圆锥曲线高考常考题型

圆锥曲线高考常考题型：

一、基本概念、基本性质题型

二、平面几何知识与圆锥曲线基础知识的结合题型

三、直线与圆锥曲线的相交关系题型

（一）中点、中点弦公式

（二）弦长

（三）焦半径与焦点三角形

四、面积题型

（一）三角形面积

（二）四边形面积

五、向量题型

（一）向量数乘形式

（二）向量数量积形式

（三）向量加减法运算

（四）点分向量点分线段所成的比

六、切线题型

（一）椭圆的切线

（二）双曲线的切线

（三）抛物线的切线

七、最值问题题型

一利用三角形边的关系

二利用点到线的距离关系

一、基本概念题型：主要涉及到圆锥曲线定义、焦点、焦距、长短轴、实虚轴、准线、渐近线、离心率等基本概念知识的考查;

例1：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦距为2,准线为4=x ,则该椭圆的离心率为

例2：已知双曲线方程)0,(12222>=-b a b y a x 的离心率为2

5

,则渐近线方程为

例3：已知双曲线方程为)1(1)1(2

2

22>=+-a a y a x ,则双曲线离心率取值范围为 例4：已知抛物线方程为x y 82-=,则焦点坐标为

例5：已知椭圆C ：1342

2=+

y x 上一点P 到左焦点的距离为23,则点P 到左准线的距离为 ,到右准线的距离为

例6：已知双曲线M ：13

62

2=-

y x 上一点P 到左准线的距离为2,则点P 到右焦点的距离为

二、平面几何知识与圆锥曲线基本知识的结合;

该考点主要涉及到平面几何知识中的中位线、中垂线、角平分线定理,射影定理、勾股定理、余弦定理 、相似三角形、三角形四心性质、等腰梯形、直角梯形性质 、圆的性质、长度和坐标的相互转换等当 然还会涉及圆锥曲线基本知识,包括定义、基本概念、基本性质;

例1：①过三点(1,3)A ,(4,2)B ,(1,7)C -的圆交y 轴于M,N 两点,则||MN = A ．26 B ．8 C ．46 D ．10

②设点M 0x ,1,若在圆O:221x y +=上存在点N,使得∠OMN=45°,则0x 的取值范围是________.

③已知点P 为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点,21F F 、为椭圆的两焦点,若

21213,120PF PF PF F =︒=∠且,则椭圆的离心率为

例2：已知21F F 、为双曲线

19272

2=-y x 的左右焦点,P 为双曲线上一点,M2,0,PM 为21PF F ∠的角平分线,则2PF =

例3：已知P 为椭圆12

92

2=+

y x 上一点,21F F 、为椭圆的交点,M 为线段1PF 的中点,1=OM ,则=1PF

例4：①已知21F F 、为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦点,点P b a ,,△21F PF 为等角三角形,则椭圆的离心率为

②已知F 1,F 2是双曲线E 22

221x y a b -=的左,右焦点,点M 在E 上,M F 1与x 轴垂直,sin

211

3

MF F ∠=

,则E 的离心率为

3

2

③已知A,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为

A B ．2 C D 例5：已知椭圆方程为)0(12

2

22>>=+b a b y a x ,点A 为椭圆右准线与x 轴的交点,若椭圆

上存在点P,使得线段AP 的中垂线经过右焦点F,则椭圆离心率的取值范围为

例6：已知1F -c,0、2F c,0为椭圆C:)0(12222>>=+b a b

y a x 的左右焦点,若在直线2

2a x c

=存在一点P 使得线段1PF 的中垂线经过2F ,则椭圆离心率的取值范围为

例7：已知斜率为2的直线过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点且与y 轴的交点为A,若△OAF 的面积为4,则抛物线方程为

三、直线与圆锥曲线

一直线与圆锥曲线相交,中点,中点弦公式

1、直线与圆锥曲线相交,即有两个交点,一般设两个交点坐标为),(),(2211y x y x 、

,联立方程,方程有两个根,以下三点需注意：

①联立时,直线一般采用斜截式,将y 用kx+m 替换,得到一个关于x 的一元二次方程,当然也可以将x 用y 的表达式替换,得到关于y 的一元二次方程；

②联立得到的一元二次方程中,暗含了一个不等式,0>∆； ③我们很少需要求解21x x 、,一般通过韦达定理得到2121x x x x 、+的值 或者表达式;

2、两交点中点坐标：M 00,y x =)2

,2(

2

121y y x x ++联立、韦达定理=)2

)

(,2()2,2(

21212121m x x k x x m kx m kx x x +++=++++ 3、中点弦公式：所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时,两交点中点与弦所在直线的关系,一般不联立方程,而用点差法求解 ①椭圆：焦点在x 轴上时

直线m kx y +=与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于点A 、B

设点A 11,y x ,B 22,y x

∵A 、B 在椭圆上

∴122

122

1=+b y a x ……① 则22

22

122

22

1-b

y

y a x x -=- 122

222

2=+b y a x ……② 即 222

2

212221-a b x x y y =-- ①-②得：022

22122221=-+-b

y

y a x x

即22

21212121))((a

b x x y y x x y y -=++--

则 22

a

b k k OM

AB -=其中M 为A 、B 中点,O 为原点

同理可以得到当焦点在y 轴上,即椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

x a y

当直线交椭圆于A 、B 两点,M 为A 、B 中点 则22

b

a k k OM

AB -=

用文字描述：直线AB 的斜率与中点M 和原点O 所成直线斜率的乘积等于2y 下的系数比上2x 下的系数的相反数;

例：已知直线x+y-3=0过椭圆C:122

22=+b

y a x 的右焦点且与椭圆交于A 、B 两点,P

为AB 的中点,且直线OP 的斜率为

2

1

,求椭圆方程;