北师大版数学九年级上2第二单元《一元二次方程》全章导学案附单元测试卷(含答案)

北师大版数学九年级上第二单元《一元二次方程》导学案
附单元测试卷
2.1 认识一元二次方程
第1课时一元二次方程
学习目标：
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
【预习案】
二、自学探究：
理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。

自学教材，回答：
（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为为m.
根据题意，可得方程
（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：
；
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：
（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：
【探究案】
探究点1：一元二次方程的概念
1．一元二次方程的一般形式是（）
（1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠0 就成了一元一次方程了)
（2）方程中a x2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称各是什么？
（3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0．
探究点2：一元二次方程解决生活中的应用
根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。

【训练案】
1．在下列方程中，一元二次方程有_____________．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5
x
=0
2. 方程2x2=3（x-6）化为一般式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别是（）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，
常数项为_________．
5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项：
⑴ 3x2+1=6x ⑵4x2+5x=81 ⑶ x(x+5)=0
⑷ (2x-2)(x-1)=0 ⑸x(x+5)=5x-10 ⑹ (3x-2)(x+1)=x(2x-1)
第2课时一元二次方程的解及其估算
学习目标
1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
2.经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

重点：探索一元二次方程的解或近似解；
难点：培养学生的估算意识和能力．
【预习案】
学生活动：请同学独立完成下列问题．
问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？
10
8
设梯子底端距墙为xm，那么，
根据题意，可得方程为___________．
整理，得_________．
列表：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为_______m．
根据题意，得________．
整理，得________．
列表：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
【探究案】
探究点1：探究一元二次方程的解.
提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？
（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解．为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
探究点2：用“夹逼法”解生活中的一元二次方程.
例2．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为（x-5）cm
列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
X 10 11 12 13 14 15 16 17 …
x2-5x-150
（3）你知道铁片的长x是多少吗？
分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．
解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．
x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．
（2）
x 10 11 12 13 14 15 16 17 ……
x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 ……
（3）铁片长x=15cm
【训练案】
一、选择题
1．方程x（x-1）=2的两根为（）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
2．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则a c
b b
=（）．
A．1 B．-1 C．0 D．2
二、填空题
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
3．方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
三、综合提高题
1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（
21 x
x
-
）
2-2x
21
x
x
-
+1=0，令
21
x
x
-
=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小
明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．
4．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
x 1] 2 3 4
x2-3x-1 -3 -3
所以，________<x<__________
第二步：
x 3.1 3.2 3.3 3.4
x2-3x-1 -0.96 -0.36
所以，________<x<__________
（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．
答案:
一、1．D 2．A
二、1．9，-9 2．-13 3．-1，1-2
三、1．由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=9．
2．a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入得
ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0，
∴-1必是该方程的一根．
3．设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，
即当x2-1=0，x1=1，x2=-1；
当y2=-1时，x2-1=-1，x2=0，
∴x3=x4=0，
∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根．
4．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3
2.2 用配方法求解一元二次方程
第1课时用配方法求解简单的一元二次方程学习目标：
1．会用开平方法解形如(x十m)2＝n(n≥0)的方程．
2．理解一元二次方程的解法——配方法．
重点：利用配方法解一元二次方程
难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n≥0)的形式．
【预习案】
1用直接开平方法解方程
2x2 - 8 =0 (x+6)2 – 9 = 0
2完全平方公式是什么？
3填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+ = (x+6)2
（2）x 2
―12x+
= (x ― )2
（3）x 2
+8x+ = (x+ )
2
（4）x 2
+
4
3x+ = （x+ ）2
（5）x 2+px+ = （x+ ）
2
观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？
【探究案】
探究点1：用配方法一元二次方程来解一元二次方程. 问题：下列方程能否用直接开平方法解？ x 2
+8x ―9=0 x 2
一l0x 十25＝7；
是否先把它变成(x+m)2
=n （n ≥0）的形式再用直接开平方法求解？
在这里，解一元二次方程的基本思路是将方程转化成 的形式，它的一边是
另一边是 ，当 时两边 便可以求出它的根。

这种通过配成 进一步求得一元二次方程根的方法称为配方法．．．
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？ 解：设场地宽为x 米，则长为（x+6）米，根据题意得:（ ） 整理得( ) 怎样解方程x 2
+6x －16 = 0自学P36页
例1: 用配方法解下列方程 x 2
- 8x+1=0
探究2：用配方法解一元二次方程步骤 总结用配方法解方程的一般步骤．
(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数． (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．
(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)
(4)方程变形为(x+m)2
=n 的形式．
(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．
【训练案】
1配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x 2+12x+ =(x+6)2
（2）x 2―12x+ =(x ― )2
（3）x 2+8x+ =(x+ )2
2．将二次三项式x 2
-4x+1配方后得（ ）．
A ．（x-2）2+3
B ．（x-2）2-3
C ．（x+2）2+3
D ．（x+2）2
-3
3．已知x 2
-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A ．x 2-8x+（-4）2=31
B ．x 2-8x+（-4）2
=1
C ．x 2+8x+42=1
D ．x 2
-4x+4=-11
5．如果mx 2
+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或9 6．下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A ．x 2
+1=0 B ．（2x+1）2
=0 C ．（2x+1）2
+3=0 D ．（12
x-a ）2
=a 7．方程x 2+4x-5=0的解是________．
8．代数式222
1
x x x ---的值为0，则x 的值为________．
9．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为___
10已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2
-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
11．如果x 2
-4x+y 2
+6y+2z ++13=0，求（xy ）z
的值．
12．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
1．已知：x 2
+4x+y 2
-6y+13=0，求
22
2x y
x y
-+的值． 2．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．
第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程
学习目标：
1、知识与技能：能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程。

2、能力培养：进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。

3、情感与态度：培养观察能力，运用所学旧知识解决新问题。

重点：掌握配方法解一元二次方程。

难点：把一元二次方程转换为（x+m ）2
=n(n ≥0)
【预习案】
熟练掌握解一元二次方程的两种方法。

1、解下列方程：
（1）（2-x ）2
=3 （2）（x-2）2
=64 （3）2（x+1）2
=
2
9
2、用配方法解方程：
（1）x 2-6x-40=0 （2）x 2-6x+7=0 （3）x 2
+4x+3=0
（4）x 2
-8x+9=0 （5）x 2
-3
7
x=2
【探究案】
探究点1：如何用配方法解较复杂的一元二次方程 例1.用配方法解下列方程：
⑴x (2x -5)=4x -10 ⑵x 2+5x +7=3x +11
探究点2：用配方法解生活中一元二次方程
例2.绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？
解:设绿地的宽是x 米，则长是（x ＋10）米，根据题意得:
x （x +10）＝900．
整理得
210900x x +=，
配方得
2(5)925x +=．
解得
125537,5537x x =-+=--．
由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是5537-+米，于是绿地的长是
5537+米．
当堂训练： 解下列方程：
1、2x 2+5x-3=0
2、3x 2
-4x-7=0
3、5x 2-6x+1=0
4、x 2
+6x=1
【训练案】
1、（1）x 2
-4x+ =（x- ）2
；（2）x 2
-3
4x+ =（x- ）2
2、方程x 2-12x=9964经配方后得（x- ）2
=
3、方程（x+m ）2
=n 的根是
4、当x=-1满足方程x 2-2（a+1）2
x-9=0 时，a=
5、已知：方程（m+1）x2m+1+（m-3）x-1=0，试问：
（1）m取何值时，方程是关于x 的一元二次方程，求出此时方程的解；
（2）m 取何值时，方程是关于x 的一元一次方程?
6、方程y2-4=2y配方，得（）
A.(y+2)2=6
B. (y-1)2=5
C. (y-1)2=3
D. (y+1)2=-3.
7、已知m2-13m+12=0,则m的取值为（）
A.1
B.12
C.-1和-12
D.1和12
1、关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2-3a-4=0的一个根为0，则a的值为（）
A、-1
B、4
C、-1或 4
D、1
2、不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）
A、总不小于2 B 、总不小于7 C、可为任何实数 D、可能为负数
2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时用公式法求解一元二次方程
学习目标：
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式法的推导
【预习案】
学前准备
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
【探究案】
探究点1：如何用公式法来解一元二次方程.
1 如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求
出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
我们来讨论一般形式的一元二次方程
ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)
因为a ≠0，方程两边都除以a ，得
x 2＋ x ＋ ＝0
移项，得 x 2＋ x ＝－
a c 配方，得 x 2＋2·x ·a
b 2＋( )2＝( )2－a
c 即 (x ＋ ) 2＝2244a
ac b - ∵a ≠0，∴4 a 2＞0，当b 2
－4 ac ≥0时，直接开平方，得 x ＋ ＝±a
ac b 242- ∴ x ＝-a b 2±a
ac b 242-, 即 x ＝a
ac b b 242-±-. 由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的求根公式： 即x=242b b ac a
-±- 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
探究点2：公式法中根与判别式之间的关系.
一元二次方程根的情况与一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？有什么关系？通过 解下列方程你有什么发现？
（1） x 2+x-1=0 （2）x 2-2x+3=0 （3）2x 2
-2x+1=0
小结
（1）当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.
（2）当b 2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
（3）当b 2－4ac<0时，方程没有实数根.
把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式
注：（1）当b 2－4ac ≥0时，方程的根的情况如何叙述？
（2）上述的叙述：反过来也成立.
例1.不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x 2+3x －4 = 0； （2）1.6y 2+0.9 = 2.4y ； （3）5（x 2+1）－7x = 0.
例2:解下列方程
(1) 2 x 2＋x －6＝0 (2)4x 2＋4x ＋10＝1－8x
.
【训练案】
1用适当的方法解下列方程：
(1) 4x 2－3x －1＝x －2 (2) 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1)
2一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
3当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
4关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
5方程x 2—5x —1=0( )
A ．有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D 。

无法确定
6当a 取什么值时, 关于的方程2
410ax x +-=有两个相等的实数根? 当a 取什么值时, 关于的方程2410ax x +-=有两个不相等的实数根? 当a 取什么值时, 关于的方程2410ax x +-=没有实数根?
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
学习目标：
1、在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，提高自己的数学应用能力。

3、感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯。

【预习案】
知识准备
解方程2
708250x x -+=，并叙述解一元二次方程的解法。

【探究案】
探究点：利用一元二次方程解决面积问题
小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

（1）如果要求长方体的底面面积为81cm 2，那么剪去的小正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
问题： 1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？
（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）
2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？
（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2
倍）
3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。

解：设剪去的正方形边长为xcm ，依题意得：
2(10)81x -=，109x -=±，11x =，29x =，
因为正方形硬纸板的边长为10cm ，所以剪去的正方形边长为1cm 。

4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。

（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm ⨯=）
5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

例1.如图，ABC ∆的边8BC cm =，高6
AM cm =，长方形DEFG 的一边EF 落在BC 上，顶点D 、G 分别落在AB 和AC 上，如果这长方形面积212cm ，试求这长方形的边长。

【训练案】
1.如图，宽为50cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为( )
A ．400cm 2
B ．500cm 2
C ．600cm 2
D ．4000cm 2
2. 在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )
A ．x 2+130x -1400=0
B ．x 2+65x -350=0
C ．x 2-130x -1400=0
D ．x 2-65x -350=0
M G F E D C
B A
3.如图，面积为30m 2的正方形的四个角是面积为2m 2的小正方形，用计算器求得a 的长为（保留3个有效数字）( )
A ．2.70m
B ．2.66m
C ．2.65m
D ．2.60m
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
5、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
6、学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃
. 8800c x
x
x
x 50cm
a
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
学习目标：
1.了解因式分解法的解题步骤；
2.能用因式分解法解一元二次方程。

重点：应用因式分解法解一元二次方程
难点：：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
【预习案】
1、（1）将一个多项式（特别是二次三项式）因式分解，有哪几种分解方法？
（2）将下列多项式因式分解
① 3x2－4x② 4x2－9y2 ③x2－6xy＋9y2
④ (2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4
【探究案】
探究点1：适合用因式分解法解一元二次方程的特点
（1）上面两个方程中常数项为0
（2）等式左边的各项有共同因式都可以因式分解:
象这样的方程又有一种方法解一元二次方程
探究点2：用因式分解法解一元二次方程
上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以
x1=0，x2=-1
2
．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1．解方程
（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 (3)x(x-2)+x—2=0
自我测试
1．用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0
（4）x2-12x+35=0 (5)（2x－1）2－x2= 0 (6) x＋3－x（x＋3）= 0
2．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=2
5
，x2=
3
5
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．
A．-1
2
B．-1 C．
1
2
D．1
4．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______． 2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
【训练案】
1解方程：⑴3x（x－1）= 2（x－1）（x＋1）
⑵（3x－1）2－4x2= 0 （3）x2-3x-4=0 （4）x2-7x+6=0
（5）x2+4x-5=0
2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．
3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
4已知9a2-4b2=0，求代数式
22
a b a b
b a ab
+
--的值．
2.5一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1、在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。

重点：一元二次方程根与系数的关系及简单应用
难点：探索一元二次方程根与系数的关系
【预习案】
利用一元二次方程的相关知识然后完成列任务。

1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42
-=∆
（1）当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当0=∆时，方程有两个相等的实数根。

（3）当0<∆时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

阅读课本49至50页例题以上内容，请你归纳出一元二次方程根与系的关系，然后完成下列任务。

2、先判断下列方程根的情况然后解出下列有解方程的两根，再完成：
①求出每个方程的两根和、两根积；
②求出各方程中一次项系数与二次项系数的商的相反数和常数项与二次项系数的商。

（1）x 2 -2x+1=0 （2）x 2 -23x-1=0 （3）2x 2-3x+1=0 3、写出一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)的求根公式，并计算出两根和、两积。

想一想，一元二次方程根与系数有怎样的关系？
4、通过2、3两题的结果，不解方程，利用根与系数的关系求出下列方程的两根和、两根积。

（1）x 2+3x+1=0； （2）3x 2－2x －1=0； （3）2x 2+5x=0。

【探究案】
1、提问：一元二次方程根的判别式是什么？
三、自主探究 合作释疑
【自主学习一】：在预习的基础上，再次阅读课本49页，然后独立完成下列问题（6分钟）： 1、写出下列每个方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

（1）x 2 -2x+1=0 （2）x 2 -23x-1=0 （3）2x 2
-3x+1=0 2、求出方程（1）x 2 -2x+1=0 （2）x 2 -23x-1=0 （3）2x 2-3x+1=0的两根和、两根积。

3、求出每个方程一次项系数与二次项系数的商的相反数和常数项与二次项系数的商；并比较第2小题的结果，你发现了什么？
合作探究：P49页，小组共同证明一元二次方程根与系数的关系。

结论：一元二次方程根与系数的关系：
如果方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根（当2
40b ac -≥）时根为：x 1 ，x 2 ，则
x 1 +x 2 = a b - x 1 x 2 =a
c 用文字叙述为：如果一元二次方程有两个实数根，则两根之和等于一次项系数与二
次项系数的商的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的商。

例题学习、方法总结 请同学们独立学习课本50页例题。

然后回答下列问题：
1、利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的前提条件是什么？
2、利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的确步骤是什么？
方法总结：（1）利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的前提条件是方程必
须要有实数根。

（△=b 2-4ac ≥0）
（2）利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的确步骤是：①先将
方程化为一般式；②判断根的情况；③在方程有解的前提下再求两根和、两根积。

运用所学知识，完成下列问题：
1.如果x 1、x 2是一元二次方程02x 6x 2=--的两个实数根，则x 1+x 2=_________.
2.不解方程，求下列方程的两根x 1、x 2的和与积。

（1）05x 3x 2=-- （2）05x 52x 2=-+
（B 层题）：3、课本50页随堂练习2
4、课本50页随堂练习3
（A 层题）5、已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是2-，则这个方程是（ ）
（A ）x 2+3x-2=0 （B ）x 2+3x+2=0（C ）0232=--x x （D ）0232
=+-x x
【自主学习二】：请同学们通过你自已学到的方程知识完成下面的例题，并思考回答后面的
问题。

例：已知方程062=-+ax x 的一个根是2，求方程的另一个根及a 的值。

问题：1、解答此题你用到了哪些知识？
2、解此类题的基本思路是什么？
归纳反思：基本思路是：
①首先将已知根代入方程求出未知系数；
②其次是将已求的未知系数的值代入方程，再根据根与系数的关系求出
另一根。

合作探究 ：请同学们以小组为单位，不解方程，利用根与系的关系完成例2，并思考回答
后面的问题。

例2： 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，则求出下列代数式的值。

①111
2x x + ②x21+x22
问题：求解关于一元二次方程两根代数式的值的基本思路是什么？
归纳反思：基本思路是：
①先将代数式通过恒等变形转化成两根和、两根积形式；
②准确写出a 与b 的值；
③根据根与系数的关系，求出变形后代数式的值。

【训练案】
运用所学知识，完成下列问题：
1、已知方程022=--c x x 的一个根是12+，求方程的另一个根及c 的值。

2、若关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A 、1
B 、﹣1
C 、2
D 、 ﹣2
3. 1x 、2x 是方程05322
=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2222133x x x -+ （2）2221x x ++21x x （3）（x 1+2）（x 2+2）
（4）1
221x x x x + 4、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则a = . b =
5、x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
（1）(x 1+1)(x 2+1)； （2）x 12x 2+x 1x 22；
2.6 应用一元二次方程
第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程
学习目标:
1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。

2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。