《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)

XXX 学年期末考试试卷
《线性代数》期末考试题及详细答案（本科试卷二）
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）；
1. 若02
2
1
5
1
31
=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=32312221
1211
a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032
=--E A A ，则=-1
A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）；
1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）
3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s
a a a ，，， 21课程代码：
适用班级：
命题教师：
任课教师：
线性相关。

（ ）
4. ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=01
00
10000001
0010
A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1
-A 的特征值为λ。

( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，
共10分)；
1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T
A A （ ）。

① n
2；
② 1
2
-n ； ③ 1
2
+n ； ④ 4；
2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关；
② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示； ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示； ④ s ααα，，， 21中不含零向量；
3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关； ② 任意n 个1+n 维向量线性无关； ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关； ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关；
4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ； ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆； ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆； ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆；
5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是
0=X A 的（ ）；
① 解向量； ② 基础解系； ③ 通解； ④ A 的行向量；
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)；
1. 计算行列式x a b c d a x b c d
a b x c d a b c x d
++++。

2. 设B A AB 2+=，且A ,410011103⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛= 求B 。

3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=20
001200312
043
12C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。

4. 问a 取何值时，下列向量组线性相关？123112211
,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

5. λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++-=++2
23321
321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解，无解和有无穷多解？当方程
组有无穷多解时求其通解。

6. 设.77
103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求A 的特征值及对应的特征向量。

五、证明题 (7分)；
若A 是n 阶方阵，且，I AA =T
，1-=A 证明 0=+I A 。

其中I 为单位矩阵。

线性代数期末考试题答案
一、填空题； 1. 5
2. 1≠λ
3. n n s s ⨯⨯，
4. 相关
5. E A 3- 二、判断正误； 1. × 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×
三、单项选择题； 1. ③ 2. ③ 3. ③
4. ②
5. ①
四、计算题； 1.
3
)(0
0000
000
1)
(1
111
)(x d c b a x x
x x d c b
d c b a x d
x c
b d
c x b
d c b x d c b d c b a x d x c
b
d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c b
a
d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=
++++
2.
A
B E A =-)2(
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1
E A ，
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B
3.
()[]
()
[]
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=-⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=---12
1
0121001200011210
012100120001
12
3
4
012300120001
)(1000
21003210
43211
'1
''B C E X B C B C B C ，，
4.
)22()12(81
2
12
121212
1212321-+=-
---
--
=a a a
a a
a a a ，，当21-=a 或1=a 时，向量组321a a a ，，线性相关。

5.
① 当1≠λ且2-≠λ时，方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解。

③当1=λ时，有无穷多组解，通解为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 。

6.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------=0000110020102001131300
161600241031
21713010430241031217130731110094312
1)(4321a a a a ，，，
则 ()34321=a a a a r ，，，，其中321a a a ，，构成极大无关组，321422a a a a ++-=。

7.
0)1(1
2
1
001
3=-=----=-λλλλλA E
特征值1321===λλλ，对于λ1＝1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-020*******A E λ，特征向量为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001l k 五、证明题；
()()'
+-='+-='+='+=+A I A I A I A A A A I A
∴()02=+A I ， ∵()0=+A I 。