第三节 齐次线性方程组

第三节 齐次线性方程组
定理 n 元齐次线性方程组Ax=0
()R A n ⇔<(1) 有非零解秩 ()R A n ⇔=(2) 没有非零解秩
一:齐次线性方程组Ax=0解的结构
(一) 齐次线性方程组Ax=0解的结构
记S={x |Ax =0}表示齐次线性方程组Ax =0解的全体，则集合S 具有如下性质 ： （1） 若ξ1，ξ2∈S ，那么ξ1＋ξ2∈S 。

即两个解的和还是方程组的解 （2） 若ξ∈S ，k ∈R ，那么 k ξ∈S 。

即一个解的倍数还是方程组的解
定理1 ： n 个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解向量集S 构成R n 的一个子空间 。

(二) 相关概念:
解空间、基础解系、通解
定义1: 称子空间S 是齐次线性方程组Ax=0的解空间。

解空间S 的任意一个基（即S 的极大无关组）称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系。

注: (1) 齐次线性方程组Ax=0解的个数情况? 齐次线性方程组Ax=0有非零解,其解是否必有无穷个?
(2) 设12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对任意常数12,,,r k k k ,其线性组合
1122r r k k k ξξξ+++
是方程的解,
12,,,r ξξξ 的所有线性组合就为方程所有解.
定义2: 称1122r r k k k ξξξ+++ 为齐次线性方程组Ax=0的通解,其中12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 12,,,r k k k 为任意常数.
(三) 齐次线性方程组Ax=0的主要定理
定理2 设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 是m ×n 阶矩阵，且R(A)=r ，则方程组Ax=0的基础解系中有n-r 个向量，即解空间S 的维数dim S=n-r 。

证明 (1)对矩阵A 作初等行变换得到矩阵 A
，两个方程组0Ax =与0Ax = 是同解的方程组 .
(2) 因为R(A)=r ，利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形矩阵，进一步化为简单阶梯形矩阵，不妨有
1112121
21
~n n m mn a a a a a A a a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 111,212,1,1000
10010
000000000n r n r r r n r b b b b b b ---⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
称简单阶梯矩阵每一行的第一个非零元所对应的未知数(这里为12,,r x x x 称为非自由变量),其余的成为自由变量.
故方程组同解于11111221,22112222,1122, 0
(3) 0r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-++++=⎧⎪
++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩
把上式改写为
11111221,221122221122, (4) r r n r n r r ,n r n
r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-=----⎧⎪
=----⎪⎨
⎪⎪=----⎩
令12r r n x x x ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 分别取n r -组数100010, , ....,001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
代入(4)可依次确定12r x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为
1,11122,2122,12, , ..., n r n r r n r r r b b b b b b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪---
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
从而得到0Ax =的n-r 个解
1,11122,212212,12 - , , , 1 0 0 0 1 0 0 0 1n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξξξ-----⎛--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ,⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭
显然12,,,n r ξξξ- 为齐次线性方程组Ax=0的n-r 个线性无关解 (3)
最后，证明Ax=0的任意一个解都可由1
2
,,,n r
ξξξ
- 线性表示。

设齐次线性方程组Ax=0的一个解为
11( ) 5T r r n k k k k ξ+= （）
由12,,,n r ξξξ- 是齐次线性方程组Ax=0的解,故
1122 6r r n n r k k k ζξξξ++-=+++ （）
也是Ax=0的一个解
1122r r n n r
k k k ξζξξξξ++--=---- 111121,221222,12,1212100010001n r n r r r r r n r r r n r r n k b b b k b b b k b b b
k k k k k k ---++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11111221,2211222
2,1122, 00r r n r n r r n r n r r r r r r n r n k b k b k b k k b k b k b k k b k b k b k ++-++-++-++++⎛⎫
⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪=++++ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
,
11( )T r r n k k k k ξ+= 是方程的解故满足(3),即0ξζ-=,即
1122r r n n r k k k ξζξξξ++-==+++
注 (1)理解系数矩阵的秩非自由变量、自由变量的个数、未知量个数、解空间的维数之间的关系
（2）思考若0m n n k A B ⨯⨯=，()()R A R B +≤？ （3）自由未知量是否有其它取法，若有注意什么
（4）若将（4）写成11111221,221122221122,1122
1 r r n r n r r ,n r n r r r r r r n r n
r r r r n
r x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x x x x x
x x
++-++-++-+++++=----⎧⎪
=----⎪⎪⎪
=----⎪⎨
=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩
基础解析1,11122,212212,12 - , , , 1 0 0 0 1 0 0 0 1n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξξξ-----⎛--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ,⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭
就是自由变量的系数
（这只要在系数矩阵化为简单阶梯形才如此） （5）0Ax =，0Bx =的公共解即为方程0A X B ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的解 二：应用
123412341341234 0
23 301 260
4530
x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
++-=⎪⎨
++=⎪⎪++-=⎩例求方程组的一个基础解系，并求其通解。

341231
234 0 4 0420
x x x x x x x x x +=⎧⎪
+-=⎨⎪--+-=⎩例2求方程组的一个基础解系，并求其通解。

1212123 (1 , 1 , 1),(1 , , 1)t ,,T T t αααααα==例假设，问：取何值时是正交向量组？求一个以为真子集的正交向量组？31
11
R αεα=
例4求中的包含向量的一个正交规范基。