罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔定理的几种类型及其应用
1 引言
最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．
在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .
2 微分中值定理
2.1 罗尔定理
1 （P
若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f
a f
b . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.
罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .
2.2 拉格朗日中值定理
x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在
拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .
2.3 柯西中值定理 1
若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得
fa。

若函数
个数 a,b ，使得 f
f a f b ab
柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程
u g x
v f x
于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。

从三个定理内容和形式上看，罗尔定理演绎了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，所以罗尔定理的应用范围直接影响了拉格朗日中值定理和柯西中值定理；由三个定理的条件看，减弱罗尔定理的第三个条件可以得到拉格朗日中值定理和柯西中值定理. 那么是不是减弱罗尔定理的条件可以得出其它类型更便于应用的中值定理呢？把罗尔定理条件中的f x 在a,b 连续依次改为f x 在
a,b 连续、f x 在b, 上连续、f x 在,a 上连续、f x 在, 上连续，再把两端点极限值从有限数推广到无限数，于是得出了以下几个命题．
2.4 罗尔定理的推广
命题 1 若函数f x 满足以下条件：（1）f x 在开区间a,b 上连续；（2）f x 在开区
间a,b 上可导；（3）lim f x lim f x ；则至少存在一个则至少存在一个数a,b ，使
xa xb
得f
0.
证明:当lim f x lim f x =c（c 为有限数），做函数F
x ：
在开区间a,b 上，
xa xb
F x f x，Fa lim xa f x ，F b lim f x ．则F x
xb 满足：
（1）
在闭区间a,b 连
续；
（2）在开区间a,b 上有有限的导数；（3）F a F b ；则至少存在一个数a,b ，使得
F 0 ，又在开区间a,b 上F x f x ，所以至少存在一个数a,b ，使得
f F 0 ．
当lim f x lim f x （或）时，做函数F x = arctan f x ，则函数F x 满足：x a x b
（1）F x 在开区间a,b 上连续;（2）F x 在开区间a,b 上有有限的导函数;（3）.
lim F x lim F x = （或）．
x a x b
2 2
这种情形是把罗尔定理条件中的f x 在a,b 上连续减弱到了f x 在a,b 上连续，关于两端点的极限值是分为有限和无限两种情况讨论的．
面举一个例子，看看是不是能找到符合条件的
点。

例1
1
x x23x 1
f x 在开区间
3 5 3 5连续可导并且有
0有该题中f x在
22
1
2 x3x 1
2x 3
2 x
2
3x 1
35连续可
2
1
x
x
，并且
＝0 x
lim
35
2
lim
35
2
满足命题 1
中：3x 1
3535
2
存在一个数
命题
2
可导；(3)
lim 2
3 5 x2 3x 1 x
2
lim
35
x
2
1
x2 3x 1
f x 在开区间a,b 上连续可导，
，使得f x 0 ．
2
a,b ，使得f0
．
若函数f x 满足以下条件：(1) f x
lim f x lim f x ；则存在
x b x
证明若lim f x lim f x
x b x
由lim f x c ，可得对于任意的x
这里不妨设=1 ，于是有c 1
xc 1 时，有f x
并且lim f x
xa
这就符合了命
题
在开区间b,
b, ，使得f
c ( 其中c为有限
数)，
，存在N ，当x N 时，有f
1，设区间内，连续函数f x 一定存在最值，
lim f x ，而且该题中存在
xb
的结论：至少存在一个则至
少
连续；(2) f x 在b, 上
xc，由于的任意性，c 1；由lim f x c ，可得对于任意的
xb
1 1 ，于是有
设其最大值
为
m min c 1,m1 ，若M m ，则f x 在b,
存在，当c1x c 1 ；又在b,N 1的闭M1和最小值m1，取M= max c 1,M1
是常数函数，于是在b, 上f x 永远为
0；若 M m ，则 f x 在 b, 内，必能取得极值，由费马定理可知，一定存在
面的部分是一致的
两端点的极限值是分为有限和无限两种情况讨论的．
x1 2
x
x1 lim 2
lim
x 1
x
2
x
x1 lim 2 0 x
x
lim f x c 证明方法和命题 2上一致的，这里就不再给出详细的证明过
xa
程了．
a,b 上连续减弱到了 f x 在 ,a 上连续，关于
两端点的极限值是分为有限和无限两种情况讨论的．
1,
连续可导并且有
令 f x 0 ，有 在本题中 f x 在 1,
2
2x x 2
x 4
，
x 0或x 2， x 2
连续可导并且有 1,
满足了命题 2 中的 f x 在 b, 上连续可导并且有 lim f
xb
lim f
x
的条件，而且本 题中可以找到 x 2 1
,
，使得 f 0．于是该题符合了命
题
的结论：
存在
b,
使得 f 0． 命题 3 若函数 f x 满足以下条
件 :(1)
在开区间
,a 上连续； (2)
x 在 ,a 上可
导；
(3)
lim f x
x
lim f x ；则存在
xa
,a ，使得 f
0．
若 lim f x
x lim
xa
fx ，则可作 F x
arctan f x ，这就把条件转化到已证类型
了．
b,
使得 f
0．
若 lim f x lim f x
x b x
(或
)，只须设 F x arctan f x ，在 F
x 下条件与前
这种情形是把罗尔定理条件中的 f x 在 a,b 上连续减弱到了
x 在 b,
上连续，关于
x1 20 x
lim
x1
x1 2
x
证明 :若 lim f x
这种情形是把罗尔定理条件中的 f x 在
2
例3 f x
,2 连续可导并且
有
lim
x
0，
这道例题中 f x
lim x 1 2x
x 2
li m
x2
4x
2
2x
,2 x 1
， x 1
3
连续可导并且
有
,2
1 2x lim 1
x x 2
2 x 符合命题
3 中的在开区间 ,a 上连续可导并且有 lim f x lim f xa x 的条件，而且也找到
了
x1
,2 使得 f 0， 同样也得出命题 2 的结论： 存在 ,a ，使得 f
．
命题 4 若函数 f x 满足以下条件： (1) 在开区间 上连续； (2) f x 在
可导； (3) lim f x x lim f x ； x 则存在
，使得 f
证明 若 lim f x
x lim f x x
c ( c 为有限数)，由 lim f x x
c 和 lim f x
x
可知，
对于任意的 ，存在正整数 N ，当 x N 时，有 ，因为 的任意性，令 1；又 f x 在 1,N 1 的最大值和最小值，设其最大值为 M 1 和最小值 m 1，取 M= max c 1,M 1 和 m min c 1,m 1 ，若 M m ，则 f x 在 是常数函数，
于是在 f x 永远为 0 ；若 M m ， 内，必能取得极值，由费马 定理可知，一定存在 ，使得 0． 若 lim f x
x
lim f x ，同样可以令 x
Fx arctan f x 证明方法同上． 这种情形是把罗尔定理条件中的 f x 在 a,b 上连续减弱到了 f x 在 上连续，关
于两端点的极限值是分为有限和无限两种情况讨论的．
例4
x
f x xe
上连续可导且有
lim x
2 xe x
lim x x 2
xe
0 ， 令 f x 0 ，
f x e x 1 2x 2
0，
x 1
, 2,
此题符合命题 4 的条件，而且找到
了
x 1
2 , ，也得出了命题 4 的结论
罗尔定理几种类型已经得出，这些罗尔定理的新类型又有哪些具体的应用呢？下面就这些问题
谈一下罗尔定理的几种类型的应用．
3 罗尔定理的几种类型的应用
例 5[4]（P249） 证明多项式
显然 1和 1都不是 Q 2n x 的根．
这道例题是用命题 1 确定方程的根的特性和范围，这是 代数问题的典型例子．这道题中的多项式是著名的勒襄
德多项式，还有其它许多著名的多项式方程 也是应用罗尔定理的几种类型分析多项式方程的根的范围．这道例题是对罗尔定理的几种类型直接 应用，直接应用是应用罗尔定理的几种类型解题的最普遍的类型，应用时要多注意一下条件和待证 明结果，当然最重要的是要真正理解罗尔定理的几种类型．
例6 设函数 f x ：（ 1）在闭区间 ,x n 上有定义并且有 n-1 阶的连续导函数 f
在开区间
,x n 上有 n 阶导函数 f n x ，（3）有如下关系
lim f x f x 0 f x 1 ⋯ lim f x x x x
n
证明：在区间
,x n 上，至少存在一个数 使得 f n
0．
证明 在每一个闭区间
的根都是实数且包含于区间
1,1 ．
P
n
d n
n
x 2
2 n!dx
证明 显然 2n 次多项式
Q
2n
1 n 仅有实根 1 （ 1和 1都是 n
重根）根据命题 1 结论可知 P n x
d n
n
2n
n! dx
x 2
仅有实根，且都含于区间 1,1 上，但是
个直接应用罗尔定理的其它类型解决 n1
n 1
x ，（ 2）
上，函数 f x 满足罗尔定理的条件，因此，存在 n 个数 x 1,x 2,x 3，⋯⋯， x k ，⋯， x n ，其中
x 1
,x 1 、x k x k 1,x k （k ＝2，3，⋯n ），于是在每个区间 x k ,x k 1 满足罗尔定理的条件， 所以存
在数 x k x k ,x k 1 （ k=1，2，⋯， n-1），使 f x k 0 ，反复应用罗尔定理及其几种类型，
重复上述步骤，经（ n-1）后，得出一个区间 x 1n 1
,x 2n 1
,x n ，满足 f n 1 x k n 1 0（k=1，
n1
2），于是在此区间上，函数 f
n 1
x 满足罗尔定理的条件，所以可以得出至少存在一个数 使得
f n
0 ．这道题中的定义范围也可以在 b, 或 , 上，结论也是成立的。

该例题综合应用了罗尔定理和罗尔定理新类型中的命题 3，也是应用罗尔定理解决根的问题中
有代表意义的例子，该题涉及的解题方法是拉椐法，也就是反复应用罗尔定理及其几种类型，拉椐 法可以说是一种方法，也可以说是一种思维方式，在应用上没什么可以多注意的地方，主要是要对
例 7 是应用命题 2 解题的例子，是作辅助函数的方法解题的典型例子，其中所作的辅助函数虽 然也是根据所证明结果构建的，但是该函数不能直接通过观察得到，构建辅助函数要经过试验．首 先有 f x 在 0, 上可导，构建辅助函数 F x 时只须一个在 0, 连续可导的函数就能保证
F x 在 0, 连续可导，再次由 0 再结合所
要证明的结果，我们就不妨设
,x 1 ， x 1,x 2 ，
x k 1,x k ，
x n 1,x n
例
7
[6](P146)
设 f x
在 0,
f 1 2 。

上可导且 0
fx
x 2
1 x 2
f
1 2 2 。

证明 作函数 F x f x
x
2，
1x
则 F x 在 0, 上连续，在
0, 上可导，
并且有
lim F x
x0
lim F x
x0 由罗尔定理可得，存在 0,
，使得 F 0，
即
f 1
2
1
22
0,
，使得
x
x x 2 ，可以得出 lim f x lim f x 0 ．
1 x 2
x 0 x
罗尔定理及其推广形式从活应用．
x
Fx fx2
1x
其中x2在0,上可导，这就保证了F x在0,连续可导，其
中
1 x
2
lim F x x0lim
x
F x0
这样新构建的辅助函数F x 就满足了罗尔定理的推广形式中的命题 2 的条件，如果可以通过这个辅助函数得出所要证明的结果当然好了，但是有时在一些比较复杂的问题中要通过多次的试验才能构造出正确的辅助函数．值得一提的是在构建辅助函数时所作的辅助函数并一定是唯一的．
4 总结
总体来说，通过减弱罗尔定理初始条件得出罗尔定理的四种类型是对罗尔定理的扩展，符合创新的思想，但是罗尔定理新的类型并不一定是只有四种，在实践过程中罗尔定理及其几种类型的研究会逐步完善起来．罗尔定理几种类型的应用并不复杂，最主要的是直接应用，其次是做辅助函数对罗尔定理的几种类型进行应用和推广，再次就是在一道题中反复应用罗尔定理及其几种类型．总结几种类型为初学者提供了便利.。