323圆心角弦弦心距之间的关系

P
PK2+QK2为定值。
五、思考题：
2、如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB, 分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。
求证：∠CAD=∠EBF
C
G
DE
H
F
•A
•B
小结： 1、圆具有“旋转不变性”。 即：圆绕圆心旋转任意角度，都能与本身重合 2、圆心角、弦心距、1°的弧的定义。 3、四个量之间的等量关系。（知一推三）
A E
C F
例2：已知：如图， AB、
CD是⊙O的两条弦，OE、 OF为AB、CD的弦心距
⑵如果OE＝OF，那么
•O
AB与CD的大小有什么关
B
D 系？AB与CD的大小有什
么关系？为什么？
∠AOB与∠COD呢？
2、抢答题
B E
已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，A OE、OF为AB、CD的弦心距，根据这
九年级数学(下) 第三章 圆
圆的对称性(3) 3.2 圆心角、弧、弦、弦心距
之间的关系
一、复习引入：
1、什么是轴对称、中心对称图形？
2、 圆的旋转不变性：圆是一个中心对称图 形，圆心是它的对称中心。圆绕着圆心旋转任 意一个角度都能和原来的圆重合。
B
二、新课学习：
1、圆心角，弦心距的概念 顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心到弦的距离叫弦心距.
O
A
B
D
O A
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
O
O
①
②
O
O
③
④
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
(1)定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弦 相等，所对的弧相等，所对的弦心距相
等。
思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：
条件： 在等圆或同圆中 圆心角相等
结论：
演示
圆心角所对弧相等
圆心角所对弦相等 圆心角所对的弦心距相等
猜想：把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置，有怎样的结果？
(2) 推论： 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
A
D
B
B'
O
D'
A'
1°弧的概念：
顶 点 在 圆 心 的 圆 心 角 等 分 成 360 份 时 ， 每 一份的圆心角是1°的角，整个圆周被等分成 360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。 （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
D
例3、已知 AB和CD为⊙O的两
A
条直径,弦CE∥AB, EC弧的度
数等于40°.
O
求∠BOD的度数。
E B
C
四、课堂练习
1、在⊙O中，直径为10厘米，AB弧是圆的 1/4，求弦AB的长。
2、已知：如图，⊙O中， AB、A
CD交于E，AD=BC。
求证：AB=CD。
D
C E
O B

3、如图，⊙O中弦AB， CD相交于P，且AB=CD.
C E
A
B
M •O
P N
D
变式2：
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交 于点P，APO=∠CPO
F 求证：AB=CD
变式3：
如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.
求证：∠AMN＝∠CNM
A C
M N
• O
B
D
例2、在⊙O中，弦AB所对的
劣弧为圆的1/3，圆的半径为2
O
厘米，求AB的长
AC B
D O
F
节课所学的定理及推论填空：
C
(1)如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF ，AB=CD，A⌒B=C⌒D ; (2)如果OE=OF，那么 ∠AOB=∠CO，D AB=CD， A⌒B=C⌒D；
(3)如果A⌒B=C⌒D，那么 ∠AOB=∠COD， AB=CD， OE=OF；
(4)如果AB=CD，那么 ∠AOB=∠COD，OE=OF ，A⌒B=C⌒D 。
B
N
推平②③论分MA(弦12:NC)所⊥=弦B对A的C的B垂两直条平弧分①④⑤;线直AA⌒⌒经NM线==过MNM⌒⌒B圆BN过心圆,并心且O
M
垂径定理推论1
O
C
A
B
N
推直①⑤论平直A⌒N(1分线3:= N)弦M⌒平B,N分并过弦且圆所平心对分O的弦一所条对弧的②③④的另MAA⌒直一NMC⊥径条== MB⌒A,弧BC垂B
垂径定理推论2
圆的两条平行弦所夹 的弧相等。
A
●O
B
C
D
M
A
B
●O
C
D
M
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A
C
例2：已知：如图， AB、
CD是⊙O的两条弦，OE、 OF为AB、CD的弦心距
E
F ⑴如果∠AOB＝∠COD, 那么OE与OF的大小有什
•O
么关系？为什么？
B
D
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
为求什么？需添辅助线吗？
D
如何添？
C
B
例2、如图，已知：AB为⊙O的弦，
从圆上一点C引弦CD⊥AB,作∠OCD的 平分线交⊙O于P点，连结PA,PB. 求证：PA=PB.
分析：（1）要证AP=BP,有什么路径？
（ 2 ） “ CP 是 ∠ DCO 的 平 分 线
“CD⊥AB”
C
条件如何用？
（3）有无“隐含条件”？
A'
B
A
（不对）
例1：如图，点O是∠EPF平分线上的一点，
以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B
和C、D 求证：AB=CD
证明：作OM⊥AB，
ON⊥CD，M、N为垂足，
B
∠MPO=∠NPO
M
OM⊥AB
A
P
O·
ON⊥CD OM⊥AB
C N
D
OM＝ON ON⊥CD
AB＝CD
变式1：
A
B
M O·
N
D C
2、A、B、C为⊙O上三点，若 A⌒B 、B⌒C 、C⌒D 的度数之比为1：2：3，
则∠AOB= 60 °，
∠BOC= 120 °, ∠COA= 180 °.
3、在⊙O中，AB弧的度数为60°，AB弧的长
是圆周长的 1/6 。
4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆
心角是 60 度。
5、弦长为24cm,这条弦的弦心距为 4 3 cm，
关系定理及推论. 4、理解1°弧的概念。
教学重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系
教学难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、
弧、 弦、弦心距之间的相等关系。
教学课时：共二课时。
B
A
M
O
B
M
A
O
B(B)
M
M
A ( A)
O
M
B
A
O
A M
B
O(O)
M (M )
B(B)
求证：PB=PD
C PA
B
O
D
思考题：
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON 分别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD， 那么OM和ON有什么关系？为什么？
圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系
1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小； 2、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角
也较大。
二、弦、弦心距之间的不等量关系 A
C
1度弧
D
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等。
1度圆心角
O A
n度圆心角
n度弧 B
三、巩固应用、变式练习
1 、 判断题，下列说法正确吗？为什么？
（1）如图：因为∠AOB=∠A’OB’，
︵︵ 所以AB=A`B`. （不对）
O B'
（2）在⊙O和⊙O’中，如果 ︵︵
AB=A’B’,那么AB=A`B`.
A( A)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）
一、重要定理复习
1. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。
根据这一定理，在同圆或等圆中，圆心 角、弧、弦、弦心距之间就可以实现等量关 系的相互转化，由知一个转为知三个，给解 题带来了转机。
这条 弦所对的圆心角是 120 度，圆的半径 是 8 3cm。
C
6、如图，弦AB所对的劣弧
为圆的 1 ,则∠AOB= 120º.
O
3
B
∠ACB= 60 °
A
四、例题分析
例1、已知：如图，在△ABC中, ∠C=90°，
∠A=34°,以点C为圆心,CB为半径的圆交 AB于D点，求BD弧的度数.
A
问题：求BD弧的度数，可转化
已知⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB， ON⊥CD，垂足分别为M，N，
M OB
求证：OM<ON
C N
D
重要结论：
若AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON 分别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD，那 么OM<ON。
三、基础练习：
A⌒mB
1、一条弦把圆分成3：6两部分，则优弧所对
的圆心角为 240 °.
证明弧相等方法的扩充： （1）等弧的定义 （2）垂径定理及推论 （3）四个量之间的等量关系及推论。 4、圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系。
（相等） 5、常添的辅助线：作出半径、弦心距
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
教学目标：
1、了解圆的对称性和它的旋转不变性. 2、理解圆心角、弦心距的概念. 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等
（4）需添辅助线吗？
O
A
B
D P
例3、（99年北京中考题）
C
在⊙O中，CD过圆心O，且
O
CD⊥AB于D，过点C任作一
E A
D
B
弦CF交⊙O于F，交AB于E， F
求证：CB²=CE·CF
五、思考题：
Q
1、如图，AB是⊙O的直径，
过AB上任一点K作与AB相
KD
交成45°的弦PQ，设⊙O A
O
B
的半径为R，求证：
M
垂径定理
O
C A
N
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
B
③ ④
A⌒C=B⌒C
AM= MB
⑤
⌒
AN=
⌒
NB
M
垂径定理推论1
O
C
A
B
N
①③推 直直论于AC线(弦11.=)M，平BCN并分过且弦圆平（心分不弦是所直对径②④⑤的）MAA⌒两⌒的NMN=条⊥=直NM⌒⌒弧BA径BB。垂
M
垂径定理推论1
O
C
A
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
B E
O
C
D A
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A
C 如果 ∠AOB = ∠COD
如果 OE = OF
E
F
A⌒C = B⌒D
O
D B
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧