“0”与“1”的妙用

2013-05课堂内外
内容、学生的实际情况，设计出能最大限度地激发学生学习兴趣、调动学生积极性的环节。

要着重看好教学对象，
特别“看学生”，层层落实到人。

设计要符合本班学生的知识水平，之前的设计若不符合，必须反复修改，直至完善为止。

因为课前准备是高效课堂能否实现的关键，也是调动学生学习兴趣、提高课堂效率的重要因素。

三、高效课堂需要灵活运用各种教学方法高效课堂需要活跃课堂气氛，这就需要教师采取灵活多样的教学方法，充分调动学生的学习兴趣。

采取灵活多样的教学手段，可以发现、培养创新人才。

教师是学生创造潜能的开发者，作为课堂的组织者、参与者、合作者，要重视课堂民主平等氛围的营造，引导学生自主学习、合作学习、探究学习；引导学生积极参与、独立思考、自由表达、愉快合作。

让学生在心理上处于兴奋和抑制的最佳状态，让学生充满求知的愉悦感。

充分调动学生的良好情绪，最大限度地激发学生的主体意识和主体精神。

课堂要使每个学生都进入角色，都动起来。

课堂节奏要随着学生的学习节奏变化而变化。

课堂要面向全体学生，做到不偏不向，
“有教无类”。

四、高效课堂结构、知识结构需重新构造高效课堂需要科学的方法指导。

著名教育家陶行知先生指出：“我认为好的先生不是教书，而是教学生，乃是教学生学习。

”打造高效课堂的今天，教师不仅要改进教学方法，也要改革传统的教学
模式：教师讲、学生被动地听，不易打动学生，导致教学的实效性差。

而今的教学应特别重视学生之间的互动学习、自主学习，而这些学习方法均离不开教师的指导。

课堂要坚持以学生为主，而不是
以教师为主；以练为主，而不是以讲为主；
以学生的自主学习为主，而不是以教师的说教为主。

强调学生的自主学习过程，
是培养学生独立完成学习任务能力、提高整体学习效果的过程。

在这个过程中，教师始终是教学的主导者、参与者。

教师要以启发点拨为主，通过不同的形式使学生完全动起来，并积极参与到学习之中，让这种
主动的学习成为一种习惯。

（作者单位甘肃省山丹县霍城中心小学）“0”与“1”是我们在日常生活中最常见的两个数字，很是一般，但在数学运算中，若能恰当地应用，就能起到事半功倍的效果。

例如，求条件代数式的值，是中学数学中一种常见的题型，一般从已知式中不能确定代数式中字母的值，或虽确定，但计算繁冗，这时若让“0”或“1”出场，问题就会迅速求解；又如，在学习三角函数这一部分内容的时候，我们经常会发现把“1”用一些三角函数代换，问题就会迎刃而解.下面我就自己在教学中，利用“0”与“1”进行解题的体会结合具体实例，与大家共同探讨.一、将“0”值代数式或已知式构成一个“0”值代数式，再将所求式分离出含有“0”值的代数式，然后代入求值例1.已知x 2+3x -1=0，求x 5+3x 4-3x 3-6x 2+2x +8的值.解：∵x 2+3x -1=0，∴x 5+3x 4-3x 3-6x 2+2x +8=x 3（x 2+3x -1）-2x （x 2+3x -1）+8=8.例2.已知x =10√-1，求x 3+2x 2-9x -5的值.解：由已知得x +1=10√，两边平方，整理得x 2+2x -9=0，∴x 3+2x 2-9x -5=x （x 2+2x -9）-5=-5例3.已知二次函数y=x 2-2011x +2013图象与x 轴的交点是（a ，0）、（b ，0），求（a 2-2012a +2013）（b 2-2012b +2013）的值.解：由题意得a 2-2011a +2013=0，b 2-2011b +2013=0.且当y =0时，由根与系数的关系，得ab =2013.∴（a 2-2012a +2013）（b 2-2012b +2013）=［（a 2-2011a +2013）-a ］［（b 2-2011b +2013）-b ］=（-a ）（-b ）=ab =2013.二、将题目中的“1”用适当的代数式表示或构造一个值为“1”的代数式来解决问题例4.若n 满足（2009-n ）2+（n -2008）2=1，求（2009-n ）（n -2008）的值.解：∵（2009-n ）+（n -2008）=1，∴［（2009-n ）+（n -2008）］2=1，（2009-n ）2+2（2009-n ）（n -2008）+（n -2008）2=1.由已知条件（2009-n ）2+（n -2008）2=1，得2（2009-n ）（n -2008)=0.即（2009-n ）（n -2008）=0.例5.求cos π7cos 2π7cos 4π7的值.解：∵sin π7sin π7=1，∴cos π7cos 2π7cos 4π7=sin π7cos π7cos 2π7cos 4π7sin π7=12sin 2π7cos 2π7cos 4π7sin π7=14sin 4π7cos 4π7sin π7=18sin 8π7sin π7=-sin π78sin π7=-18.三、把某一式子看作分母为“1”的式子，再将1=sin 2θ+cos 2θ代入，根据题目要解决的要求进行运算例6.已知tan θ=2，求sin 2θ-sin θcos θ+2的值.解：sin 2θ-sin θcos θ+2=sin 2θ-sin θcos θ+21=sin 2θ-sin θcos θ+2（sin 2θ+cos 2θ）sin 2θ+cos 2θ=3sin 2θ-sin θcos θ+2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=3tan 2θ-tan θ+2tan 2θ+1=3×4-2+24+1125.四、利用1=tan45°同时借助正切公式tan （α+β）=tan α+tan β1-tan αtan β解决问题例7.求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan45°）的值.解：∵1=tan45°，∴1+tan45°=2.再令θ+φ=45°，则1=tan45°=tan （θ+φ）=tan θ+tan φ1-tan θtan φ，∴tan θ+tan φ+tan θtan φ=1，则（1+tan θ）（1+tan φ）=2，于是（1+tan1°）（1+tan44°）=（1+tan2°）（1+tan43°）=…=（1+tan22°）（1+tan23°）=2.∴原式=222·2=223.总之，以上各例都有多种解法，但利用“0”或“1”代换较为简捷.（作者单位甘肃省渭源职业中等专业学校）“0”与“1”的妙用
文/寇海燕
摘要：“0”与“1”是日常生活中最常见的两个数字，但在数学运算中，若能恰当地应用，就能起到事半功倍的效果.关键词：“0”；“1”；妙用
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