高中数学第二讲讲明不等式的基本方法学业分层测评6比较法新人教A版选修4-5

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二讲 讲明不等式的基本

方法 学业分层测评6 比较法 新人教A 版选修4-5

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知a ＞2，b ＞2，则( )

A ．ab ≥a ＋b

B ．ab ≤a ＋b

C ．ab ＞a ＋b D.ab ＜a ＋b

【解析】 ∵a ＞2，b ＞2，∴a 2－1＞0，b 2－1＞0， 则ab －(a ＋b )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －1＋b ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12a －1＞0， ∴ab ＞a ＋b .

【答案】 C 2．已知a ＞b ＞－1，则

1a ＋1与1b ＋1的大小关系为( ) A.

1a ＋1＞1b ＋1 B.1a ＋1＜1b ＋1 C.1a ＋1≥1b ＋1 D.1a ＋1≤1b ＋1

【解析】 ∵a ＞b ＞－1，∴a ＋1＞0，b ＋1＞0，a －b ＞0，则

1a ＋1－1b ＋1＝b －a

a ＋1

b ＋1＜0，∴1a ＋1＜1b ＋1

. 【答案】 B

3．a ，b 都是正数，P ＝a ＋b

2，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( )

【导学号：】

A ．P ＞Q

B ．P ＜Q

C ．P ≥Q

D.P ≤Q 【解析】 ∵a ，b 都是正数，

∴P ＞0，Q ＞0，

∴P 2－Q 2＝⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22

－(a ＋b )2

＝－a －b 22≤0(当且仅当a ＝b 时取等号)， ∴P 2－Q 2≤0.

∴P ≤Q .

【答案】 D

4．下列四个数中最大的是( )

A ．lg 2

B ．lg 2

C ．(lg 2)2

D.lg(lg 2)

【解析】 ∵0＜lg 2＜1＜2＜2，

∴lg(lg 2)＜0＜lg 2＜lg 2，

且(lg 2)2＜lg 2，故选A.

【答案】 A

5．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系是( )

A ．a 5<b 5

B ．a 5>b 5

C ．a 5＝b 5 D.不确定 【解析】 设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，

则a 5－b 5＝a 1q 4－(b 1＋4d )＝a 1q 4

－(a 1＋4d )．

∵a 3＝b 3，∴a 1q 2＝b 1＋2d ，即a 1q 2＝a 1＋2d ，

∴a 21q 4＝(a 1＋2d )2＝a 21＋4a 1d ＋4d 2，

∴a 5－b 5＝a 21q 4－a 1a 1＋4d a 1

＝a 21＋4a 1d ＋4d 2－a 1a 1＋4d a 1＝4d 2a 1. ∵a 1>0，d ≠0，∴a 5－b 5>0，

∴a 5>b 5.

【答案】 B

二、填空题

6．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2

－4a ，若P >Q ，则实数a ，b 满足的条件为________.

【导学号：】

【解析】 P －Q ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a )

＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a

＝a 2b 2－2ab ＋1＋4＋a 2＋4a

＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.

∵P >Q ，∴P －Q >0，

即(ab －1)2＋(a ＋2)2>0，

∴ab ≠1或a ≠－2.

【答案】 ab ≠1或a ≠－2

7．若x ＜y ＜0，M ＝(x 2＋y 2)(x －y )，N ＝(x 2－y 2)(x ＋y )，则M ，N 的大小关系为________．

【解析】 M －N ＝(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )

＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．

∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，

∴－2xy (x －y )＞0，∴M －N ＞0，即M ＞N .

【答案】 M ＞N

8．已知a ＞0,1＞b ＞0，a －b ＞ab ，则1＋a 与11－b 的大小关系是________． 【解析】 ∵a ＞0,1＞b ＞0，a －b ＞ab ，

∴(1＋a )(1－b )＝1＋a －b －ab ＞1.

从而1＋a 1

1－b

＝1＋a 1－b ＞1， ∴1＋a ＞

11－b . 【答案】

1＋a ＞11－b 三、解答题

9．已知a ＞2，求证：log a (a －1)＜log(a ＋1)a .

【证明】 ∵a ＞2，

则a －1＞1，

∴log a (a －1)＞0，log (a ＋1)a ＞0，

由于log a a －1log a ＋1a

＝log a (a －1)·log a (a ＋1) ＜⎣⎢⎡⎦

⎥⎤log a a －1＋log a a ＋122

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤log a a 2－122

. ∵a ＞2，∴0＜log a (a 2－1)＜log a a 2＝2，

∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a a 2－122＜⎣⎢⎡⎦

⎥⎤log a a 222

＝1， 因此log a a －1log a ＋1a

＜1. ∵log (a ＋1)a ＞0，∴log a (a －1)＜log (a ＋1)a .

10．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．

(1)求q 的值； (2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．

【解】 (1)由题设知2a 3＝a 1＋a 2，

即2a 1q 2＝a 1＋a 1q .

又a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－12

. (2)若q ＝1，则S n ＝2n ＋n n －1

2＝n 2＋3n 2＝n n ＋3

2.

当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝

n －1n ＋22＞0， 故S n ＞b n .

若q ＝－12，则S n ＝2n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＝－n 2＋9n 4＝－n －9n 4. 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝－n －1

n －104，

故对于n ∈N ＋，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；

当n ＝10时，S n ＝b n ；

当n ≥11时，S n ＜b n .

[能力提升]

1．已知a ＞0，b ＞0，m ＝

a b ＋b a ，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( )

A ．m ≥n ＞p

B ．m ＞n ≥p

C ．n ＞m ＞p

D.n ≥m ＞p 【解析】 由已知m ＝a b ＋b a

，n ＝a ＋b ，得a ＝b ＞0时m ＝n ，可否定B ，C.比较A ，D 项，不必论证与p 的关系．取特值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92

，n ＝2＋1＝3，∴m ＞n ，可排除D.