2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题07 圆中证明及存在性问题含答案

专题07 圆中证明及存在性问题
【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知⊙A 的半径为4，EC 是圆的直径，点B 是⊙A 的切线CB 上一个动点，连接AB 交⊙A 于点D ，弦EF ∥AB ，连接DF ，AF .
（1）求证：△ABC ≌△ABF ；
（2）当∠CAB =
时，四边形ADFE 为菱形； （3）当AB =
时，四边形ACBF 为正方形.
【分析】（1）由EF ∥AB ，得∠EF A =∠F AB ，∠CAB =∠AEF ，又∠AEF =∠AFE ，得：∠BAC =∠BAF ，又AB =AB ，AC =AF ，证得△ABC ≌△ABF ；（2）连接FC ，根据ADFE 为菱形，确定出∠CAB 的度数；（3）由四边形ACBF 是正方形，得AB
AC
.
【解析】解：（1）∵EF ∥AB ，
∴∠EF A =∠F AB ，∠CAB =∠AEF ，
∵AE =AF ，
∴∠AEF =∠AFE ，
∴∠BAC =∠BAF ，
B E
又AB =AB ，AC =AF ，
∴△ABC ≌△ABF （SAS ）；
（2）如图，连接FC ，
∵四边形ADFE 是菱形，
∴AE =EF =FD =AD ，
∵CE =2AE ，∠CFE =90°，
∴∠ECF =30°，∠CEF =60°，
∵EF ∥AB ，
∴∠AEF =∠CAB =60°，
故答案为：60°；
（3）由四边形ACBF 是正方形，得AB
AC
【变式1-1】（2019·开封二模）如图，在△ABD 中，AB ＝AD ，AB 是⊙O 的直径，DA 、DB 分别交⊙O 于点E 、C ，连接EC ，OE ，OC ．
（1）当∠BAD 是锐角时，求证：△OBC ≌△OEC ；
（2）填空：
①若AB ＝2，则△AOE 的最大面积为 ；
②当DA 与⊙O 相切时，若AB
，则AC 的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）12
；1. 【解析】解：（1）连接AC ，
B E
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
∵AD＝AB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝EC，
又∵OB=OE，OC=OC，
∴△OBC≌△OEC（SSS），（2）①∵AB＝2，
∴OA＝1，
设△AOE的边OA上的高为x，
∴S△AOE＝1
2
OA×h
＝1
2 h，
要使S△AOE最大，需h最大，点E在⊙O上，h最大是半径，即：h最大＝1
∴S△AOE最大为：1
2
；
②如图所示，
当DA与⊙O相切时，则∠DAB＝90°，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝45°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
AB=1.
∴AC＝BC＝
2
【例2】（2019·济源一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA 的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）①当∠C= °时，四边形AODF为矩形；
②当tanC= 时，AC=3AE．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，点D在⊙O上，
∴DF是⊙O的切线；
（2）45°，理由如下：
由四边形AODF为矩形，得∠BOD=90°，∴∠B=45°，
∴∠C=∠B=45°，
故答案为：45°；
（3
）
2
，理由如下，
连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE2=AB2－AE2 =8AE2，
即BE
=，
在Rt△BEC中，tanC
=BE
CE
==.
.
【变式2-1】（2019·安阳一模）如图，在△ABC中，AB=AC=4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC
于点E，点P是AB的延长线上一点，且∠PDB=1
2
∠A，连接DE，OE．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）填空：①当∠P的度数为______时，四边形OBDE是菱形；
②当∠BAC=45°时，△CDE的面积为_________．
【答案】（1）见解析；（2）30
；2.
【解析】解：（1）连接OD，
∵OB=OD, ∠PDB=1
2
∠A，
∴∠ODB=∠ABD=90°－1
2
∠A=90°－∠PDB，
∴∠ODB+∠PDB=90°，
∴∠ODP=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线.
（2）①30°，理由如下：
∠P=30°，则∠BOD=60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠ADP=30°，∠A=60°，
∴△AOE是等边三角形，即∠AOE=60°，∴∠EOD=60°，
∴△ODE是等边三角形，
∴OB=BD=DE=OE，
即四边形OBDE是菱形；
②连接BE，AD，如上图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∠AEB=90°，∵AB=AC，
∴D为BC中点，
∴S△DCE=1
2
S△BCE，
∵∠BAC=45°，
∴AE=BE，△ABE是等腰直角三角形，∵AB=AC=4，
∴AE=BE=CE=4-
∴S△DCE=1
2
S△BCE，
=1
2
×
1
2
BE·CE
=1
2
×
1
2
×（4-
=2.
【例3】（2019·洛阳三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：AC2=AD·AB．
（2）点E是∠ACB所对的弧上的一个动点（不包括A，B两点），连接EC交直径AB于点F，∠DAP=64°．
①当∠ECB= °时，△PCF为等腰三角形；
②当∠ECB= °时，四边形ACBE为矩形．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接OC，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，∵OA=OC，
∴∠ACO =∠CAO，∴∠CAD=∠CAO，∵AB为直径，
∴∠ACB=∠D=90°，∴△ACD∽△ABC，
∴AD AC AC AB
,
即：AC2=AD·AB．
（2）①45；②58，理由如下：
①∵∠DAP=64°，
∴∠P=26°，∠CAB=∠DAC=32°，
∵∠CFP是△ACF的外角，
∴∠CFP>32°，即∠CFP≠∠P，
由∠PCB=∠CAB=32°，知∠FCP>∠PCB≠∠P，
由△PCD为等腰三角形，得PC=PF,
∴∠CFP=77°，
∴∠ACF=45°，∠ECB=90°－∠ACF=45°，
故答案为：45；
②由ACBE是矩形，得F与O重合，
∴∠ECB=90°－∠ACO=90°－32°=58°，
故答案为：58.
【变式3-1】（2019·洛阳二模）如图，△ABC内接于△O，过点B的切线BE△AC，点P是优弧AC上一动点（不与A，C重合），连接P A，PB，PC，PB交AC于D．
（1）求证：PB平分△APC；
（2）当PD=3，PB=4 时，求AB的长．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连接OB，
则OB△BE，
△BE△AC，
△OB△AC，
△弧AB=弧BC，
△△APB=△BPC，
△PB平分△APC；
（2）由（1）知，△APB=△BPC，△△BAC=△BPC，
△△BAC=△APB，
△△ABD=△PBA，
△△ABD△△PBA，
△AB BD PB AB
=,
即
1 4
AB
AB
=
△AB=2，即AB的长为2.
1.（2018·河师大附中模拟）如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，以AC为直径的△O与AB交于点D，过D作△O的切线交CB于E.
（1）求证：EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）证明：连接OD，
△AC为直径，△ACB=90°，
△BC为△O的切线，
△DE是△O的切线，
△DE=CE，△ODE=90°，
△△ODA+△EDB=90°，
△OA=OD，
△△OAD=△ODA，
△△OAD+△B=90°，
△△B=△EDB，
△DE=BE，
△EB=EC；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
△四边形ODEC是正方形，
△△DEB=90°，
由（1）知CE=BE，
△△BED是等腰直角三角形，
△B=45°，
△△A=45°，
即AC=BC，
又△△ACB=90°，
△△ABC是等腰直角三角形.
2.（2019·焦作二模）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）填空：①当∠CAB=时，四边形AOED是平行四边形；②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为.
【答案】（1）见解析；（2）45；正方形.
【解析】（1）连接OD，BD，
∵AB为直径，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=CE，
∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DE，
即DE是⊙O的切线.
（2）①若四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，
∴∠A=∠CDE，
∵∠CDE=∠C，
∴∠A=∠C，
∵∠ABC=90°，
∴∠A=45°；
②由∠A=45°，得∠ADO=45°，即∠DOB=90°，
∵∠EBO=∠ODE=90°，
∴四边形OBED是矩形，
∵四边形AOED是平行四边形，
∴∠EOB=∠A=45°，
∴∠EOB=∠OEB=45°，
∴OB=BE，
∴四边形OBED是正方形.
3.（2019·周口二模）如图，在Rt△ABC中，△B=90°，AB=6，CD平分△ACB交AB于点D，点O在AC 上，以CO为半径的圆经过点D，AE切△O于E．
（1）求证：AD=AE．
（2）填空：
△当△ACB=_______时，四边形ADOE是正方形；
△当BC=__________时，四边形ADCE是菱形．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连接OE，
△CD平分△ACB，
△△OCD=△BCD，
△OC=OD，
△△OCD=△ODC，
△△ODC=△BCD，
△OD△BC，
△△B=90°，
△△ADO=90°，
△AD是圆O的切线，
△AE是圆O的切线，
△AD=AE.
（2）△45；，理由如下：
△△ADOE是正方形，
△OD=AD，
△△OAD=45°，
△△ACB=45°；
△四边形ADCE为菱形，
△AD=CD，△CAD=△ACD，
△△BCD=△ACD，
△△CDB=60°，△BCD=30°，
△CD=2BD，
△AB=6，
△BD=2，BC
故答案为：45；
4.（2018·信阳一模）如图，AB是△O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD△OA交弦AB于点E，交△O
于点F，且CE=CB
（1）求证：BC是△O的切线；
（2）连接AF，BF，求△ABF的度数．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连结OB，
△CE=CB，
△△CBE=△CEB，
△CD△OA，
△△DAE+△AED=90°，
△△CEB=△AED，
△△DAE+△CBE=90°，
△OA=OB，
△△OAB=△OBA，
△△OBA+△CBE=90°，即△OBC=90°，
△BC是△O的切线；
（2）解：连结OF，OF交AB于H，（见上图）△DF△OA，AD=OD，
△F A=FO，
△OF=OA，
△△OAF为等边三角形，
△△AOF=60°，
△△ABF=1
2
△AOF=30°．
5.（2019·南阳毕业测试）如图，在△ACE中，AC＝CE，△O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且弧BC=弧DF，连接AB，BC，CD．
求证：△CDE△△ABC．
【答案】见解析.
【解析】证明：连接DF，
△AC＝CE，
△△CAE＝△E，
△四边形ACFD内接于△O，
△△CAE+△CFD=180°，
△△CFD+△DFE=180°，
△△CAE＝△DFE，
△△DFE＝△E，
△DF＝DE，
△弧BC=弧DF，
△BC＝DF，
△BC＝DE，
△四边形ABCD内接于△O，
同理可得：△B＝△CDE，
在△CDE和△ABC中，
△AC=CE，△ABC=△CDE，BC=DE，
△△CDE△△ABC．
6.（2019·濮阳二模）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC△AB，点M是OP中点．
（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
△当△BOP＝时，四边形AOCP是菱形；
△连接BP，当△ABP＝时，PC是△O的切线．
【答案】（1）见解析；（2）120；45．
【解析】（1）证明：△PC△AB，
△△PCM＝△OAM，△CPM＝△AOM．
△点M是OP的中点，
△OM＝PM，
△△CPM△△AOM，
△PC＝OA．
△OA＝OB，
△PC＝OB．
△PC△AB，
△四边形OBCP是平行四边形．
（2）解：△△四边形AOCP是菱形，
△OA＝P A，
△OA＝OP，
△OA＝OP＝P A，
△△AOP是等边三角形，
△△A＝△AOP＝60°，
△△BOP＝120°；
△△PC是△O的切线，
△OP△PC，△OPC＝90°，
△PC△AB，
△△BOP＝90°，
△OP＝OB，
△△ABP＝△OPB＝45°.
7.（2019·南阳模拟）如图，AB为△O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作△O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC△DE；
（2）连接AD、CD、OC．填空
△当△OAC的度数为时，四边形AOCD为菱形；△当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为．
【答案】（1）见解析；（2）30；．
【解析】（1）证明：△F为弦AC的中点，
△AF＝CF，OF过圆心O
△FO△AC，
即△OF A=90°，
△DE是△O切线，
△OD△DE
即△EDO=90°，
△DE△AC.
（2）△当△OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：
连接CD，AD，OC，
△△OAC＝30°，OF△AC
△△AOF＝60°
△AO＝DO，△AOF＝60°
△△ADO是等边三角形
△AF△DO
△DF＝FO，AF＝CF，
△四边形AOCD是平行四边形
△AO＝CO
△四边形AOCD是菱形.
△连接CD，
△AC△DE, OA=AE=2，
△OD＝2OF，DE＝2AF
△AC＝2AF
△DE＝AC，且DE△AC
△四边形ACDE是平行四边形
△OA＝AE＝OD＝2
△OF＝DF＝1，OE＝4
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE＝
△S四边形ACDE＝DE×DF
＝
＝
答案为：
8.（2019·商丘二模）如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，△C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作△O，△O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是△O的切线．
（2）若AB E是半圆AGF上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
△当弧AE的长度是时，四边形ABDE是菱形；
△当弧AE的长度是时，△ADE是直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）2
3
π
；
3
π
或π．
【解析】（1）证明：连接OD，
在Rt△ABC中，△BAC＝90°，△C＝30°，
△AB＝1
2 BC，
△D是斜边BC的中点，
△BD＝1
2 BC，
△AB＝BD，
△△BAD＝△BDA，
△OA＝OD，
△△OAD＝△ODA，
△△ODB＝△BAO＝90°，
即OD△BC，
△BD是△O的切线．
（2）△若四边形ABDE是菱形，连接OE，
则AB△DE，
△△BAC =90°，
△DE △AC ，
得：AD ＝BD ＝AB ＝CD ＝12
BC ， △△ABD 是等边三角形，OD ＝1，
△△ADB ＝60°，
△△CDE ＝60°，
△△ADE ＝180°﹣△ADB ﹣△CDE ＝60°，
△△AOE ＝2△ADE ＝120°，
△弧AE 的长度为：
1201180π⨯=23π； 故答案为：23
π； △△AD 为弦（不是直径），
△△AED ≠90°，
（i ）若△ADE ＝90°，则点E 与点F 重合，弧AE 的长度为：1801180
π⨯＝π； （ii ）若△DAE ＝90°，则DE 是直径，则△AOE ＝2△ADO ＝60°，
弧AE 的长度为：601180
π⨯=13π； 故答案为：13
π或π． 9.（2019·开封二模）如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径，作△A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作AB 的平行线交△A 于点F ，连接AF ，BF ，DF ．
（1）求证：△ABC △△ABF ；
（2）填空：
△当△CAB ＝ °时，四边形ADFE 为菱形；
△在△的条件下，BC ＝ cm 时，四边形ADFE 的面积是2．
【答案】（1）见解析；（2）△60；△6．
【解析】（1）证明：△EF △AB ，
△△E＝△CAB，△EF A＝△F AB，
△AE=AF，
△△E＝△EF A，
△△F AB＝△CAB，
又△AF=CA，AB=AB，
△△ABC△△ABF；
（2）△当△CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形．
由△CAB＝60°，得△F AD＝△EAF＝60°，
△EF＝AD＝AE=DF，
△四边形ADFE是菱形．
△△四边形AEFD是菱形，△AEF＝△CAB＝60°，
2
AE=
△AE＝
△AC=
△BC=6.
10.（2019·名校模考）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，以直角边BC为直径作△O，交AB于点D，E 为AC的中点，连接DE.
（1）求证：DE为△O的切线；
（2）已知BC＝4．填空：
△当DE＝时，四边形DOCE为正方形；
△当DE＝时，△BOD为等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）2；2 .
【解析】（1）证明：连接CD，OE，
△BC为△O的直径，
△△BDC＝90°，
△DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，
△DE=CE=AE，
△OD＝CC，OE＝OE，
△△COE△△DOE，
△△OCE＝△ODE＝90°，
即DE为△O的切线；
（2）解：△若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE，
△BC＝4，
△DE＝2．
△若△BOD为等边三角形，则△BOD＝60°，
△△COD＝180°﹣△BOD＝120°，△DOE＝60°，
△DE．
故答案为：2，．
11.（2019·枫杨外国语三模）如图，△O是△ABC的外接圆，AB为直径，△BAC的平分线交△O于点D，过点D作DE△AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F．
（1）求证：EF是△O的切线．
（2）△当△BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；
△若△O的半径为5，AC=3CE，则BC的长为．
【答案】（1）见解析；（2）60；8.
【解析】（1）连接OD，
△OA＝OD，
△△OAD＝△ODA，
△AD平分△EAF，
△△DAE＝△DAO，
△△DAE＝△ADO，
△OD△AE，
△AE△EF，
△OD△EF，
△EF是△O的切线；
（2）连接CD，
△当△BAC=60°时，四边形ACDO为菱形；△△BAC＝60°，
△△AOD＝120°，
△OA＝OD，
△△OAD＝△ODA＝30°，△CAD＝30°，
△OD△AE，
△△OAD＝△ADC＝30°，△CAO＝△ADC＝30°，△AC＝CD，
△AD＝AD，
△△ACD△△AOD，
△AC＝AO，
△AC＝AO＝CD＝OD，
△四边形ACDO为菱形；
②设OD与BC交于G，
△AB为直径，
△△ACB＝90°，
△DE△AC，可得四边形CEDG是矩形，△DG＝CE，
△AC＝3CE，
△OG＝1
2
AC＝1.5CE，OD＝2.5CE＝5，
△CE＝2，AC＝6，
△AB＝10，
由勾股定理得：BC＝8．。