多小波理论分析
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Geronimo ,Hardin 和Massopust 再次应用分形插值的方法,构造ψ ( x) = [ψ1,ψ 2 ]T ,并被后
来者称为GHM小波。由于GHM小波的成功构造,立即吸引了许多从事小波分析的研究者，促使 了多小波理论在近几年的迅猛发展。
一、 多小波的定义及原理
正如标量小波中的情况一样，多小波的研究也是从多尺度函数开始的。具体地，多小 波也是由多分辨率分析着手。
反），一个多分辨率分析是指由（1）式定义的 L2 (R) 中具有下列性质的子空间序列{Vj}j∈Z ：
1）… ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ …；
2） ∪ j∈zV j = L2 (R) ；
3） ∩ j∈zVj = {0} ；
4） f (i) ∈Vj ⇔ f (2i) ∈Vj+1, j ∈ Z ；
对称性（反对称性）：
可使滤波器具有线性相位或至少具有广义线性相位, 则可避免因重构产生的失真。
短支撑性：
若φi 的支撑为[0，i],则意味在区间[0，i]之外,φi 的值为零,在处理边界问题时,这非
常有用. 而且如果多小波中尺度函数具有短支撑时,可以避免因截断产生的误差. 另外,短 支撑的小波对应的滤波器是有限脉冲响应的滤波器,使得相应的快速小波变换的和是有限 的。
H
(
z)
=
⎡ ⎢ ⎣
L(Z ) ⎤ B(Z )⎥⎦
,
(20)
于是有
H (z)H (z)T = Iar .
(21)
[定理]如果 H (z) 是一个 n × n ，其元素均为一阶多项式，那么上式（21）成立的充要条件
是
H (z) = H (1) ( I − A + Az),
(22)
其中 A 是一个 n × n 对称阵，且满足 A2 = A, H (1)H (1)T = Iar 。
ψ (x) = Q0φ(2x) + Q1φ(2x −1) + Q2φ(2x − 2),
(15)
其中，
Q0 = DP0,Q1 = D−1P1,Q2 = DP2, D = diag(
1 ,
21 − 1
1 ,
22 −1
,
1 )
2r −1
上面是讨论的是尺度因子为2 时多小波的构造问题。而对于 a(a > 2, a ∈ Z ) 尺度多小波
( j,k,l,m ∈ Z)
则称φ 为二尺度正交 r 重尺度函数，并称由它生成的多分辨率分析为一个正交的 r 重多分辨
分析。
由于V0 ⊂ V1 ，那么类似于标量小波函数的情况，尺度函数φ(i) 可由{φ(2i−k ), k ∈ z} 来
线性表示：
φ(x) = ∑ Pkφ(2x − k),
(2)
k∈Z
∑ ⎧φ(x) =
⎪ ⎨
2 h0 (k)φ(2x − k),
k∈Z
(13)
∑ ⎪ψ (x) =
⎩
2 h1(k)φ(2x − k),
k∈Z
(14)
h1(k ) 可由共轭正交关系： h1(k ) = (−1)k−1h0 (1 − k ) 直接得到。
尽管许多研究者都在努力寻找多小波的类似单一小波的构造公式,但到目前为止,仍没 有多小波的一般构造公式。对在一些特殊的条件下,一些研究人员给出较简单的构造公式, 如Chui C K和Lian给出了3-系数( P0 , P1 , P2) 的两尺度方程确定的尺度函数所对应的多 小波构造方法，具体地，
要构造相应的多小波，本质是寻找 B(z) ，使得 H (z)H (z)T = Iar 。而由定理，H (z) 可
∑ B(z) =
1 2
1 k =0
bk zk ,
Fra Baidu bibliotek
(18)
容易验证φ(x) 是正交的尺度函数，ψ ( x) 是对应于φ(x) 的正交小波的充要条件是
L(z)L(z)T = Ir , L(z)B(z)T = O ,B(z)B(z)T = I(a−1)r .
(19)
下面再定义一个 ar × ar 矩阵 H (z) 为
多小波的应用实质也是构造滤波器对所要分析的信号做滤波因而主要就是求解系数kpkq但是由于他们都是矩阵因而设计灵活自由度大的同时求解将更加复杂而且将一维信号通过矢量滤波器必然要经过预处理因为矢量滤波器是多输入多数出系统
多小波理论简介
多小波是小波理论的新发展。与以前的标量小波(scalar wavelet)相比，它是多个尺度函 数或者说是向量尺度函数生成的小波，它可以同时具有正交性、对称性、短支撑性和高阶消 失矩等性质，这在标量小波中是不可能同时具有的。
图1. 支撑度为[0，2]的Chui-Lian多小波
图2. 支撑度为[0，3]的Chui-lian多小波 除了著名的 GHM、Chui-Lian 多小波外，还有许多其它的多小波构造方法。下面介绍一
下程正兴等[4]的有关多小波的构造方法。
1） 正交多小波的构造
我们知道,对于单一小波而言,无论是正交的小波还是双正交的小波, 都有非常完美的 构造公式,即设时域形式的二尺度函数关系如下：
(11)
2n
这里，φˆ 可以看作是 n → ∞ 的极限，即：
n
∏ φˆ(2ω) = lim P(e−iω /2j )φˆ(0).
(12)
n→∞ j=0
这样，由上式得到的向量函数就是多尺度函数，如果满足以下条件：
n
∏ 1） 乘积项 P(e−iω / 2 j ) 当 n → ∞ 时收敛； j=0
2） 族函数{φi (i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z}是V0 空间的稳定基。
Pk 、Qk ，但是由于他们都是矩阵，因而设计灵活、自由度大的同时求解将更加复杂，而且
将一维信号通过矢量滤波器必然要经过预处理，因为矢量滤波器是多输入多数出系统。因而 可以说，由单小波到多小波，无论自由度还是复杂度都有显著的提高。
二、 多小波的构造
一般来讲，应该由（3）所表的二尺度关系作为构造多尺度函数的起点，但是类比单小
的滤波器 H0 (z) 、 H1(z) 及相应系数 h0 (k) 和 h1(k ) 。不同的是这里的与多小波对应的滤波
器时矢量滤波器，它的系数都是矩阵。
3．a 尺度多小波
一般地，如果上述多分辨率分析中，φ = [φ1 φ2 …φr ]T 的尺度部分是 a j 而非 2 j ，第四 条性质改为 f (i) ∈Vj ⇔ f (ai) ∈Vj+1, j ∈ Z ，那么我们可以得到一个由 a 尺度 r 重函数φ 产
Pk = 0, for k < 0 and k > M 。
2．多小波函数
对于一个给定的二尺度 r 重多分辨率分析空间{Vj} ，我们定义Wj 为V j 在Vj+1 中的补空
间，即V j+1 是Wj 和V j 的直和：V j+1 = V j ⊕ Wj 。同上理，令ψ = [ψ1 ψ 2 …ψ r ]T 为多小波
函数，其中，ψ ∈ L2 (R) ， r ∈ N ，则可定义空间Wj , j ∈ Z 如下：
Wj = span{2 j /2ψ i (2 j i−k) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z},
(4)
则向量小波函数ψ 是半正交的多小波函数，如果它满足以下条件：
1）Vj ⊥ Wj ；
2）{2 j / 2ψ i (2 j i−k) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z} 构成Wj 空间的一组 Riesz 基；
1．多尺度函数：
令φ = [φ1 φ2 …φr ]T ，其中，φ ∈ L2 (R)r ， r ∈ N ，则可定义空间Vj , j ∈ Z 如下：
Vj = span{2 j /2φi (2 j i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z},
(1)
（注意这里的定义与胡老师书上的定义略有差别，即 j 的符号为正的，与书上正好相
其中，矩阵序列{Pk }k∈Z ∈ l 2 (Z )r×r ；对比标量小波的二尺度函数关系，这个方程称为矩阵
二尺度关系。
对（2）式两做傅立叶变换，可得到其频域的形式如下：
φˆ(2ω) = P(z)φˆ(ω),
(3)
∑ 其中，
P(z)
=
1 2
k∈Z
Pk zk
，是 φ
的二尺度符号。
多尺度函数具有有限支撑 [0, M ] ，意味着具有有限个二尺度系数。特别的，有：
(7) (8)
⎧⎪φˆ(aω) = P(z)φˆ(ω),
(9)
⎨ ⎪⎩ψˆ
(aω
)
=
Q(
z)φˆ(ω),
(10)
∑ ∑ P(z)
=
1 a
k∈Z
Pk zk , Q(z)
=
1 a
k∈Z
Qk
zk
其中， Pk 是 r × r 阶系数阵， Qk 是 (a − 1)r × r 阶系数阵。
多小波的应用实质也是构造滤波器，对所要分析的信号做滤波，因而主要就是求解系数
1
∑ lm+nlmT =| δ0,n Ir ,
(16)
m=0
定义 r × ar 矩阵多项式 L(z) 为
∑ L(z) =
1 2
1 k =0
lk zk ,
(17)
类似地，定义
b0 = (Q0,Q1, ,Qa−1), b1 = (Qa ,Qa+1, ,Q2a−1)
定义 (a −1)r × ar 矩阵多项式 B(z) 为
的构造更没有一般的构造方法，将更加的复杂。下面介绍的是程正兴等[3]研究的方法，采 用矩阵的正交扩充的方法构造出多小波,从而使得a 尺度多小波的构造变得容易。
不失一般性,讨论两尺度矩阵方程的系数矩阵 P0, P1, , P2a−1 可能不为零,其余的皆为零
的情形下相应的正交小波的构造问题。
定义 l0 = (P0 , P1, , Pa−1), l1 = (Pa , Pa+1, , P2a−1) ，则φ( x) 是正交的尺度函数等价于
同样，多小波函数也满足二尺度关系： 时域形式：
ψ (x) = ∑ Qkφ(2x − k),
(5)
k∈Z
频域形式：
ψˆ (2ω) = Q(z)φˆ(ω),
(6)
∑ 其中， Q(z)
=
1 2
k∈Z
Qk zk
。
这样，我们就得到了多小波的二尺度关系：(2)、(3)、(5)、(6)，对比标量小波的情况，
这里的 P(z) 、Q(z) 其实就是滤波器，矩阵 Pk 、Qk 分别对应为滤波器的系数；对应单小波
特别地，{φi (i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z}是稳定的基，如果 P(1) 的谱半径是 1 且特征值 1 是单位 圆上的唯一的单特征值。这个对 P 的条件确保了无限乘积项的收敛。
值得注意的是，类似于标量情况下的上述条件，并没有耗尽表征多尺度函数的所有的自
由度，因而对序列{Pk }k∈Z 增加限制条件以获得具有合适性质的多尺度函数就成为可能。多
生的 a 尺度 r 重多分辨率分析。此种情况下，仍定义Wj 为V j 在V j+1 中的补空间，那么与Wj
对应的多小波函数为ψ = [ψ1 ψ 2 …ψ (a−1)r ]T ，同样，我们可以得到 a 尺度关系：
∑ ⎧φ ( x)
⎪
∑ ⎨⎪⎩ψ (x)
= =
k∈Z k∈Z
Pkφ(ax − k), Qkφ(ax − k),
1994 年,Goodman 等人基于r 重多分辨分析(MRA) 建立了多小波的理论框架,并给出 了多小波的例子；同年, Geronimo ,Hardin 和Massopust 应用分形插值的方法成功地构造
出具有短支撑、正交的、对称的和二阶消失矩的两个尺度函数φ( x) = [φ1,φ2 ]T ；1996 年,
5）{φi (i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z}构成V0 空间的一组 Riesz 基；
这样，称φ 为一个二尺度 r 重函数，并称此多分辨率分析为由φ 产生的二尺度 r 重多分
辨率分析。更进一步的，如果φ 满足：
< φl (x − j),φm (x − k) >= δlmδ jk ,
高阶消失矩：
∫ 定义 Lr = trψ (t)dt 为基本小波ψ (t) 的第r阶小波矩,如果对所有的 0 ≤ m ≤ M ,有
R
Lm = 0 ,则称基本小波ψ (t) 具有M阶消失矩。消失矩越高,频域的局部化能力越强,光滑性越
好。所有小波都具有一阶消失矩,为了更好地对线性函数进行重构,要求多小波至少具有二阶 消失矩。
小波相对于单小波的优点就是当处理矩阵而非标量系数的时候，自由度会更高，因此，许多 条件可以同时满足，比如：正交性、对称性、短支撑性和高阶消失矩。
正交性：
正交小波的对偶是其本身, 在应用中因为无须构造对偶函数, 节省许多运算。只是除了 Haar 小波外, 纯量小波无法同时满足正交性, 对称性和短支撑性, 应用上不方便。而多小 波可同时满足这四个特征, 在信号处理上比纯量小波更有优势。著名的GHM小波（图4）和 Chui-Lian（图1，图2）小波都属于正交小波。
波，先构造一个合适的矩阵序列{Pk }k∈Z ∈ l 2 (Z )r×r ，也就是矢量滤波器的系数序列，然后
在此基础上得到由（3）式求得尺度函数φ 将会是个比较简便的方法。基于此种考虑，我们
对二尺度关系的频域形式实现迭代求解，由式（4）得：
φˆ(2ω) = P(e−iω )P(e−iω / 2 ) P(e−iω / 2n )φˆ( ω ),
来者称为GHM小波。由于GHM小波的成功构造,立即吸引了许多从事小波分析的研究者，促使 了多小波理论在近几年的迅猛发展。
一、 多小波的定义及原理
正如标量小波中的情况一样，多小波的研究也是从多尺度函数开始的。具体地，多小 波也是由多分辨率分析着手。
反），一个多分辨率分析是指由（1）式定义的 L2 (R) 中具有下列性质的子空间序列{Vj}j∈Z ：
1）… ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ …；
2） ∪ j∈zV j = L2 (R) ；
3） ∩ j∈zVj = {0} ；
4） f (i) ∈Vj ⇔ f (2i) ∈Vj+1, j ∈ Z ；
对称性（反对称性）：
可使滤波器具有线性相位或至少具有广义线性相位, 则可避免因重构产生的失真。
短支撑性：
若φi 的支撑为[0，i],则意味在区间[0，i]之外,φi 的值为零,在处理边界问题时,这非
常有用. 而且如果多小波中尺度函数具有短支撑时,可以避免因截断产生的误差. 另外,短 支撑的小波对应的滤波器是有限脉冲响应的滤波器,使得相应的快速小波变换的和是有限 的。
H
(
z)
=
⎡ ⎢ ⎣
L(Z ) ⎤ B(Z )⎥⎦
,
(20)
于是有
H (z)H (z)T = Iar .
(21)
[定理]如果 H (z) 是一个 n × n ，其元素均为一阶多项式，那么上式（21）成立的充要条件
是
H (z) = H (1) ( I − A + Az),
(22)
其中 A 是一个 n × n 对称阵，且满足 A2 = A, H (1)H (1)T = Iar 。
ψ (x) = Q0φ(2x) + Q1φ(2x −1) + Q2φ(2x − 2),
(15)
其中，
Q0 = DP0,Q1 = D−1P1,Q2 = DP2, D = diag(
1 ,
21 − 1
1 ,
22 −1
,
1 )
2r −1
上面是讨论的是尺度因子为2 时多小波的构造问题。而对于 a(a > 2, a ∈ Z ) 尺度多小波
( j,k,l,m ∈ Z)
则称φ 为二尺度正交 r 重尺度函数，并称由它生成的多分辨率分析为一个正交的 r 重多分辨
分析。
由于V0 ⊂ V1 ，那么类似于标量小波函数的情况，尺度函数φ(i) 可由{φ(2i−k ), k ∈ z} 来
线性表示：
φ(x) = ∑ Pkφ(2x − k),
(2)
k∈Z
∑ ⎧φ(x) =
⎪ ⎨
2 h0 (k)φ(2x − k),
k∈Z
(13)
∑ ⎪ψ (x) =
⎩
2 h1(k)φ(2x − k),
k∈Z
(14)
h1(k ) 可由共轭正交关系： h1(k ) = (−1)k−1h0 (1 − k ) 直接得到。
尽管许多研究者都在努力寻找多小波的类似单一小波的构造公式,但到目前为止,仍没 有多小波的一般构造公式。对在一些特殊的条件下,一些研究人员给出较简单的构造公式, 如Chui C K和Lian给出了3-系数( P0 , P1 , P2) 的两尺度方程确定的尺度函数所对应的多 小波构造方法，具体地，
要构造相应的多小波，本质是寻找 B(z) ，使得 H (z)H (z)T = Iar 。而由定理，H (z) 可
∑ B(z) =
1 2
1 k =0
bk zk ,
Fra Baidu bibliotek
(18)
容易验证φ(x) 是正交的尺度函数，ψ ( x) 是对应于φ(x) 的正交小波的充要条件是
L(z)L(z)T = Ir , L(z)B(z)T = O ,B(z)B(z)T = I(a−1)r .
(19)
下面再定义一个 ar × ar 矩阵 H (z) 为
多小波的应用实质也是构造滤波器对所要分析的信号做滤波因而主要就是求解系数kpkq但是由于他们都是矩阵因而设计灵活自由度大的同时求解将更加复杂而且将一维信号通过矢量滤波器必然要经过预处理因为矢量滤波器是多输入多数出系统
多小波理论简介
多小波是小波理论的新发展。与以前的标量小波(scalar wavelet)相比，它是多个尺度函 数或者说是向量尺度函数生成的小波，它可以同时具有正交性、对称性、短支撑性和高阶消 失矩等性质，这在标量小波中是不可能同时具有的。
图1. 支撑度为[0，2]的Chui-Lian多小波
图2. 支撑度为[0，3]的Chui-lian多小波 除了著名的 GHM、Chui-Lian 多小波外，还有许多其它的多小波构造方法。下面介绍一
下程正兴等[4]的有关多小波的构造方法。
1） 正交多小波的构造
我们知道,对于单一小波而言,无论是正交的小波还是双正交的小波, 都有非常完美的 构造公式,即设时域形式的二尺度函数关系如下：
(11)
2n
这里，φˆ 可以看作是 n → ∞ 的极限，即：
n
∏ φˆ(2ω) = lim P(e−iω /2j )φˆ(0).
(12)
n→∞ j=0
这样，由上式得到的向量函数就是多尺度函数，如果满足以下条件：
n
∏ 1） 乘积项 P(e−iω / 2 j ) 当 n → ∞ 时收敛； j=0
2） 族函数{φi (i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z}是V0 空间的稳定基。
Pk 、Qk ，但是由于他们都是矩阵，因而设计灵活、自由度大的同时求解将更加复杂，而且
将一维信号通过矢量滤波器必然要经过预处理，因为矢量滤波器是多输入多数出系统。因而 可以说，由单小波到多小波，无论自由度还是复杂度都有显著的提高。
二、 多小波的构造
一般来讲，应该由（3）所表的二尺度关系作为构造多尺度函数的起点，但是类比单小
的滤波器 H0 (z) 、 H1(z) 及相应系数 h0 (k) 和 h1(k ) 。不同的是这里的与多小波对应的滤波
器时矢量滤波器，它的系数都是矩阵。
3．a 尺度多小波
一般地，如果上述多分辨率分析中，φ = [φ1 φ2 …φr ]T 的尺度部分是 a j 而非 2 j ，第四 条性质改为 f (i) ∈Vj ⇔ f (ai) ∈Vj+1, j ∈ Z ，那么我们可以得到一个由 a 尺度 r 重函数φ 产
Pk = 0, for k < 0 and k > M 。
2．多小波函数
对于一个给定的二尺度 r 重多分辨率分析空间{Vj} ，我们定义Wj 为V j 在Vj+1 中的补空
间，即V j+1 是Wj 和V j 的直和：V j+1 = V j ⊕ Wj 。同上理，令ψ = [ψ1 ψ 2 …ψ r ]T 为多小波
函数，其中，ψ ∈ L2 (R) ， r ∈ N ，则可定义空间Wj , j ∈ Z 如下：
Wj = span{2 j /2ψ i (2 j i−k) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z},
(4)
则向量小波函数ψ 是半正交的多小波函数，如果它满足以下条件：
1）Vj ⊥ Wj ；
2）{2 j / 2ψ i (2 j i−k) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z} 构成Wj 空间的一组 Riesz 基；
1．多尺度函数：
令φ = [φ1 φ2 …φr ]T ，其中，φ ∈ L2 (R)r ， r ∈ N ，则可定义空间Vj , j ∈ Z 如下：
Vj = span{2 j /2φi (2 j i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z},
(1)
（注意这里的定义与胡老师书上的定义略有差别，即 j 的符号为正的，与书上正好相
其中，矩阵序列{Pk }k∈Z ∈ l 2 (Z )r×r ；对比标量小波的二尺度函数关系，这个方程称为矩阵
二尺度关系。
对（2）式两做傅立叶变换，可得到其频域的形式如下：
φˆ(2ω) = P(z)φˆ(ω),
(3)
∑ 其中，
P(z)
=
1 2
k∈Z
Pk zk
，是 φ
的二尺度符号。
多尺度函数具有有限支撑 [0, M ] ，意味着具有有限个二尺度系数。特别的，有：
(7) (8)
⎧⎪φˆ(aω) = P(z)φˆ(ω),
(9)
⎨ ⎪⎩ψˆ
(aω
)
=
Q(
z)φˆ(ω),
(10)
∑ ∑ P(z)
=
1 a
k∈Z
Pk zk , Q(z)
=
1 a
k∈Z
Qk
zk
其中， Pk 是 r × r 阶系数阵， Qk 是 (a − 1)r × r 阶系数阵。
多小波的应用实质也是构造滤波器，对所要分析的信号做滤波，因而主要就是求解系数
1
∑ lm+nlmT =| δ0,n Ir ,
(16)
m=0
定义 r × ar 矩阵多项式 L(z) 为
∑ L(z) =
1 2
1 k =0
lk zk ,
(17)
类似地，定义
b0 = (Q0,Q1, ,Qa−1), b1 = (Qa ,Qa+1, ,Q2a−1)
定义 (a −1)r × ar 矩阵多项式 B(z) 为
的构造更没有一般的构造方法，将更加的复杂。下面介绍的是程正兴等[3]研究的方法，采 用矩阵的正交扩充的方法构造出多小波,从而使得a 尺度多小波的构造变得容易。
不失一般性,讨论两尺度矩阵方程的系数矩阵 P0, P1, , P2a−1 可能不为零,其余的皆为零
的情形下相应的正交小波的构造问题。
定义 l0 = (P0 , P1, , Pa−1), l1 = (Pa , Pa+1, , P2a−1) ，则φ( x) 是正交的尺度函数等价于
同样，多小波函数也满足二尺度关系： 时域形式：
ψ (x) = ∑ Qkφ(2x − k),
(5)
k∈Z
频域形式：
ψˆ (2ω) = Q(z)φˆ(ω),
(6)
∑ 其中， Q(z)
=
1 2
k∈Z
Qk zk
。
这样，我们就得到了多小波的二尺度关系：(2)、(3)、(5)、(6)，对比标量小波的情况，
这里的 P(z) 、Q(z) 其实就是滤波器，矩阵 Pk 、Qk 分别对应为滤波器的系数；对应单小波
特别地，{φi (i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z}是稳定的基，如果 P(1) 的谱半径是 1 且特征值 1 是单位 圆上的唯一的单特征值。这个对 P 的条件确保了无限乘积项的收敛。
值得注意的是，类似于标量情况下的上述条件，并没有耗尽表征多尺度函数的所有的自
由度，因而对序列{Pk }k∈Z 增加限制条件以获得具有合适性质的多尺度函数就成为可能。多
生的 a 尺度 r 重多分辨率分析。此种情况下，仍定义Wj 为V j 在V j+1 中的补空间，那么与Wj
对应的多小波函数为ψ = [ψ1 ψ 2 …ψ (a−1)r ]T ，同样，我们可以得到 a 尺度关系：
∑ ⎧φ ( x)
⎪
∑ ⎨⎪⎩ψ (x)
= =
k∈Z k∈Z
Pkφ(ax − k), Qkφ(ax − k),
1994 年,Goodman 等人基于r 重多分辨分析(MRA) 建立了多小波的理论框架,并给出 了多小波的例子；同年, Geronimo ,Hardin 和Massopust 应用分形插值的方法成功地构造
出具有短支撑、正交的、对称的和二阶消失矩的两个尺度函数φ( x) = [φ1,φ2 ]T ；1996 年,
5）{φi (i−k ) : 1 ≤ i ≤ r, k ∈ Z}构成V0 空间的一组 Riesz 基；
这样，称φ 为一个二尺度 r 重函数，并称此多分辨率分析为由φ 产生的二尺度 r 重多分
辨率分析。更进一步的，如果φ 满足：
< φl (x − j),φm (x − k) >= δlmδ jk ,
高阶消失矩：
∫ 定义 Lr = trψ (t)dt 为基本小波ψ (t) 的第r阶小波矩,如果对所有的 0 ≤ m ≤ M ,有
R
Lm = 0 ,则称基本小波ψ (t) 具有M阶消失矩。消失矩越高,频域的局部化能力越强,光滑性越
好。所有小波都具有一阶消失矩,为了更好地对线性函数进行重构,要求多小波至少具有二阶 消失矩。
小波相对于单小波的优点就是当处理矩阵而非标量系数的时候，自由度会更高，因此，许多 条件可以同时满足，比如：正交性、对称性、短支撑性和高阶消失矩。
正交性：
正交小波的对偶是其本身, 在应用中因为无须构造对偶函数, 节省许多运算。只是除了 Haar 小波外, 纯量小波无法同时满足正交性, 对称性和短支撑性, 应用上不方便。而多小 波可同时满足这四个特征, 在信号处理上比纯量小波更有优势。著名的GHM小波（图4）和 Chui-Lian（图1，图2）小波都属于正交小波。
波，先构造一个合适的矩阵序列{Pk }k∈Z ∈ l 2 (Z )r×r ，也就是矢量滤波器的系数序列，然后
在此基础上得到由（3）式求得尺度函数φ 将会是个比较简便的方法。基于此种考虑，我们
对二尺度关系的频域形式实现迭代求解，由式（4）得：
φˆ(2ω) = P(e−iω )P(e−iω / 2 ) P(e−iω / 2n )φˆ( ω ),