电动力学第五章

G G
G
三、 两种常用规范
K ⎧G ∂A ⎪ E = −∇ϕ − ∂t ⎨G K ⎪B = ∇ × A ⎩ G G 可见，只是通过 B 限制了矢量场 A 的旋度。只限制旋度，不能完全的确定矢量场，要确定
矢量场，还必须规定矢量场的散度。然而，上述式子未规定矢量场的散度，也就是矢量场的 散度可以任意选取。对于每个选取的矢量场的散度，就确定了一组 (ϕ , A ) ，也就是对应势 函数的一种规范。 矢量场的散度具有人为任意性， 适当地选取便于问题的描述 （物理意义清楚） 或解决 （求 解相对容易） 。最常用的两种规范： 1） 库仑规范 选择 A 的散度 由（7）式
K
K K ∂A 当 = 0 时， ϕ 只与 E 有关，且由（6）式 ∂t
K ⇒ ∇× E = 0
K K K G ∂A ∂B ∂A = 0 ，⇒ = ∇× = 0 ，磁场不随时间而变，一般 E 也不随时间变化，此时的势 由 ∂t ∂t ∂t
函数才有电势的意义。
二、 规范变换和规范不变性
标势 ϕ 和矢势 A 与电磁场的关系
电磁波的辐射
方程（14）表明，离开电荷和电流区域后，它变为波动方程，说明矢势和标势也以波动 形式在空间中传播（是非物理的波，因为选择其他规范，矢势和标势就可能没有波动特征， 不像 E 和 B ，它们的波动性与规范的选择没有关系） 。
G
G
6
电动力学讲稿●第五章
电磁波的辐射
§2
推迟势
考察对象：位于原点的点电荷，其电量与 t 有关，记为 Q (t ) 。 在 t 时刻，该点电荷的电荷密度
G
G
K ∇⋅ A = 0
（9）
G K ∇ ⋅ A = 0 意味着矢量场 A 是个无源场，无源场也称为横场（分析涡旋线） ；在电场
3
电动力学 − ∂t
，无旋场也称为纵场（分析点电荷的电力线） 。 中， − ∇ϕ 为无旋场（ ∇ × (−∇ϕ ) = 0 ） 可见，在库仑规范下，对于电场的描述分为两部分，横场部分完全由 A 描述，纵场部
即便是在量子力学中，可观测物理量仍保持不变性。 说明： dψ =
K ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ dl = ∇ψ ⋅ dl = dx + dy + dz 。 ∂l ∂x ∂y ∂z G
关于规范不变性：
1） 在经典电动力学， (ϕ , A ) 的引入是为了给出电磁场的（一种辅助）描述方法，没有
G G G (ϕ , A ) ， ( E , B ) 对电磁场的描述也是完全的，规范不变性是这种描述方法所具有的数
势函数 (ϕ , A ) 与场量 ( E , B ) 具有（7）式
G
G G
K ⎧G ∂A ⎪ E = −∇ϕ − （8） ∂t ⎨G K ⎪B = ∇ × A ⎩ G G G 描述的关系。Maxwell 方程是关于场量 ( E , B ) 的方程，由上式可得关于势函数 (ϕ , A ) 的方
程，在真空中
K
（10）
在这种规范下，下面将看到，关于势的方程简化为很简单的对称的形式．对于处理问题特别 方便。 （9）和（10）式为人为加上的辅助条件，它们的引入，使得矢量场能够被确定，实现 势函数 (ϕ , A ) 与场量 ( E , B ) 的对应，它们也分别称为库仑规范条件和洛伦兹规范条件。
G
G G
四、 达朗贝尔方程
r r 决定。 对一定相位值 Φ 0 的面， 满足 Φ 0 = t − 。 所以， c c dr K 等相面移动速度为 = c ，它为正表明等相面沿 r 方向移动。 dt dr K 第二项：同理可得等相面移动速度为 = −c ，它为负表明等相面沿 (−r ) 方向移动。 dt
第一项： 等相面由 Φ = t − z 所以，第一项是向外发散的球面波；第二项是向内汇聚的球面波。 z 对于电磁波辐射应考虑第一项，对于电磁波吸收应考虑第二项。 ＃
学特征；在量子论中， ( E , B ) 并不能描述电磁场的全部性质， (ϕ , A ) 的地位也远比经 典电动力学中重要的多，规范不变性是作为量子论的基本原理引入的，是一条重要的物 理原理。 2） 在物理中，规范不变性是决定相互作用形式的一条重要规律，这不仅反映在电磁相互作 用中，而且反映在强相互作用和弱相互作用中，传递这些相互作用的场也称为规范场， 电磁场就是一种规范场。
又（P.343（I.25）式）
K K K ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ 2 A
4
电动力学讲稿●第五章
电磁波的辐射
且
ε 0 μ0 =
1 ，所以 c2
K K K K ∂ ∂2 A 2 ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A = μ 0 J − ε 0 μ 0 (∇ϕ ) − ε 0 μ 0 2 ∂t ∂t
G
K ∂A （ − ∇ϕ ）对应库仑场（电荷激发的电场） ， （− ）对应感应电场（变 分完全由 ϕ 描述。即： ∂t
化的磁场激发的电场） （例如：磁场变化，穿过闭合线圈的磁通量发生变化，线圈中有感应 电场，其电力线闭合） 。 2） 洛伦兹规范 选择 A 的散度 ∇ ⋅ A = −
G
1 ∂ϕ ，即 c 2 ∂t K 1 ∂ϕ ∇⋅ A+ 2 =0 c ∂t
ρ ( x , t ) = Q (t ) ⋅ δ ( x )
达朗贝尔方程
K
K
（1）
∇ 2ϕ −
1 ∂ 2ϕ 1 G = − Q(t )δ ( x ) 2 2 c ∂t ε0
（2）
一、 达朗贝尔方程的解（ r ≠ 0 处）
点电荷激发的场应该是球对称的，选择球坐标是方便的。在球坐标下，ϕ 应与 θ 和 φ 无 。利用 ∇ 的球坐标形式，在 r ≠ 0 处，有 关，只与 r 有关（ ϕ 具有球对称性）
G
G G
G
G G G ( E , B ) ，每组 (ϕ , A ) 称为一种规范， （8）式称为规范变换。
２）不同规范对应相同的观测量（ E , B ） ，即当势作规范变换时，所有物理量和物理规律 保持不变——规范不变性。 3）在量子论中， E 和 B 并不能描述电磁场的全部物理属性。例如：在 A－B 效应中，在非
（12）
它们的推导没有采用任何规范条件，适用于一般的规范。 1） 对于库仑规范
K K ⎧ 2 K 1 ∂2 A 1 ∂ ⎪∇ A − 2 2 − 2 (∇ϕ ) = − μ 0 J ⎪ c ∂t c ∂t ⎨ ⎪∇ 2ϕ = − ρ ⎪ ε0 ⎩
（13）
特点是：标势能满足的方程与静电场相同，其解是库仑势． 2） 对洛伦兹规范 注意到 ∇ ⋅ A = −
G
G
K ⎛ K ∂A ⎞ ∇×⎜ ⎟=0 ⎜ E + ∂t ⎟ ⎠ ⎝
可以令
K K ∂A = −∇ϕ E+ ∂t
K G ∂A E = −∇ϕ − ∂t
（6）
1
电动力学讲稿●第五章
电磁波的辐射
讨论： 1） ϕ 是标量，仍可视为（标）势函数；
2）一般情况下， ϕ 不仅与 E 有关，而且与磁场有关，它不再具有电势的物理意义。
二、 达朗贝尔方程的解（含 r = 0 ）
一个点电荷激发电场的电势为
Q 4πε 0 r
注意到 Q 随时间变化，对于辐射问题，在 t 时刻 r 处的电场不是由 t 时刻，而是由 ⎜ t −
⎛ ⎝
r⎞ ⎟时 c⎠
刻的电荷 Q⎜ t −
ρ ，所以 ε0
∇ 2ϕ + K ρ ∂ ( ∇ ⋅ A) = − ε0 ∂t
（11）
（9）和（11）式给出势函数的运动方程（运动：随时间变化）
K K 1 ∂ϕ ⎞ K ⎧ 2 K 1 ∂2 A ⎛ ⎟ = −μ 0 J ⎪∇ A − 2 2 − ∇⎜ ∇ ⋅ A + 2 c ∂t c ∂t ⎠ ⎪ ⎝ ⎨ K ⎪∇ 2ϕ + ∂ (∇ ⋅ A) = − ρ ⎪ ε0 ∂t ⎩
f 和 g 是两个任意函数。
故，在 r ≠ 0 处的势函数 ϕ 解具有如下形式：
7
电动力学讲稿●第五章
电磁波的辐射
⎛ r⎞ f ⎜t − ⎟ c⎠ + A2 ϕ (r , t ) = A1 ⎝ r
⎛ r⎞ g⎜t + ⎟ ⎝ c⎠ r
（6）
A1 ， A2 及 f 和 g 由边界条件决定。
讨论：
上述两项有不同的物理意义。
2
1 ∂ ⎛ 2 ∂ϕ ⎞ 1 ∂ 2ϕ =0 ⎟− ⎜r r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ c 2 ∂t 2
（3）
注意到（2）时在 r ≠ 0 空间是波动方程，所以应具有波动形式的解（有等相面的概念） 。又， 系统具有球对称性，所以等相面是以点电荷为球心的球面（否则，球对称性被打破，即该系 统在各方向并不等价，系统存在特殊的方向。 等相面为球面的波为球面波，最简单的球面波具有形式 （ − 对于所考查方程的解，也应是平面波。令
对于分母只考虑保留为整数实际上含m的项对相因子没有贡献相因子为的大小可能是可以比拟的所以不能略去相因子中的电动力学讲稿第五章电磁波的辐射17expexpexpexp偶极辐射22式展开式中第一项23考虑到时间部分24电流可视为多种运动的带电粒子其中第i种粒子每个带电量24现计算
电动力学讲稿●第五章
电磁波的辐射
§1
一、 用势描述电磁场
K K ∂B ∇× E = − ∂t K G ∂D G ∇× H = +J ∂t K ∇⋅D = ρ
G ∇⋅B = 0
引入矢势 A ，
电磁场的矢势和标势
（1）
（2）
（3） （4）
G
K G ∇× A = B
（5）
矢势 A 的物理意义：在任一时刻， A 沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路的磁通 量。 将（5）代入（1）式得
1 。 exp i ( kr − ω t ) ） r
（4）
ϕ (r , t ) = u (r , t )
（3）式变为
1 r
∂ 2u 1 ∂ 2u =0 − ∂r 2 c 2 ∂t 2
(5)式的通解为
（5）
r ⎛ r⎞ u (r , t ) = A1 f ⎜ t − ⎟ + A2 g (t + ) c ⎝ c⎠
K K 1 ∂2 A K 1 ∂ϕ ⎞ K ⎛ ∇ A − 2 2 − ∇⎜ ∇ ⋅ A + 2 ⎟ = −μ 0 J c ∂t c ∂t ⎠ ⎝
2
可得 （9）
又，
K K ∂A E = −∇ϕ − ∂t
K K ∂ ⇒ ∇ ⋅ E = −∇ 2ϕ − (∇ ⋅ A) ∂t
由于 ∇ ⋅ E =
（10）
K
K
K
G
G
2
电动力学讲稿●第五章
电磁波的辐射
单连通区域绕闭合回路一周的电子波函数的相位差由回路积分 A ⋅ dl 描述，积分 A ⋅ dl 是有实际意义的物理量，对矢势作规范变换
∫
G
G
∫
G
G
K K K K K K K K A ' ⋅ d l = ( A + ∇ ψ ) ⋅ d l = A ⋅ d l + d ψ = A ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ dl
G K K ∇ × (∇ × A) = ∇ × B = μ 0 ∇ × H K K ∂E = μ0 J + ε 0 μ0 ∂t K K ∂⎛ ∂A ⎞ ⎟ = μ0 J + ε 0 μ0 ⎜ − ∇ϕ − ∂t ⎜ ∂t ⎟ ⎝ ⎠ K K ∂ ∂2 A = μ 0 J − ε 0 μ 0 (∇ϕ ) − ε 0 μ 0 2 ∂t ∂t
G
K ⎧G ∂A ⎪ E = −∇ϕ − ∂t ⎨G K ⎪B = ∇ × A ⎩
求解电磁场问题，转化为求解势函数的问题。 但实际上，势函数 (ϕ , A ) 与场量 ( E , B ) 并不是一一对应的，如果作变换
（7）
G
G G
G ⎧ A ⎪ ⎨ ⎪ ϕ ⎩
有
⇒ ⇒
K K A′ = A + ∇ψ ∂ψ ϕ′ = ϕ − ∂t
第五章
电磁波的辐射
上一章研究了电磁波的传播问题。 本章研究电磁波的辐射问题，通常运动电荷会向外辐射电磁波（如果电荷的运动具有 加速度） ，在许多情况下，需要提高（或降低）电磁波辐射功率，这需要对辐射电磁波的体 系进行专门设。.这是一专门的研究领域。 天线辐射电磁波，电磁波对天线中流动的电流有作用，会改变电磁波的辐射，这是一 个复杂的过程，无论任何电磁波问题，涉及天线和天线外两种不同的介质。
K
1 ∂ϕ ，由（12）式 c 2 ∂t K K ⎧ 2 K 1 ∂2 A A J μ ∇ − = − 0 ⎪ c 2 ∂t 2 ⎪ ⎨ 2 ⎪∇ 2ϕ − 1 ∂ ϕ = − ρ ⎪ ε0 c 2 ∂t 2 ⎩
（14）
特点是：矢势和标势满足相同的方程。上述方程称为达朗贝尔方程。
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电动力学讲稿●第五章
（8）
K K K K ∇ × A′ = ∇ × A + ∇ × (∇ψ ) = ∇ × A = B
G G K ∂A K ∂A' ⎛ ∂ψ ⎞ ∂A ∂ (∇ψ ) =E = −∇ϕ − − = −∇ϕ + ∇⎜ − ∇ϕ '− ⎟− ∂t ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂t
讨论：
１）可见 (ϕ , A ) 与 ( E , B ) 不是一一对立的，由于ψ 的任意性，有多组 (ϕ , A ) 对应同一组