《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)

（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
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量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
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α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
⎩⎪ bsignx(t)
x(t) > 0 x(t) < 0 x(t) = 0
b
k
-a
x(t)
0a
-b
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x < 0
k
x < 0
x > 0
x(t)
0
x > 0
间隙的存在，相当于死区的影响，降低系统跟踪精度。 由于间隙为非单值函数，对于相同的输入值，输出还取 决于其导数的符号，因此受其影响负载系统的运动变化 剧烈。 K由正无穷向负无穷的跳变使得系统系能变坏。
在非线性程度不严重时，在系统的工作点附近用小偏差发将 非线性线性化，然后将线性化后的系统用线性系统的理论进 行分析与设计。
f
⎛ ⎜t, ⎝
dny dt n
,...,
dy dt
,
⎞ y⎟
⎠
=
g
⎛ ⎜t, ⎝
d mr dt m
,...,
dr dt
⎞ ,r⎟
⎠
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二、常见非线性特性及其对系统运动的影响
1. 饱和特性：运算放大器，三极管，学习效率等
当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号 变化而保持恒定。
y (t)
⎧ kx x(t) ≤ a
x(t
)
=
⎪ ⎨
ka
x(t) > a
⎪⎩−ka x(t) < −a
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例：系统方程为 x + ωn2 x = 0 求相轨迹方程。 x = dx dx = x dx = −ω2x ⇒ xdx = −ω2 xdx
dx dt dx
⇒ 1 x2 = −ω2 x2 + C
2
2
⇒ x2 + x = 2c = A2
ω2 ω2
得椭圆方程。
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考虑线性等幅振荡和非线性自振： 线性二阶系统零阻尼情况下的振荡：
范德波尔方程：x− 2ρ(1− x2 )x + x = 0
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（4）频率响应发生畸变 非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分
⎧ 0 x(t) ≤ a
x(t
)
=
⎪ ⎨
k
(
x
−
a)
x(t) > a
⎪⎩k(x + a) x(t) < −a
k
−a
x (t)
0a
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y (t)
k
−a
x (t)
0a
在死区，由于开环增益为零，没有产生反馈调节，使得系统 产生稳态误差；但同时，如果有小扰动出现在输入中，死区 特性可以抑制掉小扰动。 振荡性↓，同时限制跟踪速度，跟踪误差↑，稳态精度降 低，快速性下降。 可见：非线性系统的稳定性与自由相应和初始扰动有关。
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非线性控制系统分析
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一、非线性系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、相平面法 四、描述函数法
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一、非线性系统概述
在实际物理系统中，完全的线性系统是不存在的，因为系统 的元件其输入输出之间往往存在不同程度的非线性。
1. 非线性控制的概念 非线性特性：指系统中某些元件的输入输出关系不 是按线性 规律变化。 非线性控制系统：当系统中含有一个或多个具有非线性特性 的元件时，该系统称为非线性控制系统。
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2. 非线性系统的特征 （1）不满足叠加原理 不满足线性叠加原理（最重要），这是非线性系统与线性系 统的根本区别。 线性系统的运动特征与输入幅值、系统的初始状态无关，通 常是在典型输入函数和零值初始条件下进行研究，但是非线 性系统不能这样进行研究。
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结论： （1）在上半平面，系统状态沿相轨迹曲线 运动的方向是x增大的方向，即向右移动； 在下半平面向左移动。 （2）自持振荡的相轨迹是封闭曲线。 （3）相轨迹通常与x轴垂直相交。
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2. 相轨迹的等倾线法
任何一条曲线都可以用有限段足够短的直线来逼近，那么通 过等倾线法就可以绘制出系统的相平面图。等倾线是指相平 面上相轨迹斜率相等的各点的连线。
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3. 非线性系统的分析与设计方法 小范围线性近似法：在平衡点附近线性化方法，通过在平衡点 附近进行泰勒展开，可将非线性微分方程化为线性微分方程， 然后按线性系统的理论进行处理。该方法局限于小区域研究。 逐段线性近似法：将非线性系统近似为几个线性区域，在每个 区域用相应的线性微分方程描述，将各段的解和在一起即可得 到系统的全解。 相平面法：该方法是非线性系统的图解法，适用于阶数最高为 二阶的系统。 描述函数法：该方法是非线性系统的频域法，适用于具有低通 滤波特性的各种阶次的非线性系统。 利亚普诺夫法：该方法根据广义能量概念来确定非线性系统的 稳定性。 计算机仿真法：利用计算机模拟，可以满意地解决实际工程中 相当多的非线性系统问题。
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y(t) x(t)
此时，在根轨迹与虚轴交点处可知，x=x1。 如果这是产生小扰动使得x>x1，系统不稳定 了，同时相应的等效增益减小，闭环极点向 左半平面移动，使得系统稳定； 当闭环极点运动到使得x<x1，系统稳定，但 相应的等效增益增大，闭环极点向右半平面 移动，系统不稳定。 这时系统产生振荡现象。
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绘制等倾线要注意的几点： （1）横纵坐标轴要选取相同的比例尺，以便于根据等倾线 斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线。 （2）在相平面的上半平面，由于x导数大于零，则x随时间 增大而增加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下半 部分正好相反。 （3）除系统的平衡点外，相轨迹与x轴的想交点处切线斜率 应为+∞或者是﹣∞，即相轨迹与x轴垂直相交。 （4）为提高作图精度，可采用平均斜率法，即取相邻两条 等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直线的斜率。
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例：绘制下面系统的相轨迹 x + x + x = 0, x (0) = 1, x (0) = 0
x dx = −x − x dx
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考虑非线性一阶系统稳定性问题： x = x2 − x
x
=
x2
−
x
⇒
x(t)
=
1−
x0e−t x0 + x0e−t
x(t)
0 ln x0 x0 −1
x0 > 1 x0 < 1
t
x0
> 1,t
<
ln
x0 , 递增 x0 −1
x0 < 1，递减
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（3）可能存在自振荡现象 非线性系统在没有外界周期信号的激励下，能以固有的振 幅和固有的频率产生稳定的振荡，即所谓的自振荡。 在控制系统中，自激振荡会造成机械磨损、能量消耗、并 带来控制误差等，但同时如果在控制中通过引入高频小幅 度的颤振，可克服间隙、死去等非线性因素的不良影响。 而在振动试验中，还必须使系统产生稳定的周期运动。 自振荡是非线性系统分析中的重要的内容之一。
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3. 间隙特性：如齿轮传动中的齿隙、铁磁元件中的磁滞现象 当输入信号的变化方向改变时，输出信号不变，一直到输入 信号的变化超出一定数值（间隙）后，输出信号才跟着变 化。相当于死区的影响，降低了系统的跟踪精度。
y(t)
⎧k[x(t) − a] x(t) = ⎪⎨k[x(t) + a]
b
k −a
x (t)
0a
−b
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y (t)
b
k −a
x (t)
0a
−b
进入饱和后等效K↓，超调量σ%↓，原来系统稳定，此
时一定稳定，所以提高相对稳定性。 振荡性↓，同时限制跟踪速度，跟踪误差↑，稳态精度降 低，快速性下降。 在有些系统中利用饱和特性为信号限幅。
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三、相平面法
1. 相平面的基本概念
二阶非线性系统运动方程： x(t) = f [ x(t), x(t)]
dx dx = f [x, x]
dx dt
dx dx
=
f
[x, x]
x
以x为横坐标，x导数为纵标，构成一个平面（二维空间）称 之为相平面（状态平面）。 系统运动时，x以及x的导数以t为参变量在相平面上描绘出的 轨迹称为相轨迹。
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简要定性分析非线性环节对于系统的影响：
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2. 死区特性：常用于测量、放大元件、一般的机械系统、电 机等 当输入信号在零值附近的某一小范围之内时，没有输出。只 有当输出大于此范围是，才有输出。
y (t)
Hale Waihona Puke y(t)x(t) ≥ h
M
x(t) ≥ mh, x(t) < 0
x(t) ≤ −mh, x(t) > 0
-h -mh
0 mh h
x(t)
-M
h – 继电器吸合电压 mh – 继电器释放电压
M – 继电器饱和输出
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理想继电器
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y(t) y(t)
y(t) x(t)
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相平面法：是一种求解一阶或二阶常微分方程的图解方法。 将一阶，二阶系统的解（运动过程）表示为在x-y平面上点 的变化，研究这些点的变化轨迹，得到系统的运动规律。它 可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统运动的直观图 像。它可以看作状态空间法在一阶、二阶情况下的应用。 相平面法用于分析一阶、二阶线性系统或非线性系统的稳定 性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对 系统运动的影响。
x(t) y(t)
具有死区的单值继电器
y(t) x(t)
具有滞环的继电器
x(t)
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性
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理想继电器，等效K是随着x的增大而减小，所以一阶二阶 系统可以稳定，一般地，很多情况下非线性系统会自振。 带有死区的继电特性，等效K 在死区带，稳态误差会上升；在非死区由 于K的减小会使超调减小，振荡性下降。 一般的继电特性，多出了延迟效果，对稳定性不利。
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4. 继电器特性 由于继电器吸合释放时此路的磁阻，因而继电器的吸合电压与 释放电压不等，使其特性中包含了死区、回环与饱和特性。
⎧
0
x(t) = ⎨⎪⎪⎪Msignx0(t)
⎪ ⎪
M
⎪⎩ −M
−mh < x(t) < h, x(t) > 0
−h < x(t) < mh, x(t) < 0