一类动点轨迹过三角形四心的问题
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e x
) | 1
0 = 2［( e － e ) － ( 0 － 1) ］ = 2． 故
S
阴影
2
所求概率为
P
= S 正方形 =
e 2 ．
点评: 本题求解的关键有两处: 一是利用互为反函数的关系得知两块阴影部分具有对称性; 二是选择左上方阴
图 2
影部分求面积要比求右下方阴影部分面积容易得多，因为右下方的面积
∫1e lnxdx 中，被积函数 lnx 的原函数是不易求得的．
对于同一道题，思维方向，方式的不同，将导致解题难度的不同． 而如何选择合理的解题途径，这需要在平时的解题中不断思辨，不断总结，不断积累．
［江苏省常州市戚墅堰实验中学( 213011) ］
一类动点轨迹过三角形四心的问题
■ 王
健
在平面向量的诸多问题中，有一类判断动点轨迹过三角形四心( 内心、外心、重心、垂心) 的问题． 这类问题的条件以向量式表示，彼此间的表达形式相似，很易混淆． 本文就此类问题分别加以解析．
问题: 设 M 是 △ABC 所在平面内的定点，P 是该平面内的
→
→
→
→
AB
AC
AB
解 3: 已知式化为AP = λ(
+
) ． 注意到
→ → →
| AB | | AC | | AB |
→
→
AC
是两个单位向量，那么它们的模相等．
与
根据结论 2 知AP
→
|
| AC
在 ∠BAC 的平分线上，故点 P 的轨迹一定过 △ABC 的内心．
动点． 在下列条件下判断动点 P 的轨迹过 △ABC 的什么心( 其中参数 λ ＞ 0) :
→
→ →
1． AP = λ( AB + AC ) ;
→
→
→ →
2． MP = MA ; + λ(
AB + AC ) ．
→ →
→
→
AB
AC
3． MP = MA + λ(
+ ) ;
→
→
| AB | | AC |
→
→ → AB·BC
BC = λ(
→
cosB | AB | → → cosC | AC | | BC | +
→
| AC | cosC
→
→
→
AB
AC
) ． +
而AP·
→
| cosB
| AC | cosC
AB |
→ →
→ →
(
)
+
AC·BC = λ(
|
AB | |
BC | cos
π －B
→
cosC
→
| AC |
| AB | cosB
→ →
→ →
= λ( －| BC | +| BC | ) = 0，所以AP
⊥ BC ，
→ →
→
→
AB
AC
4． MP = MA + λ(
+ ) ;
→
| →
| AB | cosB AC | cosC
→ → →
→
→
MB + MC
AB
AC
5． MP =
+ λ(
+ ;
2
→
| AB | cosB | AC | cosC
→ →
→
→
AB
AC
6． MP = MA + λ(
+ ) ． →
| →
| AB | sinB AC | sinC
由于以上各题的条件彼此相似，给解题带来困惑，区分不清它们的异同点，不知从何处着手，实际上，解决这类问题，只要用好下面两个常见的基本结论就可以解决．
→ →
结论 1: 向量OA + OB 过线段 AB 的中点．
→
→
→ →
结论 2: 当 | OA | = | OB | 时，向量OA + OB 在 ∠AOB 的平
→
分线上，且与向量AB 垂直．
现将以上 6 个问题解答如下:
→
解 1: 由结论 1 知向量AP 过 BC 的中点，所以点 P 的轨
迹一定通过 △ABC 的重心．
→ →
→ →
→
→
解 2: 原式化成MP － MA = λ( AB + AC ) ，也即AP = λ( AB +
→
AC ) ． 这就是第 1 题，故答案是重心．
从而点 P 的轨迹一定过 △ABC 的垂心．
解 5: 设 D 为 BC 的中点，由向量加法的平行四边形法则知
→ →
→
→
→
→
MB + MC
AB
= MD ，那么原式化为MP = MD + λ( +
2
→
| AB | cosB
→
→
→
→
AC
AB
AC
) ，即DP = λ(
+
) ．
→
→
→
| AC | cosC
| AB | cosB | AC | cosC
→ →
同解 4 得DP·BC = 0，则 DP ⊥ B ( C ) 所以点 P 的轨迹一定
经过 △ABC 的外心．
→
→
→
AB
AC
解 6: 原式化为AP = λ(
+ ) ( * )
→
→
| AB | sinB | AC | sinC
→
→
结合图 1，可知 | AB | sinB = | AD | =
→ → λ →
| AC | sinC ，故( * ) 式化为AP = ( AB →
| AD |
→
+ AC ) ．
上式中的 λ 是正数，这就是 1
题． 图 1
| AD |
故点 P 的轨迹一定经过 △ABC 的重心．
［哈尔滨师范大学附属中学 ( 150080) ］
·3·
→
解 4: 已知式为AP = λ(