点差法论文：再议“点差法”

点差法论文：再议“点差法”
在解答平面解析几何中直线与圆锥曲线位置关系时，若设直线f(x,y)=0与圆锥曲线g(x,y)=0的交点a、b(弦的端点)坐标为(x1,y1)、(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”. 如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.
长期以来大多数师生误以为“点差法”只能解决弦的中点问题，其实不然．
一、弦的中点问题
【例1】过点(1，0)的直线l与中心在原点、焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆c相交于a、b两点，直线y =12x 过线段ab的中点，同时椭圆c上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆c的方程.
解：由e=ca=22得a2-b2a2=12,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2，a(x1,y1)、b(x2,y
2)在椭圆上.
则x21+2y21=2b2，x21+2y22=2b2，两式相减得：
(x21-x22)+(2y21-2y22)=0
， y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y
2).
设ab的中点为(x0,y0)，则k ab=-x
02y0，又(x0,y0)在直线y=12x上，y0=12x
0,于是k ab=-x02y0=-1，则l的方程为y=-x+1.
右焦点(b, 0)关于直线l的对称点设为(x′,y′)，
则y′x′-b=1，y′2=-x′+b2+1，解得x′=1，y′=1-b.
由点(1, 1-b)在椭圆上，代入椭圆方程解得
a2=98,b2=916.
故所求椭圆c的方程为8x29+169y2=1,直线l的方程为y=-x+1.
二、非中点分点问题
【例2】已知曲线e：x2+y2=1，经过点m(33,0)的直线与曲线交于a、b两点，且mb=-2ma
，求直线ab的方程.
解：设a(x1,y1)、b(x2,y2)，于是，x2 1+y21=1，①
x22+y22=1.②
∵mb=-2ma,∴(x2-33,y2)=-2(x
1-33,y1),
∴x2+2x1=3,y2+2y1=0.
②-①×4得：(x2+2x1)(x2-2x1)+(y2+2y
1)(y2-2y1)=-3，从而x2-2x1=-3，
与x2+2x1=3组成方程组得：x1=32，x2=0,故a(32,12)、b(0,-1)或a(32,-12)、b(0,1)，故直线ab的方程为：y=-3x+1或y=3x-1.
三、常见错误
因为运用点差法的前提条件为：直线f(x,y)=0与圆锥曲线g(x,y)=0必须要有两个不同的交点，所以该方法容易忽视判别式，即f(x,y)=0,g(x,y)=0有两组不同的解，判别式必须大于零．
【例3】已知斜率为1的直线与椭圆x28+y24=1相交于a、b两点，则ab的中点的轨迹方程
为．
错解：设a(x1,y1)，b(x2,y2)，p(x,y)，于是x218+y214=1，x228+y224=1，两式相减得：(x2+x1)(x2-x1)8+(y2+y1)(y2-y
1)4=0.
故所求直线方程为x+2y=0．事实上该轨迹应该是线段，为椭圆内部的部分．。