高中积分微分知识点及习题及答案

积分和微分

积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种

1、不定积分

设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分. 记作∫f(x)dx.其中∫叫做积分号, f(x)叫做被积函数, x叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.

也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.

2、定积分

众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.

实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若

F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.

而相对于不定积分,就是定积分.

所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面).之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.

定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的

两个端点a、b.

我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?

定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.

正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.

3、微积分

积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数.其中：[F(x) + C]' = f(x)。一个函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.

几何意义：

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|

要小得多(高阶无穷小),因此在点M 附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段. 多元微分：同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义.

运算法则：dy=f'(x)dx d(u+v)=du+dv d(u-v)=du-dv d(uv)=du·v+dv·u

d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

1、定积分

（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；

（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)

如果()()F x f x '=，且()f x 在],[b a 上可积，则

()()()()b b a a f x dx F x F b F a ==-⎰

， 【其中()F x 叫做()f x 的一个原函数，因为()()()()F x C F x f x ''+==】

3、常用定积分公式 ⑴0dx c ⎰=（c 为常数） ⑵1dx x c ⎰=+ ⑶1

(1)1x x dx c αα

αα+⎰=+≠-+ ⑷1ln dx x c x

⎰=+ ⑸x x e dx e c ⎰=+ ⑹(0,1)ln x

x

a a dx c a a a ⎰=+>≠ ⑺sin cos xdx x c ⎰=-+ ⑻cos sin xdx x c ⎰=+

⑼1sin cos (0)axdx ax c a a ⎰=-+≠ ⑽1cos sin (0)axdx ax c a a

⎰=+≠ 4、定积分的性质 ⑴⎰⎰=b

a

b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ⑵⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ⑶()()()b

c b

a

a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中)a c

b <<; ⑷利用函数的奇偶性求定积分:若()f x 是[,]a a -上的奇函数,则0dx )x (f a

a =⎰-;若()f x 是[,]a a -上的偶函数,则⎰⎰=-a

0a a dx )x (f 2dx )x (f . 5、定积分的几何意义

定积分()b

a f x dx ⎰表示在区间[,]a

b 上的曲线()y f x =与直线x a =、x b =以及x 轴所

围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和。

6、求曲边梯形面积的方法与步骤

⑴画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；

⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

⑶写出定积分表达式；