免疫算法抗体浓度调节定义的改进.

免疫算法抗体浓度调节定义的改进
免疫算法抗体浓度调节定义的改进
吕岗，陈小平（苏州大学电子信息学院，苏州，215021）谭得健（中国矿业大学信电学院，徐州，221008）
摘要：基于信息熵的免疫算法存在计算复杂，设置的参数需要凭经验调节和含有冗余的计算信息而导致算法收敛速度慢的缺点，通过对免疫抗体定义的改进，本文提出了一种基于矢量距的改进免疫算法并证明了它的全局收敛性。

多峰函数优化问题的测试结果揭示基于矢量距的免疫算法在全局收敛性方面要优于遗传算法；在收敛速度方面要快于基于信息熵的免疫算法。

关键词：免疫算法；熵；矢量距；收敛性
引言
免疫算法（Immune algorithm，IA）是一种借鉴生物免疫系统独有的计算机制，模拟生物抗体浓度自适应调节过程的全局优化算法。

与遗传算法相比，免疫算法具有保持解群分布多样性的特性，较好地克服了遗传算法易出现未成熟收敛，陷于局部最优解的缺点。

免疫算法已在函数优化［1～3］、旅行商问题［4］、人工神经网络设计［5］、电网规划［6］等领域获得了应用。

免疫算法的关键是如何求取抗体的浓度。

上述文献均采用信息熵概念来计算抗体的浓度，即通过抗体基因座的信息熵求出抗体的浓度并基于浓度进行调节操作，使抗体不断优化，最终找到最佳抗体，即最优解。

但这种方法的不足之处在于因计算复杂，设置的参数需要凭经验调节和含有冗余的计算信息从而导致算法收敛速度慢。

通过对生物免疫系统特征的进一步挖掘，本文提出了一种基于矢量距的改进免疫算法，证明了其全局收敛性。

理论分析和多峰函数优化问题的实验结果表明，与基于信息熵的免疫算法相比，此算法计算简单，且收敛速度有明显提高。

1 基于信息熵的免疫算法［1，4］
以函数优化问题为例，在基于信息熵的免疫算法中，抗原和抗体分别对应。

设有N个抗体，每个抗体有M个基因，每个基因于优化目标函数和优化解x
i
位上采用的字符集大小为S（采用二进制编码，其字符集就为｛0，1｝，S＝2），第j个基因的信息熵H
（N）为
j
式中p
ij
是字符集中某个字符在第i个抗体的第j个基因上出现的概率。

如果在
位置j上所有抗体的字符都相同，那么H
j
（N）＝0。

多样性的平均信息熵H （N）如下
根据熵的定义，得到两个抗体u和v之间的亲和度
A uv 的取值范围为（0，1］，A
uv
越大表示两个抗体基因相似度越高。

A
uv
＝1则表
示两者的编码基因完全相同，于是抗体i的浓度定义为
式中的λ为亲和度常数，一般取值0．9≤λ≤1。

计算出每个抗体的浓度之后，便可以通过选择机制进行抗体的促进和抑制调节。

抗体i的选择概率p
i
是由适应度概率和浓度抑制概率两部分组成
式中，α，β是常数调节因子。

由式（5）知，在抗体浓也确保了个体的多样性。

上述定义和公式推导过程虽体现了基于信息熵的免疫算法的优越性，但仍存在不足之处。

首先，算法计算复杂，在求解过程中有λ，α，β等常数因子需要凭经验预先确定，而这些常数因子选择的好坏会直接影响到算法的收敛性
能。

其次，将优化解x
i
对应于抗体的定义不能有效地减少冗余计算信息，缩小解群的搜索空间。

以函数f（x）＝x2－5x－6为例，虽然解6和解－1对应于同一个函数值，可将其中一个解视为另一个解的冗余信息，但根据定义它们却被视为不同的抗体。

若抗体的编码采用4位二进制码，即解－1对应于1001，解
6对应于0110，由式（3）知它们的亲和度A
uv
很小，则两个解均被选中的概率就很大了，这使得冗余信息重复计算而导致算法收敛速度变慢。

2 基于矢量距的免疫算法
现代免疫学理论认为免疫系统功能是通过分布在全身的免疫细胞协同工作实现的。

免疫细胞主要由吞噬细胞和淋巴细胞组成。

淋巴细胞又分为B细胞和T细胞两种主要类型。

B细胞由骨髓产生，它能够产生抗体，执行特异体液免疫功能；T细胞则由胸腺产生，执行特异细胞免疫和免疫调节功能。

根据上述机
理可将抗原、B细胞和抗体分别对应于优化问题的目标函数、优化解x
i
、解的
适应度函数f（x
i
）。

N个抗体构成了一个非空免疫系统集合X。

若规定抗体f
（x
i
）在集合X上的距离为
与基于信息熵的免疫算法相比，引入B细胞的概念和将抗体直接对应于解的适应度函数f（x
）的定义具有缩小解群搜索空间，避免冗余计算信息重复运算的
i
优点。

由式（7）可推导出基于抗体浓度的概率选择公式
由式（8）知，集合X中与抗体i基因相似的抗体越多，抗体i被选中的概率就越小。

反之，与抗体i基因相似的抗体越少，抗体i被选中的概率就越大。

这使含有有效进化基因的低适应度个体也可获得繁殖的机会。

因此，基于矢量距的免疫算法在理论上保证了解的多样性。

2．1算法设计
免疫算法的流程如下：
（1）抗原识别。

输入目标函数和各种约束作为免疫算法的抗原。

（2）产生初始B细胞群。

在第一次迭代时，B细胞通常在解空间中用随机的方法产生。

（3）生成抗体。

计算B细胞的适应度函数值。

（4）生成免疫记忆细胞。

将分泌最大适应度函数值的B细胞作为免疫记忆细胞保留。

（5）促进或抑制抗体的生成。

计算抗体的浓度并基于抗体浓度的概率公式选择B细胞。

（6）B细胞的增殖和分化。

通过变异和交叉，产生进入新的B细胞母体。

（7）B细胞的更新。

将免疫记忆细胞替换新的B细胞母体中最差的个体，形成下一代B细胞群。

（8）终止。

一旦满足终止条件则结束演算．否则转到（3）重复执行。

2．2收敛性分析
是时刻k时群体中的最优抗体，F＊是待求问题的抗原，当且定义1 设F
k
仅当F＊）＝1成立，称免疫算法是全局收敛的。

定义2［7］A是一个n×n的方阵。

（3）若A是非负的，且对A中的行和列经过置换能得到形式（C，T是方阵），则A是可约的（reducible）。

定理2免疫算法是依概率1收敛的。

证算法中的交叉操作是以概率p
对选择的一对B细胞上的两个基因位进
c
相互独立的进行变异。

则行交叉。

变异操作是对B细胞的每个基因位以概率p
m
)表示,且
算法步骤（1～6）的n步状态转移可用状态转移阵P=(P
ij
＝1［7］。

根据定义（1）和（2），状态转移阵P是随机的。

通过置换将转移矩阵P的各状态排列如下：第一个状态为全局最优解；第二个状态为全局次优解；……；第n状态为全局最差解。

则算法步骤（7）对B
细胞的更新操作可视为：对任意状态i，依p
ii
3 函数优化问题
选取2个具有相当复杂度的函数优化问题对基于距的改进免疫算法（IIA）进行了性能测试，并与采用标准遗传算法（SGA）和基于熵的免疫算法（IA）的结果进行了对比和分析。

所选测试函数如下：
此函数有无穷个局部极大点,其中只有一个(0,0)为全局最大点,最大值为1.从图1(a)可看出此函数的极值峰周围有两圈脊，它们的取值分别为0．962 776和0．990 284，在算法寻优收缩过程中，很容易停滞在这些局部极大点，陷入未成熟收敛。

此函数有6个局部极小点，其中有两个点（－0．089 8，0．712 6）和（0．089 8，－0．712 6）为全局最小点，最小值为－1．031 628。

实验的硬件平台为PⅢ866微机，操作系统是Widows98，编程语言为Matlab6．0。

三种算法的群体规模均为200，总进化代数均设为100。

为了有可比性，三种算法的初始群体取为一致。

其他相关参数如下：
SGA：交叉概率p
c ＝0．9，变异概率p
m
＝0．01，按比例选择个体。

IA：交叉概率p
c ＝0．9，变异概率p
m
＝0．01，λ＝0．9，α＝0．5，β＝
0．2，保留每代最优个体。

IIA：交叉概率p
c ＝0．9，变异概率p
m
＝0．01，按浓度选择并保留每代最
优个体。

图2为三种算法在两个测试函数中的性能比较，横坐标为算法进化代数（generation），纵坐标为每代最优个体的值。

图2（a）为求函数f
1
（x，y）
的最大值，图2（b）为求函数f
2
（x，y）的最小值。

从图中可知，在解的收敛性方面，由于SGA不能保留每一代的最优解，因此它的搜索过程具有不稳定性，即无法保证能收敛到全局最优解。

这从图2可获得直观的印象。

而采用了基于抗体浓度选择的IA和IIA，由于在进化过程中始终具有自我调节抗体浓度，保证解的多样性的能力，所以易跳出局部最小值，收敛性能好。

此外，从图2还可以发现在解的收敛速度方面，IIA比IA更快地收敛于全局最优解，这是因为IIA缩小了解群搜索空间，避免了冗余信息的重复运算，所以收敛速度要比IA快。

综合上述分析，IIA在全局收敛性方面要优于SGA，在收敛速度方面要优于IA。

图3给出了对于函数f
1
（x，y），三种算法的解群在解空间上的分布变
化。

图3（a）是解群的初始化分布，它是随机产生的，因而具有较好的分布性。

图3（b，c，d）分别对应于IIA，IA，SGA在进化完规定的代数后的解群分布特性。

从图3中可以看出：IIA比IA和SGA更好地保持了解的多样性。

4 结束语
本文在对基于熵的免疫算法分析的基础上，指出了其收敛速度慢的原因，进而提出了一种基于矢量距的改进免疫算法并证明了算法的全局收敛性。

理论分析和多峰函数优化问题的实验结果表明，与基于信息熵的免疫算法相比，此算法计算简单，并较好地解决了已有算法的未成熟收敛问题，且收敛速度有明显提高。

基于矢量距的改进免疫算法还可以应用到人工神经网络设计、智能控制、信号处理等方面，前景十分广阔。

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