2018年5月泉州市高中毕业班第二次质量检查理科数学试题

2018年5月泉州市高中毕业班第二次质量检查理科数学试题
D
（A ）()()e
e
23f f >- （B ）()()2
3
e e
f f >-
（C ）(
0.5
log
3f >（9）如图，长为1，体积为
（A ）32π （C ）116π （D ）136
π （10）已知正三棱柱111
ABC A B C -的所有棱长都相等，,M N
分别为11
1
,B C BB 的中点.现有下列四个结论：
1p ：1
//AC MN ； 2p ：11
AC C N ⊥；
3
p ：1
B C ⊥平面AMN ；
4
p ：异面直线AB 与MN 所
成角的余弦值为
2
4
.
其中正确的结论是
（A ）1
2
,p p （B ）23,p p （C ）24
,p p
（D ）3
4
,p p
（11）已知椭圆
()22
22:10+=>>x y C a b a b
的左、右焦点分别为1
F ，
2
F ．2
F 也是抛物线2
:2(0)
E y
px p =>的焦点，点A 为C
与E 的一个交点，且直线1
AF 的倾斜角为45︒，则
C
的离心率为
（A 51- （B 21
（C ）35
（D 21
（12）函数
()2e ,1,1
43,1,x x f a x x a
x x x x ⎧>-⎪
=+⎨⎪++≤-+⎩
+则关于x 的方程()0f f x ⎡⎤=⎣⎦的
实数解最多有
（A ）4个 （B ）7个 （C ）10个 （D ）12个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）在复平面内复数i
1i
a z =+对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是 . （14）若,x y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-+≤⎩
则2z x y =-的最大值
为 .
（15）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张
纸牌上分别写有
112n ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（*
,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，
现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．
甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大． 假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 .
（16）已知数列{}n
a ，{}n
b ，{}n
c 满足
111
2,2,2,
n n n n n n n n n n n n a a b c b a b c c a b c +++=++⎧⎪
=++⎨⎪=++⎩且1
8
a
=，
14
b =，
10
c =，则数列{}n
na 的前
n
项和
为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
△ABC
的内角
,,A B C
的对边分别为
,,a b c
，且
2
cos b A c =-
．
（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若42c =72cos A =，求△ABC 的面积．
（18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AB BC ==，
4
AD PD ==，
60
BAD ∠=，
P
E
120
∠=，点E为PA的中点．
ADP
（Ⅰ）求证：//
BE平面PCD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求直线BE与平面
PAC所成角的正弦值．
（19）（本小题满分12分）
某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品
各10万件，现从各自生产的产品中分别随机
抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶
图如下所示：
A机器生B机器生产的产品
产的产品
2
3 4 5 5 0 2 2 4 5 6 6 7 8 9 6 6 8 9 9 8 7 6 3 2 1
9 8 6 4 2 2 1
1 0
8 8 8 7 6 5 5
4
该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到
[90,100)的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到
[80,90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60,80)
的产品，质量等级为合格．将这组数据的
频率视为整批产品的概率．
（Ⅰ）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，
记X 为来自B 机器生产的产品数量，写出X 的分布列，并求X 的数学期望； （Ⅱ）完成下列22 列联表，以产品等级是否达
到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好；
A生产的产
品B生产的
产品
合计
良好以上
（含良
好）
合格
合计
（III）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格
等级产品的利润为5元/件，A机器每生
产10万件的成本为20万元，B机器每
生产10万件的成本为30万元；该工厂
决定：按样本数据测算，两种机器分别
生产10万件产品，若收益之差达到5万
元以上，则淘汰收益低的机器，若收益
之差不超过5万元，则仍然保留原来的
两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？
附：1. 独立性检验计算公式：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++．
2. 临界值表： 2
()P K k ≥ 0.25 0.15 0.10 0.05
0.025
k 1.323 2.072 2.706
3.841
5.024
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>经过点(22，，离心率为
2
2
．
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）过E 的左焦点F 且斜率不为0的直线l 与E
相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC 与直线4x =-相交于点D ，若△ADF 为等腰直角三角形，求l 的方程．
（21）（本小题满分12分）
函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）证明：对于任意正整数n ，
()1
1
22!e
e
!
n
n n
n n n n n n ++⋅<<⋅.
选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
1cos ,
sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为1,
3x t y t
=-⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线:(0)m θβρ=>. （Ⅰ）求C 和l 的极坐标方程；
（Ⅱ）设点A 是m 与C 的一个交点（异于原点），点B 是m 与l 的交点，求OA
OB 的最大值. （23）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知函数()212f x x a x =-+++，()31=+g x x . （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()≤f x g x 的解集；
（Ⅱ）[)
x a，()()
2,
∈-
≥，求a的取值范围．
f x
g x
泉州市2018届普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分的判分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）D （2）B （3）B （4）A （5）C （6）C
（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D
（11）解析：易得抛物线的准线l 过点1
F ，
过点A 向l 引垂线交l 于点1
A ，
因为直线1
AF 的倾斜角为45︒，所以11
AA F ∆为
等腰直角三角形，
所以211
1
22
AF AA AF AF ==，由正弦定理得2
112
21
sin sin AF AF AF F
AF F =
∠∠ ，
所以
1
21122
sin sin 1AF AF F AF F AF ∠=
⋅∠= ，所以21
90AF F ∠=，即2
AF
x
⊥轴，
所以21
AF F ∆为等腰直角三角形，所以12
22==F F
AF c
，
122AF c
=，2
222c+c a
=，
所以
1
21
21
=
=-+e .
（12）解析：因为e e 11
=+++++x x
a x x x a a
，
所以当1>-x 时 ，
()
f x 的图象可由函数
e 1
=
+x y x 的图象
上下平移得到，
因此，()f x 的图象如图一所示，要
图
一
使得()0=f x 有更多的解，
即函数()f x 的图象与x 轴有更多的交点，则应将()()1>-f x x
的图象尽可能向下平移，即a 要取负数，如图二所示，
此时()0=f x 有四个解，分别是1
3
=-x
，2
1
=-x
，
33(10)
-<<x x 和4
4
(0)
>x x
，
把()f x 视为整体，则由图三可得，方程[()]0=f f x 的解分别为：
()3
=-f x 有2个解；()1=-f x 有3个解；
33()(10)
=-<<f x x x 有4个解；4
4
()(0)
=>f x x x
有3个解； 综上，方程()0f f x ⎡⎤=⎣⎦的实数解最多有12个，故选D .
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
（13）(),0-∞ （14）3- （15）78
（16）()1231418184
9
n n n n +-⋅+++
（16）解析：记()()()11121,22,23,
n n n n
n n n n n n n n
a a
b
c b a b c c a b c +++=++⎧⎪
=++⎨⎪
=++⎩ 由()()()123++得()
1
114n n n n n n a
b c a b c +++++=++，
图
所以数列{}
n
n n a
b c ++为首项1
1
1
12
a b c
++=，公比为4的等
比数列，
所以
34n
n n n a b c ++=⨯.
由()()12-得1
1n n n n
a b a b ++-=-，
所以数列{}
n
n a
b -为常数数列，
所以()114
4n
n a
b a b -=-=,
同理()()23-得()4
5n
n
b c
-=，
由()()45，
可得2n
n n
b a
c =+，
所以
4n
n b =，
44
n n a =+,
记数列{}4n
n ⋅的前n 项和为n
T ，由错位相减法求得
()13144
9
n n +-+ ,
数列{}4n 的前n 项和为()21n n +， 所以数列{}n
na 的前n 项和
()()13144219
n n +n
n +-++.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
△ABC
的内角
,,A B C
的对边分别为
,,a b c
，且
2
cos 2
b A
c a =-
．
（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若42c =72cos 10A =，求△ABC 的面积．
【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等． 【试题简析】
解法一：（Ⅰ）由已知得2
sin cos sin sin 2
B A
C A =-
............... 1分
2
sin cos sin cos sin 2
A B B A A =+-
， ............................................................................... 3分
因为()0,πA ∈，所以sin 0A >，所以2
cos 2
B =
，
..................................................................................... 4分
由()0,πB ∈， .......................................... 5分 得π=4
B . ........................................... 6分 （Ⅱ）由72cos 10A =，()0,πA ∈得，22
sin 1cos 10
A A =
-=
，
....................................................................................... 7分
在ABC △中，sin sin()sin cos cos sin C B A B A B A =+=+8分
2227242102105
=
⨯+⨯=， ................................................................................... 9分 由正弦定理sin sin c a
C A
=
得，52
sin 421sin 4c a A C =
⋅==， .............................................. 10分
所以1
sin 2
ABC S ac B =
△ .................................
11分
1242222
=
⨯=．. ............. 12分
解法二：（Ⅰ）由已知得
222222b c a b c a
bc +-=-， ......... 2分
化简得2
22=a c b ac
+-， ..................... 3分 即
2222cos 22
a c
b B
ac +-==， .................. 4分
由()0,πB ∈， .................................. 5分 得π=4
B . ................................... 6分 （Ⅱ）同解法一.
（18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AB BC ==，
4
AD PD ==，60BAD ∠=，
120
ADP ∠=，点E 为PA 的中点．
（Ⅰ）求证：//BE 平面PCD ；
（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线BE 与平面PAC
所成角的正弦值．
P
E
D
A
【命题意图】本小题主要考查线面平行的判定，面面垂直的性质，线面角正弦值的求解等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等． 【试题简析】
解法一：（Ⅰ）取PD 中点F ，连结,CF EF ．
因为点E 为PA 的中点，所以//EF AD 且
1
=
2
EF AD ， ......................................................................... 1分
又因为//BC AD 且1=2
BC AD ，所以//EF BC 且=EF BC
， ........................................................................... 2分
所以四边形BCFE 为平行四边形， ..... 3分 所以//BE CF ， ....................................... 4分 又BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，
所以//BE 平面PCD ． ...................................................................... 5分
（Ⅱ）在平面ABCD 中，过D 作DG AD ⊥，在平面
PAD
中，过D 作DH AD ⊥．
因为平面
PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平
面ABCD AD =，所以DG ⊥平面PAD ，
所以DG DH ⊥，所以,,DA DG DH 两两互相垂
直. ................................................................................. 6分
以D 为原点，向量,,DA DG DH 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz - （如图），则()4,0,0A ，
3,0)
B ，3,0)
C ，(2,0,23P -，(3E ，
........................................................... 7分 所以(3,0)AC =-，(6,0,23AP =-，
(3,3
EB =-，
.................................................................. 8分 设(),,x y z =n 是平面ACP 的一个法向量， 则
0,
0,
AC AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即
330,
6230,
x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ ....................... 9分
取1x =，得3,3)
=n ． ...................... 10分
设直线BE 与平面PAC 所成角为θ．
则70
sin cos
,35107
EB θ==
=⨯n ， ............. 11分
所以直线BE 与平面PAC 所成角的正弦
70
.................................................................... 12分
x
y
z
H
E
P
B
C
D
A F
G
解法二：（Ⅰ）取AD中点F，连结,BF EF．
又因为点E为PA的中点，所以//
EF PD，........................................................................... 1分
又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以//
EF平面PCD， ................................................................ 2分
又//
BC DF且=
BC DF，所以四边形BCDF
为平行四边形，所以//
BF CD，....................................... 3分
同理//
BF平面PCD，又BF EF F =，所
以平面//
BEF平面PCD， ................................................... 4分
又BE⊂平面BEF，所以//
BE平面PCD． ....................................................................................... 5分（Ⅱ）同解法一．
x
y
z H
F E
P
B C D
A
G
（19）（本小题满分12分）
某工厂有两台不同机器A 和B 生产同一种产品
各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示： A 机器生
产的产品
B 机器生产的产品
2
4 4
5 5 0 2 2 4 5
6 6
7
8
9 6 6 8 9 9 8 7 6 3 2 1
9 8 6 4 2 2 1
1 0
8 8 8 7 6 5 5
4
该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到
[90,100)的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到
[80,90)
的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到
[60,80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．
（Ⅰ）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X为来自B机器生产的产品数量，写
出X的分布列，并求X的数学期望；（Ⅱ）完成下列22 列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判
断能不能在误差不超过0.05的情况下，
认为产品等级是否达到良好以上与生产
产品的机器有关；
A生产的产
品B生产的产
品
合计
优秀
普通
合计
（III）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格
等级产品的利润为5元/件，A机器每生
产10万件的成本为20万元，B机器每
生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？
附：1. 独立性检验计算公式：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++．
2. 临界值表： 2
()P K k ≥ 0.25 0.15 0.10 0.05
0.025
k 1.323 2.072 2.706
3.841
5.024
【命题意图】本小题主要考查茎叶图，独立性检验；考查学生利用概率与统计知识解决实际问题的能力；考查学生的阅读理解能力及转化与化归能力． 【试题简析】解：
（Ⅰ）从茎叶图可以知道，样本中优秀的
产品有2个来自A 机器，3个来自B 机器；
所以X 的可能取值为0,1,2． ........... 1分
22
25
(0)0.1
===C P X C ，
112325
(1)0.6
===C C
P X C ，
2
325
(2)0.3
C P X C ===． ............................................................... 3分
X
的分布列为：
X 0 1 2 P
0.1
0.6
0.3
所以()00.110.620.3 1.2=⨯+⨯+⨯=E X ． ........ 4分
（Ⅱ）由已知可得，22⨯列联表为 A 生产的产品 B 生产的产
品 合计
良好以上
6 14 20
合格
12 8 20
合计
18
22
40
.................................................... 5分
222
()40(121468)40
3.636 3.841
()()()()2020182211
-⨯⨯-⨯====<++++⨯⨯⨯n ad bc K a b c d a c b d ， ................................................................................... 7分
所以不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的机器有关．. ....................... 8分 （III ）A 机器每生产10万件的利润为
10(120.1100.250.7)4047
⨯+⨯+⨯-=万元， ...................................... 9分 B 机器每生产10万件的利润为
10(120.15100.4550.4)3053
⨯+⨯+⨯-=万元， .................................. 10分
所以534765-=>， .................................... 11分 所以该工厂不会仍然保留原来的两台
机器，应该会卖掉A 机器，同时购买一台B 机器．12分 （20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>经过点(22，，离心率为
2
2
．
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）过E 的左焦点F 且斜率不为0的直线l 与E
相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC 与直线4x =-相交于点D ，若△ADF 为等腰直角三角形，求l 的方程．
【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．
【试题简析】解：（Ⅰ）依题意，得
222224
21,22,a b c
a
a b c ⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
............ 2分
解得
22,b 2,2,a c ⎧=⎪
=⎨⎪=⎩
......................... 3分
所以E 的方程为
22
184
x y +=．... 4分
（Ⅱ）易得()2,0F -，可设直线l 的方
程为2x ky =-，()1
1
,A x y ，()2
2
,B x y ， ....................................... 5分
联立方程组
22
218
4x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，
整理得()2
22440
k
y ky +--=， ................................................ 6分
由韦达定理，得1
2
242
k
y y
k +=
+，
12242
y y k -=
+， ...................................................................... 7分
所
以
122
222
y y k
k +=+，
()12122
4
2222
k y y x x k ++-=-=+，
即2
2
42,22
k C k k -⎛⎫
⎪++⎝
⎭
， .................. 8分 所以直线
OC
的方程为
2
k
y x =-
，令4x =-，得2y k =，即()4,2D k -， .......................... 9分
所以直线
DF
的斜率为
20
42
k k -=--+，所以直线DF 与l 恒保持垂直关系， ............ 10分
故若△ADF 为等腰直角三角形，只需
AF DF
=，即()
()2
222
2
1114421k x y k
y +=
++=
+
解得1
2
y
=±，又
22
11184
x y +=，所以
10
x =， ............................................................................ 11分
所以1k =±，从而直线l 的方程
为：20x y -+=或20x y ++=． ............................................. 12分 （21）（本小题满分12分）
函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）证明：对于任意正整数n ，()1
1
22!e
e
!
n n n
n n n n
n n ++⋅<<⋅.
【命题意图】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值、不等式等问题；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想．
【试题简析】解：（Ⅰ）()f x '11
a x =++． ......................... 1分 设直线2y x =与曲线()y f x =相切
于点()0
,P x y ．
依题意得：()000000
2,ln 1,12,1y x y x ax a x ⎧
⎪=⎪⎪
=++⎨⎪⎪+=+⎪⎩ ...... 2分
整理得，()0
00ln 101
x x
x +-
=+……（*）．.
....................................................................................... 3分
令
()()ln 11
x g x x x =+-
+，
()()()22
11111x
g x x x x '=
-=
+++．
所以，当0x >时，()0g x '>，()g x 单
调递增；
当10x -<<时，()0g x '<，()
g x 单调递减．
当
x =时，()g x 取得最小值
()00
g =，即()0g x ≥．
故方程（*）的解为0
x
=，此
时1a =．. ......................................................................... 6分
（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知，()0g x ≥，即
()ln 11
x
x x +≥
+，. ................................................................... 7分
因此11ln 11
⎛⎫+> ⎪+⎝
⎭
n n ，221ln 121⎛⎫
+>> ⎪
++⎝
⎭
n n n ，…，1ln 11
⎛⎫
+>>
⎪++⎝⎭n n n n n n ．
上
式
累
加
得
：
12ln 1111
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅⋅+>
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n n n n n ， .............................................. 8分
112111>e +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+⋅+⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
n
n n n n n ，
()()()
1
12>e
++⋅+⋅
⋅+n n n
n n n n n
，
()()()1
12e
++⋅+⋅
⋅+>⋅n n
n n n n n n ，即
()1
2!e !
n n n n n n +>⋅.
....................................................................................... 9分
（ii ）令()()ln 1=+-x x h x ，则()1111
-=-=
++h x
x x x ． 所以当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当10x -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增. 当0x =时，()h x 取得最大值()00h =，即
()0
h x ≤，()ln 1+≤x x ． ........................................................ 10分
由()ln 1+≤x x 得：11ln 1⎛⎫+< ⎪⎝
⎭
n n ，22
ln 1⎛⎫+< ⎪⎝
⎭
n n
，…，ln 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭n n
n n
．
上
式
累
加
得
：
12121ln 1112⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅⋅+<=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
n n n n n n n ，............................... 11分
1212111e +⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+⋅+⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
n n n n n ，
()()()
12
12e
++⋅+⋅
⋅+<n n
n n n n n
，
()()()12
12e
++⋅+⋅
⋅+<⋅n n
n n n n n ，即
()1
22!e !
n n n n n +<⋅.
综上，()1
1
22!e
e
!
n n n
n n n n
n n ++⋅<<⋅. ............... 12分
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
1cos ,
sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为1,
3x t y t
=-⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线:(0)m θβρ=>. （Ⅰ）求C 和l 的极坐标方程；
（Ⅱ）设m 与C 和l 分别交于异于原点的,A B 两点，求OA
OB 的最大值.
【命题意图】本题主要考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．
【试题简析】解：（Ⅰ）曲线C 的一般方程为()2
21+1x y -=，
1分
由
cos ,
sin ,
x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩得()2
22cos 1+sin 1ρθρθ-=，
.......................................................... 2分 化简得C 的极坐标方程为
2cos ρθ=；
................................... 3分 l 的一般方程为40x y +-=， .. 4
分 极坐标方程为
cos sin 40ρθρθ+-=，即π
sin(+)224
ρθ=分
（Ⅱ）设
12(,),(,)
A B ρβρβ，则
12
OA OB ρρ==sin cos 2cos 4ββ
β+⋅
， ............................................ 6分
1
(2
= ， ............................................................................... 7分
2π1sin(2)444
β=
++ ， ............................................................ 8分
由射线m 与E 相交，则不
妨设ππ,44
β⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭
， 则ππ3π2,444
β⎛⎫
+∈- ⎪⎝
⎭
，所以当ππ
2,42β+
=即π
8β=时，OA OB 取最大值， ................................ 9分
此时214
OA
OB =
. ........... 10分
（23）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知函数()212f x x a x =-+++，()31=+g x x . （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()≤f x g x 的解集； （Ⅱ）当[)2,∈-x a 时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围． 【命题意图】本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．
【试题简析】解：（Ⅰ）当1a =时，()1231f x x x x =-++≤+，
①当2x ≤-时，()21f x x =--， 令()31f x x ≤+， 即2131x x --≤+，
此时无解； .................................................................... 1分
②当21x -<<时，()3f x =， 令()31f x x ≤+，即331x ≤+，所
以213
x ≤<； ....................................................................... 2分 ③当1x ≥时，()21f x x =+， 令()31f x x ≤+， 即2131x x +≤+，
解得1x ≥， ....................................................................... 3分
综上所述，不等式的解集为
2|3x x ⎧
⎫≥⎨⎬⎩
⎭
． ......................................................................... 5分
（Ⅱ）当[)2,∈-x a 时，
()21231
f x x a x x =-+++≥+，即2121x a x -+≥-； ........................... 6分
①当
122
a -<≤
时，
210
x -<，
2121
x a x -+≥-恒成立； ...................................................... 7分
②当12
a >，12,2x ⎡
⎫∈-⎪⎢⎣
⎭
时，210x -<，2121
x a x -+≥-恒成立；
1,2x a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，()
2
2
21
21x a x -+≥-恒成
立，
即
232(23)4(1)0
x a x a a +---≤恒成立， ............................................................................... 8分
令2
()32(23)4(1)
g x x
a x a a =+---，()
g x 的最大值只可能是1()2
g 或()g a ， 1
()02
g =，
2()320
g a a a =-≤，得
203a <≤
，又12a >，所以1223
a <≤； ....................................... 9分 综上所述：a 的取值范围是
2|23x a ⎧
⎫-<≤⎨⎬⎩
⎭
． ................................................................ 10分。