高等数学B1课程教学大纲

《高等数学B1》课程教学大纲
课程名称：高等数学（B1）课程代码：,
课程类型：公共基础课
学分： 5学分总学时：80 理论学时：80 实验（上机）学时：0
先修课程：无适用专业：统招理工专类
一、课程性质、目的和任务
《高等数学》课程是针对我校理工类各专业专科层次学生讲授微积分的基础知识及其应用的一门重要的公共基础课。

它内容丰富，既为理工类专业后继课程提供基本的数学工具，又为学生进一步学好其它相关数学课程奠定基础，同时还具有培养学生应用数学的逻辑思维方法，分析并解决专业课相关问题的能力的任务，因此可以说《高等数学》是基础中的基础。

根据南山学院培养应用型人才的宗旨及专业特点，为使学生所学知识具有一定的可持续发展性，教学中应贯彻“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，教学重点放在“掌握概念，强化应用，培养能力，提高素质”上，通过教学实现传授知识和发展能力的教学目的，而且要将能力培养贯穿到教学全过程。

教学过程中还要注意不同层次学生的不同要求，积极为学生终身学习搭建平台、拓展空间。

因此高等数学课程不仅是重要的基础课和工具课，更是一门素质课。

教学中要结合教学内容及学生特点，选择适宜的教学方法与教学手段，突出重点、化解难点，有意识、有目的、有重点地营造有利于学生能力发展的氛围，启发学生思维的拓展，促进学生能力的提高。

二、教学基本要求
1、知识、能力、素质的基本要求：
本课程要使学生获得的知识包括：函数、极限、连续、一元函数微积分学及其应用、常微分方程、向量与空间解析几何、多元函数微积分学及其应用等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

从严格意义上讲，通过本课程的学习，逐步培养学生以下几方面的能力：比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、抽象概括问题的能力、自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力。

使学生在掌握数学知识的同时，能够理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。

对不同专业的学生应有不同的要求。

教学内容可分必讲内容与选讲内容两部分。

必讲内容为考核内容，选讲内容为各二级学院特别要求的专业课教学需要的内容。

2、教学模式基本要求：
（1）用“案例教学法”引入数学概念
在高等数学教学过程中，对于极限、导数、微分、不定积分、定积分、微分方程、向量、偏导数、全微分、重积分、极值与最值等重要数学概念都通过不同的实例引入，以增加学生的学习兴趣和学习动力，为学生利用所学知识解决类似的实际问题奠定基础。

（2）用“问题驱动法”展开教学内容
在微积分的教学过程中，用问题驱动法逐步展开教学内容，问题一环扣一环，便于启发式教学原则的实现.把学生吸引到教学内容中去，充分调动学生听课的积极性，提高课堂教学效率。

（3）用“讨论法”展开习题课的教学
在高等数学习题课的教学过程中，提出问题，并引导大家讨论问题，不但可以达到释难解疑的目的，而且还能锻炼学生的表达能力，激发学生学习热情。

（4）用“对比法”引入新的数学概念与运算
在高等数学课程的教学过程中，根据教学内容的需要，适时采用对比法引入新的数学概念与运算。

这样有利于学生消化吸收，达到事半功倍的教学效果。

（5）适时地利用直观性教学原则处理抽象的数学概念
在高等数学课程的教学过程中，可通过多媒体课件适时地利用直观性教学原则，使抽象的数学概念形象化。

直观性教学法不但可以帮助学生理解抽象的数学概念，还有利于学生记忆，培养学生形象思维能力。

（6）《高等数学》教学内容的系统性和严谨性是必要的，但在教学上不能过分形式化。

在讲授传统内容时，应注意运用现代数学的观点、概念、方法以及术语等符号，加强与其它不同分支之间的相互渗透，不同内容之间的相互联系，淡化运算技巧训练。

（7）要尽可能多的了解所教专业对数学工具的侧重或特殊需要，以便在内容组织与例题选择上予以关照，培养学生以数学为工具研究专业问题的意识与能力。

3、考核方法基本要求：
（1）考核形式：考试（笔试，闭卷）。

（2）考试级别：学校。

（3）成绩计算：平时成绩占30%、期中考试占20%、期末考试占50%。

三、教学内容及要求：
第一章函数
[教学内容]
函数概念、函数的几种特性、基本初等函数、复合函数、初等函数。

[重点难点]
重点：函数概念、基本初等函数。

难点：复合函数、分段函数
[教法建议及说明]
1. 以函数的两个要素为主阐明函数概念，使学生了解函数的三种表达形式。

2. 引导学生复习基本初等函数及其特性，做好初等数学与高等数学的衔接。

3. 通过实例引入复合函数与分段函数概念，加强分解复合函数的训练，明确复合函数构成的条件，掌握分段函数的对应规则。

第二章极限与连续
[教学内容]
函数的极限，数列的极限，无穷小量与无穷大量，极限的运算法则，两个重要极限，无穷小比较，函数连续概念，初等函数连续性，闭区间上连续函数性质。

[重点难点]
重点：极限的思想及极限运算、连续概念与初等函数连续性。

难点：极限概念。

[教法建议及说明]
1. 通过简单例子，对照图形变化趋势，概括出函数极限的描述性概念。

从距离的角度形象描述“越来越近”与“无限接近”的本质区别；结合具体例子说明函数在一点有极限与函数在该点是否有定义无关，进而加深学生对极限概念的理解。

2. 结合函数的几何特征直观解释极限的存在定理及性质。

讨论分段函数在分段点处的极限存在问题。

3. 重视极限与无穷小的关系及其在极限运算法则等定理证明中的作用。

4. 要强调指出极限运算法则的成立条件，突出运算法则在求有理分式与无理分式极限方面的应用。

5. 指明两个重要极限的特征及求解未定式极限的类型。

6. 结合函数的图形讲清函数连续概念的两种定义形式及函数在一点连续的三个条件，通过图形直观说明间断点类型和判别条件。

7. 闭区间上连续函数性质采用几何图形直观说明。

第三章导数与微分
[教学内容]
导数概念及其几何意义，可导与连续关系，求导举例，求导法则，复合函数求导法则，初等函数求导公式，隐函数的导数，高阶导数，微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则。

[重点难点]
重点：导数概念，复合函数求导法则，微分的运算。

难点：复合函数求导法，一阶微分形式不变性。

[教法建议及说明]
1. 通过物理、几何问题的分析讨论，作两方面的概括：（1）局部范围的不变代变（均匀代非均匀），（2）数学结构为平均变化率的极限，以此抽象出导数的定义。

2. 对复合函数求导，要牢记依次对中间变量求导的原则，即对谁（中间变量）求完导，接着乘以谁的导数。

3. 在隐函数的求导及对数求导法中要以复合函数求导法为依据展开，要提醒学生对中间变量求导后，还要乘上中间变量对自变量的导数。

4. 微分概念中要突出线性代替的思想，把握微分定义中函数增量等于函数微分与自变量高阶无穷小之和的结构特征；形象解释用函数微分近似代替函数增量的几何意义，建立“以直代曲”的思想；强调利用微分进行近似计算的理论依据是：在函数导数不为零时，函数的增量近似等于函数微
分。

对微分形式不变性要强调：在函数微分表达式中把自变量换成中间变量后，函数微分表达式的形式不变。

要通过利用微分形式不变性求导例题加深对微分形式不变性理解。

第四章一元函数微分学的应用
[教学内容]
洛必达法则，函数的单调性，函数的极值与最值，曲线的凹凸性与拐点，函数最值的应用。

[重点难点]
重点：洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，最值应用。

难点：最值应用。

[教法建议及说明]
1. 要强调洛必达法则使用的条件，应用洛必达法则求极限时应注意的事项。

2. 在讲授函数单调性、极值、凹凸性、拐点时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。

3. 结合数学建模讲解函数最值的应用，加强函数模型的训练，掌握一元函数优化数学模型方法，给出一两个典型优化模型问题，培养学生数学建模能力。

第五章不定积分
[教学内容]
原函数与不定积分的概念，基本积分公式，不定积分性质，第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法。

[重点难点]
重点：不定积分概念，换元法，分部积分法。

难点：换元积分法。

[教法建议及说明]
1. 注意引导学生熟记基本积分表和积分类型，掌握不定积分与导数关系。

2. 两类换元积分法中以第一类换元积分法（凑微分法）为重点，先通过简单的例子说明凑微分法使用的基本过程及所求积分的被积函数的特征为复合函数，通过练习逐步概括出常见的一般类型。

第二换元积分法以三角代换为主，把握三种常见的三角代换求积分方法。

3. 分部积分法以幂函数（多项式）与基本初等函数乘积的积分求解为重点。

4. 积分法的教学要突出基本方法的掌握，练习中要举一反三，多做练习，但不宜要求过高的技巧，注重把握三种积分的特点。

第六章定积分
[教学内容]
定积分概念，定积分的几何意义，定积分的性质，变上限的定积分，牛顿－莱布尼茨公式，定积分的换元法，定积分的分部积分法，无穷区间上的广义积分。

[重点难点]
重点：定积分的概念，变上限积分函数及其导数，牛顿－莱布尼茨公式。

难点：变上限积分函数及其导数。

[教法建议及说明]
1. 定积分概念注意从实际问题入手，作两方面的概括：（１）整体分割和局部范围内不变代变。

（２）数学结构上四步法“分割—取近似—求和—取极限”，表述形式为特定形式乘积的无限积累，尤其是“部分近似”与定积分表达式中的被积式的对应关系。

2. 注意导数概念的局部性和积分概念的整体性，明确定积分与原函数、定积分与不定积分的内在联系。

3. 从变上限定积分值也在变，逐步引进变上限积分函数，了解变上限复合函数的求导。

4. 讲清定积分换元法与不定积分换元法的区别在于“换元要换限，上限对上限，下限对下限”及变量代换的条件。

要了解奇偶函数在对称区间上积分性质。

第七章定积分的应用
[教学内容]
定积分应用的微元法，用定积分求平面图形的面积，用定积分求体积，用定积分求平面曲线弧长，定积分在物理中的应用（功，压力，转动惯量）。

[重点难点]
重点：用“微元法”确定所求量的“微元”，平面图形的面积，变力作功问题，抽水作功问题，液体压力问题，转动惯量问题。

难点：微元法表达式和积分限的确定。

[教法建议及说明]
1．平面图形面积的计算以直角坐标为重点，能用微元法或公式计算平面图形面积、旋转体体积，平面曲线的弧长可以略讲。

2．物理应用中，写出所求量的微元，要使学生明白其中每一因素的物理意义。

第八章常微分方程
[教学内容]
微分方程的基本概念与分离变量法，二阶常系数齐次线性微分方程的解法，二阶常系数非齐次线性微分方程的解的结构。

[重点难点]
重点：分离变量解微分方程。

[教法建议及说明]
1. 在分离变量法教学中，要注意：（1）分离变量后取不定积分时，要明确是以哪个变量为积分变量取的积分，等号两边的积分有何关系；（２）分离变量法在变形中可能要失解，如何处理（３）在化简解的表达式时，有时积分常数用lnC代替更为方便。

2. 知道二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构，不要求求特解。

第九章向量与空间解析几何
[教学内容]
空间直角坐标系，向量的基本概念及线性运算，向量的坐标表示，向量的点积与叉积，平面方程，直线方程，直线与平面间的位置关系，曲面方程的概念，母线平行于坐标轴的柱面、旋转曲面、二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影。

[重点难点]
重点：向量概念，向量坐标表示及其运算，向量的数量积与向量积，平面的点法式方程，直线的点向式方程。

难点：两向量的向量积，曲面所围空间区域图形，空间曲线在坐标面上的投影。

[教法建议与说明]
1. 着重讲清向量的概念，结合物理中力的合成、常力沿直线做功、力矩等问题讲清向量的线性运算、数量积及向量积概念。

突出向量间平行与垂直的条件。

2. 以向量为工具建立平面的点法式方程与直线的点向式方程，使学生掌握其特征，并能够根据所给条件直接写出平面的点法式方程与直线的点向式方程。

第十章多元函数微分学
[教学内容]
多元函数概念，二元函数的极限与连续，偏导数，高阶偏导数，全微分，多元函数的极值，多元函数最大值与最小值的应用，条件极值。

[重点难点]
重点：多元函数、偏导数、多元函数最大值与最小值的应用，条件极值。

难点：条件极值。

[教法建议与说明]
1. 教学中要注意与一元函数相关概念对比教学，求同存异，使学生在把握一元函数与二元函数相关概念关系的同时，明确其差异。

2. 在二元函数极限教学中注意自变量趋于点的方向的任意性及方式的多样性，这是一元函数与二元函数极限的主要区别，也是造成二元函数极限、连续、偏导数、全微分概念间关系有别于一元函数相关概念间关系的根源。

3. 讲清偏导数概念与计算的原则是多元问题一元化。

因此，偏导数概念的讨论与计算实际上就是一元问题。

4. 多元函数最大值与最小值的应用以简单应用题为主。

第十一章多元函数积分学
[教学内容]
二重积分概念与性质，在直角坐标系中计算二重积分，在极坐标系中计算二重积分，二重积分应用举例。

[重点难点]
重点：二重积分概念，二重积分计算。

难点：二重积分化为累次积分。

[教法建议与说明]
1. 二重积分概念的引入可以从两方面出发：一方面是对比一元函数定积分概念，通过对曲顶柱体体积的分析，采取分割取近似，求和取极限的方法抽象出二重积分概念；另一方面，可以按照微元法解决曲顶柱体体积，概括出二重积分的概念。

2. 二重积分化为累次积分时关键是选择积分次序，正确确定积分限。

教学中要讲明积分次序选取和坐标系选用原则：（１）区域尽可能不分块；（2）尽可能使积分限简单；（３）内层积分易求。

三者兼顾，抓主要矛盾。

四、学时分配
五、推荐教材和教学参考书
教材：《高等数学》，侯风波编著，高等教育出版社，2003年。

参考书：《高等数学训练教程》（第二版），侯风波编著，高等教育出版社，2004年。

参考书：《高等数学练习册》，侯风波编著，高等教育出版社，2004年。

参考书：《高等数学》（第六版），同济大学数学系编著，高等教育出版社，2006年。

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审定：
批准：。