西南林业大学力学竞赛模拟试题及答案2

1、电影中，常见到这样的街头表演：一人躺在地上，身上压着一块石板，另一人挥铁锤猛击石板，石板破了而其底下的人却安然无恙。

请你分析一下：
（1）本问题与力学中什么内容有关？
（2）要使下面的人安然无恙，对石头有什么要求？
解答：
（1）本问题与力学中平均压力和碰撞的能量损失有关。

（2）要使下面的人安然无恙，对石头的要求有：石板与身体要有尽可能大的接触面积； 在身体承受范围内，石板越重越好，在这种条件下，由于石板的作用，铁锤的动能传给身体时已经损失过半；同时，身体有大的面积来吸收传过来的能量，身体的变形将会大大减小，因此，表面上看起来令人难以承受的表演，实际上可能还是很轻松的。

分析如下： ①平均压力：根据ps F = 其中：p —平均压力；s —接触面积
可知：F 一定时，当锤直接接触人，接触面积s 很小，p 就很大，引起的局部变形就很大。

当锤直接接触石板，力通过石板传递到人，石板与人的接触面积s 较大，p 就要减小很多。

由于石板也有自重，又增加了人的承受的平均压力。

因此从平均压力的角度看对石板的要求：石板与身体有尽可能大的接触面积，另外石板自重要偏小。

②碰撞的能量损失
如果没有石板，铁锤的动能绝大部分（视身体与铁锤的恢复系数而定）被身体的变形能。

添加石板后，若把铁锤和石板简化为质点1m 、2m ，设两者间的恢复系数为k ，铁锤碰到石板前的动能为21102
1u m T =。

根据碰撞理论，铁锤打击石板后，系统动能损失为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∆210
2
11m m T k T 。

由于k 、1m 、0T 可以视为常数，所以石板2m 越大，系统（铁锤和石板）
的动能损失就越大。

这些损失的动能转化为热能、声能，以及本铁锤的变形及石板的破裂所吸收，剩下的能量()T T ∆-被表演者吸收转变为身体的变形能。

因此，表演者当然希望石板2m 大一些，T ∆大一些好。

2、两辆汽车匀速前进如图1所示，A 车沿直线行驶，
t x OA A υ-=0，B 车沿圆周行驶，t ωθ=，圆周半径
为R 。

可以发现，A 车上的乘客看到B 车的运动与B 车
上乘客看A 车的运动是不同的。

请分析一下：
（1）本问题与力学中什么内容有关？
（2）利用力学知识分析A 车上的乘客看到B 车的相对
运动和B 车上乘客看A 车的相对运动。

（3）我们知道BA AB r r -=，为什么A 车上的乘客看到B 车的运动与B 车上乘客看A 车的运动不同呢？
答：（1）本问题与力学中点的运动分析内容有关。

（2）a) 建立动坐标系A A y Ax 与A 车固结。

如图1所示，根据向径的关系，有A B AB r r r -=
，
其中AB r 就是A 车上的乘客所看到的B 车的向径，把AB r 向动坐标系A A y Ax 投影有 ())1(sin cos 0⎭⎬⎫=--=t R y vt x t R x ωω
利用计算机作图，若设R=1000m ，
,
200,/10,/1.0,20000s t s m v s rad m x A ====ω可得到方程（1）的轨迹如图2所示。

其中的小圆圈表
示初始时的相对位置。

建立动坐标系B B y Bx 与B 车固
结（图3），根据向径的关系，有B A BA r r r -=
其中BA r 就是B 车上的乘客所看到的A 车的向径，把
BA r 向动坐标系B B y Bx 投影有：
()())2(cos sin 00⎭⎬⎫--=-=R t vt x y t vt x x ωω
b) 在前面所给的参数下，可得方程（2）的轨迹为图4。

（3）我们知道BA AB r r -=，但为什么双方所看到的相对轨迹不同？这与矢量在不同坐标系的分解有关。

3、杂技演员使圆盘高速转动，并在地面上向前抛出
不久圆盘可自动返回到演员跟前。

请分析一下：
（1）本问题与力学中什么内容有关？
（2）利用力学知识分析一下圆盘的运动
答：
（1） 本问题与力学中质心运动定理和
动量矩定理内容有关。

（2）利用力学知识分析一下圆盘的运动。

设圆盘在开始时盘心速度大小为0v ，角速
度大小为0ω，以后为v 和ω，方向如图6.22a 所示。

圆盘半径为R ，质量为M ，它与地面
的摩擦系数为μ。

于是圆盘上与地面接触点的速度大小是ωR v u +=。

第一阶段，0>u 。

圆盘相对地面有向前（x 的正方向）的滑动则摩擦力N f μ=，指向负x 方向，式中N=Mg 。

由质心运动定理Mg dt
dv M μ-=；解得gt v v μ-=0；*t t =时，盘心速度0v v =，以后圆盘将继续向前无滑动地滚动下去。

显然0*<v 的情况对应于圆盘可以自己滚回来的条件，由于导出必有R v /200>ω；在这种情况下（图（b ））,在时刻()*''t t t t <=，v 等于零，圆盘开始往回滚。

因此它所走的最远距离是g v μ2/2
0。

在*'t t t <<时间间隔内，它连滚带滑地往回滚，*t t =以后就是无滑动地往回滚。

（如果初条件给得很特殊，即R v /200=ω，则将出现怎样的运动情况？） 由对质心的动量矩定理：MgR dt
d MR μω-=221；解得 ()R t g /20μωω-= 这说明由于摩擦力的作用，圆盘的质心速度的大小*越来越小，转动角速度也越来越小。

第二阶段，从条件
0=u 被满足的那个
时刻开始，从此以后
圆盘相对地面没有滑
动，所以不再有摩擦
力，又因为圆盘在水
平方向没有其他外力
作用，所以圆盘将以
等角速度无滑动地滚
动下去。

将()t v 曲线
和()t R ω曲线同画在
一张图上（它们的正方向一正一反），是两条斜直线（图 6.23）。

两斜直线的竖直距离等于ωR v +，既u 。

两斜线在C 点相交的时刻*t 就是0=u 刚开始被满足的瞬时。

由0=u ，解得()()g R v t μω3/*00+=；此时质心的速度大小为**0gt v v μ-=。

可能有两种情况：
0*>v （图6.23（a ）
）或0*<v （图6.23（b ））。

当0*>v 并且*t t <时，圆盘与地面间有相对滑动，直到*t t =时，盘心速度*v v =，以后圆盘将继续向前无滑动地滚动下去。

显然0*<v 的情况对应于圆盘可以自己滚回来的条件，由此导出必有：()R v /200>ω，在（图
6.23（b ））情况下，在时刻t t '=()*t t <'，v 等于零，圆盘开始往回滚。

因此它所走的最
远距离是g v μ2/20。

在*t t t <<'时间间隔内，它连滚带滑地往回滚，*t t =以后就是无滑
动地往回滚。

4、如图所示由相同材料和相同截面尺寸的等直杆组成的桁架，当重物从H 的高度下落到D 点时，动力放大系数（最大冲击载荷与对应静荷载之比）为10。

若将桁架各杆的截面面积提高50%，而保持结构其余几何参数，重物下落的高度和位置不变，则：
（1）本问题与力学中什么内容有关？
（2）动力放大系数变为多少？
（3）在安全因数相同的条件下，重物的许用重量提高多少？（忽略桁架质量及冲击过程的能量损失，并设结构为线弹性）
答： （1） 本问题与力学中动荷载和动应力内容有关。

（2）设动力放大系数为K ，则：st
H K ∆++=211 (1) 其中st ∆为D 点静位移，将K=10代入上式得：802=∆st
H (2) 桁架为线弹性结构，静位移与杆截面面积A 成反比：A S st /=δ (3)
其中S 与截面积无关。

设横截面积增加后的桁架D 点的静位移为*st ∆，动力放大系数为*K ，许用载荷为[]*P ，则：3
2/5.1/*=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆A S A S st st ； 故： 1202,232:2**=∆=∆∆st st st H H H ；1212011*=++=K
（3）桁架最大动应力与动荷载d P 成正比，与杆横截面积成反比：A KP C A P C d d ⋅==,max ,σ 其中d P 和P 分别为动载和对应静载，C 与d P 和A 无关。

当新旧桁架许用最大动应力相等
时安全因数相同： [][][][][][][]%25*45*5.1**=-==P P P P P A
P K C A P K C
5、物块C 的重量为G ，置于悬臂梁AB 上，梁长L ，弯曲刚度EI ，物块与梁间的摩擦系数为μ，则
（1）本问题与力学中什么内容有关？
（2）物块开始滑动时的位置；
（3）物块滑离B 端时的速度。

（摘自力学小问题P150）
答：
（1）本问题与力学中摩擦、运动学、能量守恒、弯曲变形
内容有关。

（2）设物块开始滑动时的位置为s ，如图所示，则AD 段的曲线方程为：()x s EI
Gx y --=362 ()s x ≤≤0 则可知转角()122
EI Gs y D D -='=θ；由静力平衡条件，求得
摩擦力D G F θ
μc o s =，物块开始滑动的条件为：F G D ≥θs i n ，由上面两式解得：μθθ≥≈D D tna ，
将（1）式代入上式，即可得到物块开始滑动时的位置：
2/12⎪⎭⎫ ⎝⎛≥G EI s μ
（3）物块由D 处滑至B 处，在此阶段的始、末两处的度分别为：EI
GL f EI Gs f B D 3;322
-=-= 设物块滑离B 端时的速度为v ，W 为摩擦力在此滑动过程中所作的功，由能量守恒定律可
得：)2(32332
W EI Gs GL G g Gv -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；假设物块很小，其转动动能可以不计。

由于
Fds dW =，
()dx y ds 2/121'+=；()2/12
1cos -'+==y ds dx θ，故Gdx dW μ=，
积分可得：()()3s L G W -=μ
将（3）式代入（2）式，解得：()()2
/12232⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=μs Ls L EI G s L g v。