多元函数的微积分全篇

xy , x2 + y2 ≠ 0 . x2 + y2 f ( x, y) = 0 , x2 + y2 = 0 .
当点P(x， 沿 轴趋于点(0， 时函数的极限为零 时函数的极限为零， 当点 ，y)沿 x 轴、y 轴趋于点 ，0)时函数的极限为零， 当点P(x， 沿直线 沿直线y=k x 趋于点 ，0)时 趋于点(0， 时 当点 ，y)沿直线
0 < pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ
的一切点P(x， ∈ 的一切点 ，y)∈D ， 都有 |f (x，y)−A|<ε 成立， ， − 成立， 则称常数A为函数 ， 当 时的极限， 则称常数 为函数f (x，y)当x →x0，y →y0时的极限， 为函数 记为 这里ρ=|P P0|． ． 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
解
∂z = 3 x 2 y 2 − 3 y 3 − y, ∂x
∂ 2z = 6 xy 2 , ∂x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂z = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; ∂y
∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1; ∂y∂x
∂ 2z = 6 x 2 − 9 y 2 − 1, ∂x∂y
∂ 2z = 2 x 3 − 18 xy; ∂y 2
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3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数： 二阶偏导数： 设函数z=f(x，y)在区域 内具有偏导数 设函数 = ， 在区域D内具有偏导数 在区域
∂f ∂f = f x ( x , y ), = f y ( x , y ). ∂x ∂y 那么在D 都是x， 的函数． 那么在 内fx(x，y)、fy(x，y)都是 ，y 的函数．如果这两个函数 ， 、 ， 都是
xy kx 2 k lim 2 . = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1+ k y = kx → 0
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sin( xy ) 例1 求 lim . x →0 x y →2 解： lim sin( xy ) sin( xy ) = lim y x →0 x→0 x xy y→2 y→2
的偏导数也存在,则称它们是函数 =f(x，y)的二偏导数． 的二偏导数． 的偏导数也存在 则称它们是函数z= ， 的二偏导数 则称它们是函数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数
∂ ∂z ∂ 2 z = 2 = f xx ( x , y ), ∂x ∂ x ∂x
∂ ∂z ∂ 2 z = ∂y ∂y∂x = f yx ( x , y ), ∂x
x
M0
O x0
y0
y
3
由方程x 确定的函数z=f (x，y)是中心在原 由方程 2+y2+z2=a 2确定的函数 ， 是中心在原 点， 半径为a的球面 它的定义域为 ={(x，y)|x2+y2≤ a 2}． 的球面． 半径为 的球面． 它的定义域为D ， ． 由方程x 确定的函数z=f (x，y)有两个： 有两个： 由方程 2+y2+z2=a 2确定的函数 ， 有两个
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x → x0 y → y0
lim f ( x , y ) = A, 或f ( x , y ) → A( ρ → 0),
注意： 注意： 二重极限存在，是指P以任何方式趋于 以任何方式趋于P (1) 二重极限存在，是指 以任何方式趋于 0时， 函数都无限接近于A. 函数都无限接近于 如果当P以两种不同方式趋于 (2) 如果当 以两种不同方式趋于P0时，函数 趋于不同的值，则函数的极限不存在． 趋于不同的值，则函数的极限不存在． 例
∂ ∂z ∂ 2 z = f xy ( x , y ), = ∂y ∂ x ∂x∂y
∂ ∂z ∂ 2 z = 2 = f yy ( x , y ). ∂ y ∂y ∂y
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其中
∂ ∂z ∂ 2 z = ∂y ∂y∂x = f yx ( x , y ), ∂x ∂ ∂z ∂ 2 z = f xy ( x , y ) , = ∂y ∂x ∂x∂y
如果
x → x0 y → y0
lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )
则称函数f (x，y)在点 0(x0，y0)连续． 在点P 连续． 则称函数 ， 在点 连续 函数f ， 在区域 开区域或闭区域)D 内连续： 在区域(开区域或闭区域 函数 (x，y)在区域 开区域或闭区域 内连续： 是指函数f ， 在 内每一点连续 此时称f ， 是 内每一点连续． 是指函数 (x，y)在D内每一点连续．此时称 (x，y)是 D 内的连续函数． 内的连续函数． 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到 元函数 f(P)上去． 上去． 上去
∂z ∂y
x= x0 y= y0
,
∂f ∂y
x = x0 y = y0
,
zy
x = x0 y = y0
,
或f x ( x 0 , y0 ) 。
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偏导函数： 偏导函数：
如果函数z= ， 在区域 内每一点(x， 处对 在区域D内每一点 处对x 如果函数 =f(x，y)在区域 内每一点 ，y)处对 的偏导数都 存在， 那么这个偏导数就是 存在， 那么这个偏导数就是x 、y 的函数， 它就称为函数z= ， 它就称为函数 =f(x，y) 的函数， 对自变量的偏导函数， 对自变量的偏导函数，记作 ∂ z ∂f , , z x , 或f x ( x, y ). ∂x ∂ x
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例2 解：
1 函数f ( x, y ) = 2 在原点是否连续？ 2 x +y 是无穷大， 因为 f (0,0)是无穷大，
所以函数在原点不连续. 所以函数在原点不连续
x 2 + y 2 , ( x 2 + y 2 ≤ 1) 例４ 函数f ( x , y ) = 在单位圆 2 2 2 2 λ − x − y , ( x + y > 1)
sin( xy ) = lim ⋅ lim y x→0 x→0 xy y→2 y→2
= 2 lim
sin( xy ) =2 xy → 0 xy
.
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2.二元函数的连续性 2.二元函数的连续性
定义： 定义： 设函数f(x,y)在开区域 或闭区域 内有定义 0 (x 0 ,y 0 ) ∈ D ． 在开区域(或闭区域 内有定义,P 设函数 在开区域 或闭区域)D内有定义
（１）如果极限
f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) lim ∆x → 0 ∆x
存在， 存在，
则称此极限为函数z= ， 在点 在点(x 处对x 则称此极限为函数 =f (x，y)在点 0，y0)处对 的 处对 偏导数， 偏导数，记作
∂z ∂x
∂f x= x0 , ∂x y= y0
∂3z = 6 y2 . ∂x 3
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例5
设f ( x, y ) = g ( x) + h( y )，试证
∂2 f =0 ∂x∂y
解：
∂ 求导数， 对y求导数，因为 g（x） 0，故 = ∂y
∂f = h′( y ) ∂y
6.2 多元函数的微积分
主要内容： 主要内容： 一.多元函数的概念 二.二元函数的极限和连续 三.偏导数的概念及简单计算 四.全微分 五.空间曲线的切线与法平面 六.曲面的切平面与法线 七.多元函数的极值
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一.多元函数的概念
二元函数的定义： 二元函数的定义： 是平面上的一个点集． 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点 ，y)∈D， 是平面上的一个点集 如果对于每个点P(x， ∈ ， 按照一定法则总有确定的值和它对应， 变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是 变量 x、y的二元函数 或点P的函数 ，记为 的二元函数(或点 的函数)， 的二元函数 或点 的函数 z=f (x，y)(或z=f (P)) ， 或 其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量． 其中 称为定义域， ， 称为自变量， 称为因变量． 称为定义域 类似地可定义三元及三元以上函数． 类似地可定义三元及三元以上函数． 当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函 当自变量的个数多于一个时 函数称为多元函 数
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二元函数的图形： 二元函数的图形： 点集{(x， ， 点集 ，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)∈D}称为二元函数 ， ， ， ∈ 称为二元函数 z=f(x，y) 的图形． = ， 的图形．
z
二元函数的图形是一张曲面． 二元函数的图形是一张曲面． 例 z=a x+b y + c是一张平面， 是一张平面， 是一张平面
x = x0 y = y0
, zx
x = x0 y = y0
, 或f x ( x 0 , y0 ) 。
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（２）如果极限
f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) 存在， 存在， lim ∆y → 0 ∆y
则称此极限为函数z= ， 在点 在点(x 处对y 则称此极限为函数 =f(x，y)在点 0，y0)处对 的偏导数， 处对 的偏导数， 记作
z = a2 − x2 − y2 ,
y
z = a2 − x2 − y2 ,
z = − a2 − x2 − y2 .
O
x z = − a2 − x2 − y2 .
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二.二元函数的极限和连续
1.二元函数的极限 1.二元函数的极限
设函数f ， 在开区域 或闭区域)D内有定义 在开区域(或闭区域 内有定义， 定义 设函数 (x，y)在开区域 或闭区域 内有定义， P0(x0，y0)是D的内点或边界点．如果对于任意给定的 的内点或边界点． 是 的内点或边界点 正数ε 总存在正数δ ，使得对于适合不等式
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例3
解
(1， 处的偏导数． 求z=x2+3x y+y2在点(1，2)处的偏导数． = + 在点(1 2)处的偏导数
∂z = 2 x + 3 y, ∂x
∂z = 3 y + 2x . ∂y
∂z ∂x
x =1 y =2
= 2 ⋅1 + 3 ⋅ 2 = 8,
∂z ∂y
x =1 y =2
= 3 ⋅1 + 2 ⋅ 2 = 7 .
类似地， 可定义函数 =f(x，y)在点 0，y0)处对 的偏导 在点(x 处对y 类似地， 可定义函数z= ， 在点 处对 函数， 函数， 记为
∂z ∂f , , z y , 或f y ( x, y )。 ∂y ∂y
0 0
f 偏导数与偏导函数的关系： 偏导数与偏导函数的关系：x ( x0 , y0 ) = f x ( x, y ) | x = x , y = y . f y ( x 0 , y0 ) = f y ( x , y ) | x = x0 , y = y0 .
上各点是否连续？ x 2 + y 2 = 1上各点是否连续？ 解： 如果 λ = 2 函数在单位圆上任何点都连续 若 λ ≠ 2 在单位圆上任何点都不连续
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三. 偏导数的概念及简单计算
1. 偏导数的概念：
设函数z= ， 在点 在点(x 的某一邻域内有定义， 的某一邻域内有定义 定义 设函数 =f(x，y)在点 0，y0)的某一邻域内有定义， 当y 固定 处有增量∆ 在y0 而x 在x0 处有增量∆x 时，相应地函数有增量 f (x0+∆ ，y0)−f(x0，y0) ， +∆x， −
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2 .一阶偏导数的计算 .一阶偏导数的计算
注意： 注意：
∂z ∂f ∂z ∂f 1, , , , , 只是一种记号，不能把 它们 只是一种记号， ∂x ∂x ∂y ∂y
看成二者之商. 看成二者之商
∂z 2 ，求 时，只要暂时把 y看作常量对 x求导即可 ∂x
∂
3 ，求
∂z 时，只要暂时把 x看作常量而对 y求导即可 ∂y
称为混合偏导数． 称为混合偏导数． 混合偏导数 同样可得三阶、四阶以及 阶偏导数． 同样可得三阶、四阶以及n 阶偏导数． 高阶偏导数: 高阶偏导数: 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数． 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．
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例4
∂ 2z ∂ 3z 及 3 。 2 ∂y ∂x
∂2z ∂2z ∂2z 设z = x 3 y 2 − 3xy 3 − xy + 1，求 2 , , , ∂x ∂y∂x ∂x∂y