南宁市2018~2019学年度秋季学期期末义务教育质量监测中学九年级数学学科质量分析

南宁市2018~2019学年度秋季学期期末义务教育质量监测
九年级数学科质量分析报告
第一部分考试目的
基础教育质量监测目的在于了解基础教育阶段学生的学习和身心健康的状况，掌握影响学生发展的相关因素，准确报告基础教育质量的现状，为教育决策提供科学依据；对引导教师、学校和家长、社会树立正确的教育质量观，促进学生综合素质的提升和身心的健康发展具有重要意义。

通过本次南宁市义务教育质量监测了解南宁全体初中学生现阶段对于相应学习内容的知识与技能、数学思想方法、基本数学经验的掌握情况。

由于九年级将面临中考，所在九年级的考查内容和难度则向同城中考的模式倾斜以便于学校通过本次质量监测，检验学校备考工作情况。

第二部分命题思路及依据
（一）命题思路：按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，结合南宁市的教学实际，着重考查九年级上册学生应该掌握的数学基础知识和基本技能，基本数学思想方法和基本数学活动经验，重视对数学学科核心素养的考查，特别是运算能力和推理能力；关注考查学生的数感、符号意识、几何直观、空间观念、数据分析观念和模型思想，以及对数学语言的阅读理解及表达能力；能够结合社会生活实际背景和相关学科中的数学问题理解和应用，适当设置一些讨论性、开放性、探索性的问题，考查学生的应用意识和创新意识。

（二）命题依据：试题以《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）和《2018年广西北部湾经济区四市同城初中毕业升学考试数学学科说明》以及现行教材为依据，本着三个有利于原则命题：有利于促进学生的全面发展；有利于推进学科教学改革，全面提高学科教育教学质量；有利于建立科学教学评估体系。

第三部分试题主要特点及内容结构分析
（一）试卷内容结构
本试卷参照2018年广西北部湾中考试卷的题量和结构，满分为120分，由卷Ⅰ和卷Ⅱ组成。

卷Ⅰ为选择题，赋分36分。

卷Ⅱ为非选择题，赋分为84分，其中填空题占18分，解答题占66分。

考查内容为九年级上册，共五章，没有涉及九年级下册内容。

其中，第二十一章一元二次方程占20分，第二十二章二次函数占27分，第二十三章旋转占27分，第二十四章圆占25分，第二十五章概率初步占17分。

另外实数运算占6分。

试题难度比例：整卷难度系数为0.56±0.03。

容易题（p≥0.70）、中等题（0.35＜p＜0.70）、较难题（p≤0.35），三类试题分值之比约为6:3:1。

（二）试题主要特点
1、重视基础知识，关注数学核心内容的考查
试卷突出考查最核心的内容，体现了义务教育阶段数学课程的基础性和普及性特点，即所有学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中必须掌握的核心概念、思想方法、基础知识和常用技能，重点内容重点考。

如第1-10、13-16、19、20、21、22、23题都是比较常规的问题类型，难度不大，对于核心内容的考查确比较到位。

对于第12、18、25、26题这样的问题虽然有一定的灵活性和区分度，但依然以基本方法，基本能力的考查为主，适当的体现一些开放性、探索性的问题。

2、试题源于教材，高于教材，正确发挥考试的导向作用
教科书是教师教学和学生学习的重要依据，教科书中的例题、习题为编拟试题提供了丰富的题源。

本试卷很多题目源于教材，或直接选用或稍做变形，从中挖掘和组合并升华出来的，让学生看到教材中题目的影子，有似曾相识的感觉。

如第1、2、3、4、5、6、7、8、13、14、15、16、20、21、22、24等均可以教材中找到原型，是学生比较熟悉的问题或背景，体现教科书的导向功能，体现教育的基础性和公平性，让老师和学生都觉得不能脱离教科书。

3、重视情境创设，关注数学与学生生活经验的联系。

《课程标准》特别强调数学背景的“现实性”和“数学化”，用数学眼光认识世界，并能用数学知识和数学方法处理解决周围的实际问题。

学习数学的最终目的就是应用。

命制一些贴近生活，贴近实际，有着实际背景的数学应用性试题，有利于考查学生是否学会阅读、审题、获取信息，解决问题，将实际问题抽象成数学模型，并进行解释和应用。

本试卷如第8、22、24题，能够将生活中的一些问题有机地融入，突出数学与现实生活的关系。

4、试题在数学思想方面的体现
数学思想方法是数学学习的灵魂所在。

试题在数学思想方法方面的考查是比较明显和突出的。

如：第11题化归思想，第12题函数与数形结合的思想，第25题方程思想，第26题分类讨论思想等。

第四部分学生完成总体概况
一、数据情况
（一）全市、市区、县区一分两率情况表
区域数学实考人数数学平均分数学及格率数学优秀率数学标准差数学难度系数
全市8542950.0026.92 4.1527.770.42
市区4296052.5430.87 6.3728.920.44
县区4246947.4222.92 1.8926.300.40（二）市区考生一分两率情况表
所属县区数学实考人数数学平均分数学及格率数学优秀率数学标准差数学难度系数市区4296052.5430.87 6.3728.920.44
市直属899558.7238.057.9227.670.49
市民办346779.6268.7633.3126.560.66
西乡塘区864552.6630.21 5.0127.790.44
邕宁区440743.8520.42 2.1827.120.37
江南区386045.4921.30 1.4826.400.38
良庆区371043.0124.50 2.2929.520.36
青秀区340548.0224.96 3.5227.910.40
兴宁区288445.3617.680.9724.340.38
经开区245549.8525.17 1.6725.670.42
高新区113246.3520.670.9725.760.39（三）县区考生一分两率情况表
所属县区数学实考人数数学平均分数学及格率数学优秀率数学标准差数学难度系数县区4246947.4222.92 1.8926.300.40
横县1133346.4218.630.5123.960.39
宾阳县1013646.8225.21 2.7628.440.39
武鸣区555058.0938.49 4.1125.160.48
马山县534640.8811.470.1923.060.34
隆安县466341.1416.060.8625.910.34
上林县430745.6818.320.3724.590.38
东盟区113473.9769.0515.1725.260.62（四）各大学区一分两率情况表
所属学区数学实考人
数
数学平均
分
数学及格
率
数学优秀
率
数学标准
差
数学难度系
数
三美初中大学区346779.6268.7633.3126.560.66天桃大学区107970.7656.9012.4223.470.59
十四中初中大学区270060.1540.5910.6328.560.50
二中初中大学区283458.4537.167.8027.450.49
三中初中大学区238251.9627.71 2.9426.590.43（五）分数段人数
区域大于110100-10990-9980-8970-7960-6950-5940-4930-3920-2910-190-9全市427176443978552968095168530848786779459100635877市区40214072823467948954661412338674010451348462734县区253571574387347854855440746204667494652173143
区域全市比例市区比例县区比例
大于110分4270.50%4020.94%250.06%
100-109分1764 2.06%1407 3.28%3570.84%
90-99分4397 5.15%2823 6.57%1574 3.71%
80-89分855210.01%467910.89%38739.12%
70-79分968011.33%489511.39%478511.27%
60-69分951611.14%466110.85%485511.43%
50-59分85309.98%41239.60%440710.38%
40-49分84879.93%38679.00%462010.88%
30-39分867710.16%40109.33%466710.99%
20-29分945911.07%451310.51%494611.65%
10-19分1006311.78%484611.28%521712.28%
0-9分5877 6.88%2734 6.36%31437.40%
总人数854294296042469
所属县区大于110100-10990-9980-8970-7960-6950-5940-4930-3920-2910-190-9市区40214072823467948954661412338674010451348462734市民办2835866445623822682071631371089136市直属57390778114812691150944758696738725342西乡塘区392265491005988956875827889942899450青秀区1367153328357390322316319410462268良庆区440186380370287235257301468676506邕宁区341159382403431412424456560704432江南区227137324421403372406459477497335高新区11449812413710510714515214474经开区019101242308309304246237288277124
所属县区大于110100-10990-9980-8970-7960-6950-59
40-4930-3920-2910-190-9县区253571574387347854855440746204667494652173143宾阳县6140488102111341000859911975107915111012东盟区118823330116397484532484721横县2222488681229133213411463148015041251593
隆安县01889286449507431503450547827556马山县0331206478656663619711734733512上林县0562309523560505496488510506343武鸣区
6
81
423
882
809
703
560
583
531
524
342
106
第五部分试题详解及分析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符
合要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）1．下列图形是中心对称图形的是
【答案】B
【评析】本题主要考查中心对称图形的识别，难度小。

但学生比较容易出现旋转120º，而视为旋转
180º的情况，这就要求学生对定义要明确。

当然，在教学过程是的观察发现是不可少的。

2．关于x 的一元二次方程01232=+-x x 的二次项系数是
A ．–2
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【评析】本题主要考查一元二次方程的基本概念，只要求对一元二次方程的认识，对本系统内的知
识点的考查要求不高。

本题以为学生送分为主。

3．“掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数不大于6”这
一事件是A ．不可能事件B ．不确定事件
C ．必然事件
D ．随机事件
【答案】C
兴宁区01072210273330347363371370371167
B .
A .
D .
C ．
【评析】本题主要考查概率与统计问题中的“事件”的基本概念，分为必然事件，随机事件，不可
能事件。

对这几个事件不要求学生记忆其文字概念，但要能够从社会生活的实际例子中能够分辨出属于哪一类事件。

4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =50°，则∠BOC 的度数为
A ．100°
B ．65°
C ．50°
D ．25°
【答案】A
【评析】本题考查同圆中圆周角与圆心角的关系，结果比较直接，对学生没有难
度的要求。

难度应比较小。

5．抛物线239y x =-与y 轴的交点坐标是
A ．(9，0)
B ．(-9，0)
C ．(0，-9)
D ．(0，9)
【答案】C
【评析】本题考查二次函数图象的基本性质，其中二次函数的图象与y 轴的交点坐标，这可以从二
次函数的解析式2y ax bx c =++中的常数项直接观察出来。

当然学生还会被本题的其他干扰选项中影响，有可能出现不必要的错误。

如：横、纵坐标的表达，常数项的符号等等。

6．如图，在△ABC 中，∠CAB =70°，在同一平面内，将△ABC 绕点
A 逆时针旋转到△A
B ′
C ′的位置，使得C ′C //AB ，则∠C ′AC 等于A ．20°B ．30°C ．40°
D ．50°
【答案】C
【评析】本题考查的知识点包含图形的旋转、平行线的性质、等腰三角形的
性质，三角形内角和的性质，学生要从图形的旋转性质中发现旋转前后的不变性，利用平行线的性质，结合等腰三角形及三角形内角和的性质才可以得到结果，由于融合的知识点比较多，对于这个位置的试题而言，难度要求比较高。

7．若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +--=有实数根，则m 的取值范围是
A ．m ≤2
B ．m ≥-2
C ．m ≤2且m ≠－1
D ．m ≥-2且m ≠－1
【答案】D
【评析】本题考查一元二次方程的基本概念与判别式的运用。

其中利用判别式判断方程根的情况是
本学期内容的一个重要知识点，本题则是在一元二次方程存在的情况下对方程是否有实数根进行的判断问题。

运算的难度比较适当，整个题的难度也比较合适。

8．某公园有一个喷水池，从地面向上喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度h （单位：m ）与水
流时间t （单位：s ）之间的解析式为h ＝30t －5t 2，那么水流从喷出至落到地面所需要的时间是A ．8s B ．6s C ．4s D ．2s
【答案】A
第6题图
第4题图
【评析】本题为二次函数应用类问题，主要是以二次函数的图象为模型，通过作图及解析式的解读
就可以计算出一元二次方程30t －5t 2＝0的两个根的距离。

就可以算出结果。

但本题没有给出图形，这就要求学生要能够自主的画出函数的草图，对学生的二次函数的作图有一定的要求。

9．如图，在4×4的正方形网格中，任选一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色
部分的图形构成一个轴对称图形的概率是A ．
13
5B ．4
1C ．16
3D ．
8
1【答案】A
【评析】本题考查轴对称图形的概念及等可能事件概率的公式。

这需要学生在观察凑出轴对称图形
的过程比较容易出现漏的情况。

10．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，
要完成这一圆环共需要正五边形的个数为A ．7B ．8C ．9D ．10
【答案】D
【评析】本题考查正多边形与圆的关系，也是正多边形的对称性，主要考查学
生的观察推导能力，只要把其中一个正五边形分成两部分，然后再补全就可以了。

11．如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =4，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边
上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则线段PQ 长度的最小值为A ．5B ．7
C ．3
2D ．2
3【答案】B
【评析】本题考查三角形的高，勾股定理，表面上知识点不难，但是本题有一个运动变化的过程，
学生不容易判断点P 在什么位置时线段PQ 长度可以取最小值，这就要用到勾股定理22OQ OP PQ -=，OQ 固定，OP 最小则PQ 最小。

从难度而言，本题没有问题，但是第
12题也是动点问题，考查的背景重复。

12．如图，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A →C →B
运动，到达B 点即停止运动，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设运动时间为x （单位：s ），△ADP 的面积为y （单位：cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是
第11题图
第10题图
第9题图
第12题图A．B．C．D．
【答案】A
【评析】本题考查二次函数的建模，利用时间变量表示出△ADP的面积为y，本题的主要难度在于2x之后的部分比较难表示，但学生只要用逆向思维的方式就可以知识，后部分也是一个二次函数，因为一个常数减去一个二次式结果还是一个二次式，就可以选择，从而可以减少运算。

对于这部分试题还是提倡小题小做。

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．平面直角坐标系中，点(1，–4)关于原点O的对称点的坐标是▲．
【答案】（﹣1，4）
【评析】本题考查平面直角坐标系中，中心对称点的坐标关系，即横、纵坐标的相反数。

本题属于学生必须掌握的知识点，难度较小。

14．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O上，若OP=d，则d▲5（填“＞”或“=”或“＜”）．【答案】=
【评析】本题考查点和圆的位置关系，即点到圆心的距离与半径之间的关系。

为圆这部分内容的基础知识，难度较小。

15.如果x m
m-2的值为▲．=是关于x的一元二次方程x2–x–6=0的一个解，那么m
【答案】6
【评析】本题表面上是考查一元二次方程的解，而实际上是考查整体代入的思想。

16．不透明袋子中有9个红球，3个白球和若干个绿球，这些球除颜色外无其他差别，每次摇匀后随机取出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现取到绿球的频率稳定在
0.2，则袋中约有绿球▲个．
【答案】3
【评析】本题考查概率中的典型问题，抽球问题：有放回的抽取问题。

但问题是从反面设问，增加了一定的难度。

17．已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，圆心O到弦CD的距
离为3，则图中阴影部分的面积为▲．
【答案】
3
2π【评析】本题考查扇形面积的计算，以及垂径定理，但要学生利用同底等高把三角形ACD 进行转换，
转换为三角形OCD，难度应不大。

18．如图，分别过点P i （i ，0）（i ＝1，2，…，n ）作x 轴的垂线，交
22
1x y =
的图象于点A i ，交直线1
2y x =-于点B i ，则
2019
201922111
11B A B A B A +++ ＝▲．
【答案】
2019
1010
【评析】本题为找规律类的问题，但由于用到数列求和中的裂项求和法，这是高中的一个知识点，
学生不容易做出来，也不容易从中找到规律。

难度比较大，对本学段的学生要求有点过高，如果有学生能够完成也是自学高中的知识而解决，并不是从能力上进行考查。

这类问题在初中不提倡出现。

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分6分）计算：1
01|22|8(3)3π-⎛⎫
-+-+- ⎪⎝⎭
．
【答案】解：原式=122322+-+············································································4分
=4
··································································································6分
【评析】本题属于简单的实数加减运算考查，其中涉及的知识点有：去绝对值、负指数次幂、平方
根运算和0次幂，每个知识点相对单一独立，所以题目本身的难度较低，学生完成的情况也较其他题目好，少部分学生存在的主要问题有以下几种：
(1)负指数次幂概念不清，觉得此概念抽象难以理解；(2)无法化简或化错；(3)非0的0次幂等于0
【建议】教学时要把概念讲清楚，讲明白，为了人人掌握（特别是基础薄弱的学生），有必要在一
段时间内天天练习
20．（本题满分6分）解方程：2510x x --=．
【答案】解法一：29)1(14)5(2=-⨯⨯--=△··································································2分
∴529
2
x ±=
································································································4分第18题图
∴125295292
2
x x +-==，················································································6分
解法二：152
=-x x ······························································································1分
429252
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x ······························································································3分∴2
2925±=-
x ····························································································4分
∴12529529
22
x x +-=
=，（写成125295292222x x =+=-，也给分）···················6分
【评析】本题考查一元二次方程的解法问题，由于方程的系数的要求，所以在解方程时，只能用求
根公式进行求解，或者是配方法，主要考查学生对利用求根公式求一元二次方程的解的方法掌握是否熟练。

当然，如果方程中的一次项系数为偶数时，配方法也比较快速。

而配方法也是学生需要掌握的方法。

【主要问题】学生对配方法的关键“二次项系数为1时，两边同时加上一次项系数一半的平方”掌
握不牢，通常忘了平方；公式法的运用过程中，对求根公式掌握不牢体现在b 2-4ac 忘记开方。

21．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三
个顶点坐标为A （1，﹣4），B （3，﹣3），C （1，﹣1）．（1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；
（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的
△A 2B 2C ；
（3）请求出在（2）中点B 经过的路径长（结果保留π）．【答案】（1）如图，△A 1B 1C 1为所求·······················3分
（2）如图，△A 2B 2C 为所求······························6分
（3）∵222222=+=CB ·····························7分
∴点B 运动的路径长为ππ2180
2
290=⋅⋅=
l ········8分
（1）利用坐标系中轴对称前后坐标的变化，找出对应点的
位置，然后顺次连接，即可得到原图关于x 轴对称的图形；（2）利用旋转的知识，先找出A,B 两点旋转后的位置，然后顺次连接，即可得到原图绕着点C 顺时针旋转90°的图
第21题图
形；
（3）先根据旋转的知识，画出点B 运动路径，即弧BB 2，再根据已知的三点坐标，确定网格线中每个小正方形的边长，然后运用勾股定理求出半径，最后根据弧长公式求出弧长。

【评析】本题为网格作图题，难度比较小，但要求学生要十分的认真，而且学生对于作图之后要文
字说明。

虽然不需要写出作图过程，但要有结果的说明。

也就是下结论。

【出现的问题】
（1）看错对称轴，把y 轴作为了对称轴；
（2）把画轴对称图形变成了平移图形；
（3）不认真审题，把顺时针旋转看成了逆时针旋转；
（4）不认真审题，把旋转中心点C 看成点O；
（5）不会旋转的画图方法；
（6）画图正确但不标字母，或标错字母；
（7）没有完整的写出运用勾股定理求出半径的过程；
（8）半径求解错误，弄不清楚所求路径所在圆的半径；
（9）记错弧长公式，如把180°记成360°，或者用2
r 替代r 计算；（10）弧长结果未化简，如计算结果有：2281802
;;22180πππ；【建议】（1）掌握好图形变换中如轴对称、中心对称、平移、旋转的变换本质，根据这些变换的
本质来画图。

（2）加强学生对图形变换后某个点、某条线段或某个图形运动所形成的路径或扫过的面
积的理解。

（3）强调学生要写出完整的答题过程。

22．（本题满分8分）经常喝饮品饮用，可能对身体健康有影响．某班级数学兴趣小组对本班同学
一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A ：自带白开水；B ：瓶装矿泉水；C ：碳酸饮料；D ：其它饮品．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这个班级有多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数；
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）
中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女
的概率．
【答案】解：（1）∵这个班级的总人数为：20÷40%＝50人，···················································
1分
∴C 类人数＝50﹣20﹣5﹣15＝10人，
补全条形统计图如下：·····································3分
（2）“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为：
10÷50×360°＝72°；································4分
（3）画树状图得：·······························6分
由树状图知，在5名同学中随机抽取2名同学的所有等可能结果有20种，恰好抽到一男一女（记为
事件M ）的结果有12种，····················································································7分所以P （M ）＝1220＝35
．·····················································································8分【评析】本题为常规的统计与概率题型，考点是：扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法.
考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到正确的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，而扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.对于(1)，由B 类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C 类型人数，即可补全条形图；对于(2)，用360°乘以样本中C 饮品人数占被调查人数的比例可得；对于(3)，且列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根据概率公式求解即可.
部分学生存在的问题有：
(1)相当一部分学生审错审题，求圆心角的度数求了百分率：1050100%20%
÷⨯=(2)近六分之一的学生没能合理安排书写空间，从而产生如图所示的树状图；
(3)画的树状图和所列的表格不规范，如图表格仅仅只是打勾，还有树状图没有写男1男2等，
仅仅写男女而已
(4)答案不规范，第7分的文字说明被省略，第8分只写数字123205=或35
(5)有近100份学生的答卷在书写第(1)问时是百分数=人数的，虽然最终的答案是对的，但过程是零乱的
【教学建议】
(1)三年的初中教学里均应重视审题方法的指导，比如如何圈关键字、词.教会学生审一句尽
量翻译一句，语句的符号化转变是学生的一大弱点，需要长期的指导与训练，才能使学生避免审错审漏题;
(2)教师规范的教学（比如规范的表达，规范的板书等）非常重要，不要随便，学生学习的过
程首先就有一个模仿的过程，教师随意学生也会随意，最终只会导致学生书写的不规范;
(3)本题的题型有比较固定的模式，建议老师自己必须先研究清楚再指导学生.
23．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转45°
得△A 1B 1C ，边A 1C 与AB 相交于点P ，A 1B 1与BC 相交于
点Q ．
（1）求证：CP =CQ ；
（2）已知AP =2，求CQ 的长.
【答案】（1）方法1：∵△ABC 逆时针旋转45°得△A 1B 1C ，
∵△A 1CB 1≌△ACB ，∴CA 1=CA ．·········································································∴∠B 1CB =∠A 1CA =45°，
∵∠ABC =90°
∴∠BCA 1=45°=∠A 1CA ．···················································································2分在△CQA 1和△CPA 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠A A CA CA PCA QCA 1
11，∴△CQA 1≌△CPA (ASA )，···················································································3分∴CP =CQ ；·······································································································4分方法2：∵△ABC 逆时针旋转45°得△A 1B 1C ，
∵△A 1CB 1≌△ACB ，
∴CB 1=CB ，∠B 1=∠B ，∠A 1CB 1=∠ABC =90°···························································1分∴∠B 1CB =∠A 1CA =45°，
∴∠BCA 1=∠A 1CB 1－∠B 1CB =∠45°=∠B 1CB ．·························································2分在△CB 1Q 和△CBP
中，第23题图
第23题图
∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BCP CQ B CB CB B B 1
11，
∴△CB 1Q ≌△CBP （ASA ），···············································································3分∴CQ =CP ；·······································································································4分
（2）过点P 作PD ⊥AC 于点D ，················································································5分
在Rt △APD 中，∠A =30°，∴122
121=⨯==AP D P ····················································································6分在Rt △CPD 中，∵∠PCD =45°，
∴∠PCD=45°=C ∠PD ,
∴CD =PD =1，······························································································7分∴22==PD CP ，∴2==CP CQ .·····························································································8分
【评析】本题在旋转三角形的背景下，考查旋转的性质，包括对应边相等，对应角相等，旋转角的
理解。

同时考查45°角和30°角两种直角三角形的三边的关系，利用它们之间的比例关系求解线段。

【学生出现的问题】
（1）学生做题习惯跳步，推理不严谨。

（2）在证明三角形全等过程中，全等的条件没列举完，只列其中的一个或两个，证明三角形。

（3）证明过程中找全等三角形没找对。

（4）几何表达不规范。

例如答案中有∠1、∠2，但在图形中没有标出∠1、∠2，角的表示方
法、正方形的表示方法、三角形的表示方法、全等三角形的表示方法表示不正确、不规范。

（5）在做辅助线时的字母和原图中的字母有重复，辅助线的描述不准确
（6）卷面不整洁，有涂改
（7）题目有两问，但学生在做题中不标题号
（8）做题方法正确，但计算能力欠缺，计算角度错误，有些学生看题不仔细，把角度抄错成
30°，导致计算错误。

（9）学生对旋转角的理解不透，找不到旋转角。

【教学建议】
（1）教师在平时的教学过程中，要加强基本技能、基本方法的教学，要让学生有充足的时间学习基本概念、基本教学、基本方法，打好基础才能形成技能。

（2）教师在平时教学过程中，在注重对学生一题多解的思维训练，但要教会学生在众多解法中选取最优解法进行解题，减少解题时间，进而提高做题的效率。

（3）要强化训练学生的答题规范性，要让学生学会在卷面上能与改卷老师清楚、条理的交
流，特别是对几何逻辑推理的条理表达要进行有针对性的训练。

教学中要注意训练学生几
何表达和几何推理的规范性。

24．（本题满分10分）某超市要销售一种新上市的文具，每件进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大，并求出最大利润；
（2）经过试营销后，为了销量更大，该超市决定在（1）中销售单价的基础上进行降价促销．根据市场调查，每件文具降价2a%，则日销售量多出4a%．若该超市的日销售额为5670元，
则a的值是多少？
【答案】解：（1）设该文具每天的销售利润为w元，销售单价为x元，由题意得w=(x－20)[250－10(x－25)]···················································································1分=－10x2+700x－10000··························································································2分=－10(x－35)2+2250
∵－10＜0，∴图像开口向下,w有最大值·································································3分当x=35时，w最大值为2250················································································4分∴当销售单价为35元时，该文具每天的利润最大为2250元.·······································5分方法2：设该文具每天的销售利润为w元，涨价x元，由题意得
w=(25－20+x)(250－10x)·······················································································1分=－10x2+200x+11250···························································································2分=－10(x－10)2+2250
∵－10＜0，∴图象开口向下,w有最大值·································································3分当x=10时，w最大值为2250················································································4分∴25+x=35（元）
答：当销售单价为35元时，该文具每天的利润最大为2250元.····································5分（2）当单价为35元时，销售量为250－10(x－25)=250－10×(35－25)=150(件)···················6分根据题意，得35（1－2a%）×150（1+4a%）=5670···················································7分方法1：设a%=t，整理得：4t2－t+0.04=0
解得：t1=0.2=20%，t2=0.05=5%·············································································9分∵为了销量更大，∴a=20···················································································10分方法2：整理得：4×（a%）2－a%+0.04=0。