2. 例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
且只有有限个间断点
(证明略)
y
yx
则
i2 f (i )xi i2 xi 3 n
2
O
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i n
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1x
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1 n 2 1 1 f ( i )xi 3 i n(n 1)(2n 1) 注 n i 1 n3 6 i 1
故 即
0
π 2
2
dx f ( x ) dx 1 dx