【最高考系列】(教师用书)2016届高考数学1轮总复习 第1章 集合与常用逻辑用语课时训练 理

第|一章 集合与常用逻辑用语
第1课时 集合的概念
1. (2021·南通一模)集合A ＝{x|x≥3}∪{x|x＜－1} ,那么∁R A ＝________． 答案：[－1 ,3)
解析：∁R A ＝[－1 ,3)．
2. (2021·苏北三市期末)集合A ＝{2＋ a ,a} ,B ＝{－1 ,1 ,3} ,且A B ,那么实数a 的值是________．
答案：1
解析：由题设a ＝1 ,2＋a ＝3 ,从而a ＝1.
3. 集合A ＝{－1 ,1} ,B ＝{m|m ＝x ＋y ,x ∈A ,y ∈A} ,那么集合B ＝________． 答案：{－2 ,0 ,2}
解析：因为x∈A ,y ∈A ,所以x ＋y ＝－2 ,0或2 ,所以集合B ＝{－2 ,0 ,2}．
4. A ＝{x|x 2
－2x －3≤0} ,假设实数a∈A ,那么a 的取值范围是________． 答案：[－1 ,3]
解析：由条件知a 2
－2a －3≤0 ,从而a ∈[－1 ,3]．
5. A ＝{1 ,2 ,3} ,B ＝{x∈R |x 2
－ax ＋1＝0 ,a ∈A} ,那么B A 时 ,a ＝________． 答案：1或2
解析：验证a ＝1时B ＝满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件．
6. 集合A ＝{x|x 2
＋mx ＋1＝0} ,假设A 只有一个子集 ,那么实数m 的取值范围是____________．
答案：[0 ,4)
解析：由题意 ,A ＝ ,∴ Δ＝(m)2
－4＜0 ,∴ 0≤m ＜4. 7. 假设集合{x|ax 2
＋2x ＋1＝0}与集合{x 2
－1＝0}的元素个数相同 ,那么实数a 的取值集合为__________．
答案：{0 ,1}
解析：∵ 集合{x 2－1＝0}的元素个数为1 ,∴ 方程ax 2
＋2x ＋1＝0有且只有一个实数
解．∴ a＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧a≠0
Δ＝0 即a ＝0或1.
8. 集合A ＝{x|log 2x ≤2} ,B ＝(－∞ ,a) ,假设A B ,那么实数a 的取值范围是(c ,
＋∞) ,其中c ＝________．
答案：4
解析：A ＝{x|0<x≤4} ,B ＝(－∞ ,a) ,A B ,故c ＝4.
9. (2021·江苏检测)集合A ＝{x|x 2
－3x －10≤0} ,集合B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1} ,且B A ,那么实数m 的取值范围是____________．
答案：m≤3
解析：由 ,集合A ＝{x|－2≤x≤5} ,因为B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1} ,且B A ,所以当
B ＝
时 ,有m ＋1>2m －1 ,即m<2时 ,符合题意；当B≠
时 ,⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m－1 －2≤m＋1 2m －1≤5
解得2≤m
≤3.综上得实数m 的取值范围是m≤3.
10. (2021·宁夏月考改)设集合S n ＝{1 ,2 ,3 ,… ,n} ,假设x 是S n 的子集 ,把x 中的所有数的乘积称为x 的容量(假设x 中只有一个元素 ,那么该元素的数值即为它的容量 ,规定空集的容量为0)．假设x 的容量为奇(偶)数 ,那么称x 为S n 的奇(偶)子集．假设n ＝4 ,
求S n 的所有奇子集的容量之和．
解：由奇子集的定义可知：奇子集一定是S n 中为奇数的元素构成的子集．由题意可知 ,假设n ＝4 ,S n 中为奇数的元素只有1 ,3 ,所有奇子集只有3个 ,分别是{1} ,{3} ,{1 ,3} ,那么它们的容量之和为1＋3＋1×3＝7.
11. (2021·如皋中学期中)集合A ＝{x|1－x x －7
＞0} ,B ＝{x|x 2－2x －a 2
－2a ＜0}．
(1) 当a ＝4时 ,求A∩B；
(2) 假设A B ,求实数a 的取值范围． 解：(1) A ＝{x|1<x<7} ,
当a ＝4时 ,B ＝{x|x 2
－2x －24＜0}＝{x|－4＜x ＜6} , ∴ A ∩B ＝(1 ,6)．
(2) B ＝{x|(x ＋a)(x －a －2)<0} ,
① 当a ＝－1时 ,B ＝ ,∴ A B 不成立；
② 当a ＋2>－a ,即a>－1时 ,B ＝(－a ,a ＋2) ,
∵ A B ,∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧－a≤1
a ＋2≥7 解得a≥5；
③ 当a ＋2<－a ,即a<－1时 ,B ＝(a ＋2 ,－a) , ∵ A B ,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤1
－a≥7 解得a≤－7.
综上 ,实数a 的取值范围是(－∞ ,－7]∪[5 ,＋∞)．
第2课时 集合的根本运算
1. (2021·南师附中冲刺)设集合A ＝{x|－1＜x ＜2} ,B ＝{x|0＜x ＜4 ,x ∈N } ,那么A∩B＝________．
答案：{1}
解析：A 、B 的公共元素是1 ,∴ A ∩B ＝{1}．
2. 集合P ＝{－1 ,m} ,Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪⎪－1<x<34.假设P∩Q≠ ,那么整数m ＝________．
答案：0
解析：m∈Q ,即－1<m<3
4
,而m∈Z ,∴ m ＝0.
3. (2021·苏锡常镇一模)集合A ＝{1 ,2 ,3 ,4} ,B ＝{m ,4 ,7}．假设A∩B＝{1 ,4} ,那么A∪B＝________．
答案：{1 ,2 ,3 ,4 ,7}
解析：由A∩B＝{1 ,4} ,知m ＝1 ,从而A∪B＝{1 ,2 ,3 ,4 ,7}．
4. 集合A ＝{(0 ,1) ,(1 ,1) ,(－1 ,2)} ,B ＝{(x ,y)|x ＋y －1＝0 ,x 、y∈Z } ,那么A∩B＝________．
答案：{(0 ,1) ,(－1 ,2)} 解析：A 、B 都表示点集 ,A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合 ,代入验证即可．
5. 集合A ＝{1 ,3 ,m} ,B ＝{1 ,m} ,A ∪B ＝A ,那么m ＝________． 答案：0或3
解析：∵ A∪B＝A ,∴ B A.又A ＝{1 ,3 ,m} ,B ＝{1 ,m} ,∴ m ＝3或m ＝m.由m ＝m 得m ＝0或m ＝1.但m ＝1不符合集合中元素的互异性 ,故舍去 ,故m ＝0或m ＝3.
6. (原创)集合A ＝{x|k π＋π
4
≤x ≤k π＋π ,k ∈Z } ,B ＝{x|－2≤x≤2} ,那么集合
A∩B＝________．
答案：[－2 ,0]∪⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
π4 2
解析：由集合A ＝…∪[－π＋π4 ,－π＋π]∪[π4 ,π]∪[π＋π
4
,π＋π]∪… ,B
＝{x|－2≤x≤2} ,利用数轴表示易得A ∩B ＝[－2 ,0]∪[π
4
,2]．
7. 集合A ＝{y|y ＝－x 2
＋2x} ,B ＝{x||x －m|<2 015} ,假设A∩B＝A ,那么m 的取值范围是________．
答案：(－2 014 ,2 015)
解析：集合A 表示函数y ＝－x 2＋2x 的值域 ,由t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2
＋1≤1 ,可得0≤y≤1 ,故A ＝[0 ,1]．集合B 是不等式|x －m|<2 015的解集 ,解得m －2 015<x<m ＋2 015 ,所以B ＝(m －2 015 ,m ＋2 015)．因为A∩B＝A ,所以A B.
如图 ,由数轴可得⎩
⎪⎨⎪⎧m －2 015<0
m ＋2 015>1
解得－2 014<m<2 015.
8. 给定集合A ,假设对于任意a 、b∈A ,有a ＋b∈A ,且a －b∈A ,那么称集合A 为闭集合 ,给出如下三个结论：
① 集合A ＝{－4 ,－2 ,0 ,2 ,4}为闭集合； ② 集合A ＝{n|n ＝3k ,k ∈Z }为闭集合；
③ 假设集合A 1、A 2为闭集合 ,那么A 1∪A 2为闭集合． 其中正确的结论是________．(填序号) 答案：②
解析：－4＋(－2)＝－6 A ,所以①不正确；设n 1、n 2∈A ,n 1＝3k 1 ,n 2＝3k 2 ,k 1、k 2
∈Z ,那么n 1＋n 2∈A ,n 1－n 2∈A ,所以②正确；令A 1＝{x|x ＝2k ,k ∈Z } ,A 2＝{x|x ＝3k ,k ∈Z } ,那么A 1、A 2为闭集合 ,但A 1∪A 2不是闭集合 ,所以③不正确．
9. (2021·济南模拟)集合A ＝{－1 ,1} ,B ＝{x|ax ＋1＝0} ,假设B A ,那么实数a 的所有可能取值组成的集合为______________．
答案：{－1 ,0 ,1}
解析：假设a ＝0 ,B ＝ ,满足B A ；假设a≠0 ,B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
－1a ,
∵ B A ,∴ －1a ＝－1或－1
a
＝1 ,
∴ a ＝1或a ＝－1.∴ a＝0或a ＝1或a ＝－1组成的集合为{－1 ,0 ,1}．
10. (2021·启东检测)集合A ＝{x|x 2－2x －3>0} ,B ＝{x|x 2
－4x ＋a ＝0 ,a ∈R }． (1) 存在x∈B ,使得A∩B≠ ,求a 的取值范围； (2) 假设A∩B＝B ,求a 的取值范围．
解：(1) 由题意得B≠ ,故Δ＝16－4a≥0 ,解得a≤4. ①
令f(x)＝x 2－4x ＋a ＝(x －2)2
＋a －4 ,对称轴为x ＝2 , ∵ A ∩B ≠ ,又A ＝(－∞ ,－1)∪(3 ,＋∞) , ∴ f(3)<0 ,解得a<3. ②
由①②得a 的取值范围为(－∞ ,3)． (2) ∵ A∩B＝B ,∴ B A.
当Δ＝16－4a<0 ,即a>4时 ,B 是空集 ,这时满足A∩B＝B ； 当Δ＝16－4a≥0时 ,a ≤4. ③
令f(x)＝x 2
－4x ＋a ,对称轴为x ＝2 , ∵ A ＝(－∞ ,－1)∪(3 ,＋∞)≠ , ∴ f(－1)<0 ,解得a<－5. ④ 由③④得a<－5.
综上得a 的取值范围为(－∞ ,－5)∪(4 ,＋∞)．
11. 集合A ＝{y|y ＝－2x ,x ∈[2 ,3]} ,B ＝{x|x 2＋3x －a 2
－3a ＞0}． (1) 当a ＝4时 ,求A∩B；
(2) 假设A∩(∁R B)＝ ,求实数a 的取值范围．
解：(1) A ＝[－8 ,－4] ,当a ＝4时 ,B ＝(－∞ ,－7)∪(4 ,＋∞)．由数轴图得A∩B ＝[－8 ,－7)．
(2) ∵ A∩(∁R B)＝ ,∴ A B.
又方程x 2＋3x －a 2
－3a ＝0的两根分别为a ,－a －3 ,
① 当a ＝－a －3时 ,即a ＝－3
2
时 ,B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－32 ＋∞ ,满足A B ；
② 当a<－3
2
时 ,a<－a －3 ,B ＝(－∞ ,a )∪(－a －3 ,＋∞) ,那么a>－4或－a －3<－
8 ,
得－4<a<－3
2 ,满足A B ；
③ 当a>－3
2
时 ,a>－a －3 ,B ＝(－∞ ,－a －3)∪(a ,＋∞) ,那么a<－8或－a －3>－
4 ,得－3
2
<a<1 ,满足A B.
综上所述 ,实数a 的取值范围是(－4 ,1)．
第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1. (2021·南京调研)命题 "x ∈R ,x 2
－2x ＋2＞0”的否认是______________．
答案：x ∈R ,x 2
－2x ＋2≤0
解析：根据全称命题的否认是存在性命题可得答案．
2. (2021·九江一模改)命题 "假设x 2＞y 2
,那么x>y 〞的逆否命题是______________．
答案： "假设x≤y ,那么x 2≤y 2
”
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题 "假设x 2>y 2
,那么x>y 〞的逆
否命题是 "假设x≤y ,那么x 2≤y 2
”．
3. 方程x 2k ＋1＋y
2k －5
＝1表示双曲线的充要条件是k∈____________．
答案：(－1 ,5)
解析：方程x 2k ＋1＋y
2k －5
＝1表示双曲线的充要条件是(k ＋1)(k －5)＜0 ,解得－1<k<5.
4. (2021·南京、盐城一模)设函数f(x)＝cos(2x ＋φ) ,那么 "f(x)为奇函数〞是 "φ＝π
2〞的__________(填 "充分不必要〞 "必要不充分〞 "充要〞或 "既不充分也不必要〞)条件．
答案：必要不充分
解析：必要性 ,当φ＝π
2
时 ,f(x)＝cos(2x ＋φ)可化为f(x)＝－sin2x ,它为奇函数；
而当φ＝π
2
＋2π时 ,f(x)＝cos(2x ＋φ)可化为f(x)＝－sin2x ,也是奇函数 ,所以充分性
不成立 ,故应填必要不充分．
5. 命题p ：假设实数x 、y 满足x 2＋y 2
＝0 ,那么x 、y 全为零．命题q ：假设a>b ,那么1a <1
b
.．(填序号) 答案：②④
解析：命题p 为真命题．假设a ＝2>b ＝－1 ,而1a ＝12>1
b
＝－1 ,命题q 为假命题．由真
值表可知 , p 或q 、非q 为真命题．
6. (2021·中华中学调研)命题p ： x ∈R ,使sinx ＝52
；命题q ：x ∈R ,都有x
2
＋x ＋1＞0.给出以下命题：
① 命题 "p∧q〞是真命题；
② 命题 "p∧(q)〞是假命题； ③ 命题 "(p)∨q〞是真命题；
④ 命题 "(p)∨(q)〞是假命题． 其中正确的选项是__________．(填序号) 答案：②③
解析：由 ,p 假q 真 ,由真值表知 ,正确命题为②③.
7. (2021·扬州中学月考)设f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2
＋1) ,那么对任意实数a 、b , "a ＋b≥0”是 "f(a)＋f(b)≥0”的____________(填 "充分不必要〞 "必要不充分〞 "充要〞或 "既不充分也不必要〞)条件．
答案：充要
解析：∵ f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2
＋1) ,
∴ f(－x)＝－x 3＋lg(－x ＋x 2＋1)＝－x 3＋lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋x 2
＋1＝－x 3－lg(x ＋x 2
＋1)＝－f(x) ,
∴ f(x)是奇函数．又可证f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2
＋1)是增函数 ,由a ＋b≥0得a≥－b ,∴ f (a)≥f(－b) ,即f(a)≥－f(b) ,∴ f(a)＋f(b)≥0 ,反之也成立．故 "a ＋b≥0”是 "f(a)＋f(b)≥0”的充要条件．
8. 假设存在实数x ,使得x 2
－4bx ＋3b<0成立 ,那么b 的取值范围是________．
答案：(－∞ ,0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
34 ＋∞
解析：由题意知只需满足相应方程x 2－4bx ＋3b ＝0的判别式Δ>0 ,那么4b 2
－3b>0 ,解
得b<0或b>3
4
.
9. 写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题 ,并判断其真假． (1) 全等三角形一定相似；
(2) 末位数字是零的自然数能被5整除．
解：(1) 逆命题：假设两个三角形相似 ,那么它们全等 ,为假命题；否命题：假设两个三角形不全等 ,那么它们不相似 ,为假命题；逆否命题：假设两个三角形不相似 ,那么它们不全等 ,为真命题．
(2) 逆命题：能被5整除的自然数末位数字是零 ,为假命题；否命题：末位数字不是零的自然数不能被5整除 ,为假命题；逆否命题：不能被5整除的自然数末位数字不是零 ,为真命题.
10. 设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0 ,条件q ：x 2
－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0 ,假设綈p 是綈q
的充分不必要条件 ,求实数a 的取值范围．
解：条件p 为1
2≤x ≤1 ,条件q 为a≤x≤a＋1. p 对应的集合A ＝
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x|x>1或x<12 ,q 对应的集合B ＝{x|x>a ＋1或x<a}．
∵ p 是q 的充分不必要条件 ,∴ B 真属于A ,
∴ a ＋1>1且a≤12或a ＋1≥1且a<1
2
.
∴ 0≤a ≤1
2
.故a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
0 12.
11. 集合A ＝{x|x 2－3x ＋2≤0} ,集合B 为函数y ＝x 2－2x ＋a 的值域 ,集合C ＝{x|x 2
－ax －4≤0} ,命题p ：A ∩B ≠；命题q ：A C.
(1) 假设命题p 为假命题 ,求实数a 的取值范围； (2) 假设命题p∧q 为真命题 ,求实数a 的取值范围．
解：(1) A ＝[1 ,2] ,B ＝[a －1 ,＋∞) ,假设p 为假命题 ,那么A∩B＝ ,故a －1>2 ,即a>3.故a 的取值范围为(3 ,＋∞)．
(2) 假设命题p∧q 为真命题 ,那么p 和q 都为真命题．命题p 为真 , ,即转化为当
x∈[1 ,2]时 ,f(x)＝x 2
－ax －4≤0恒成立．
(解法1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1 )＝1－a －4≤0
f (2 )＝4－2a －4≤0 解得a≥0.
(解法2)当x∈[1 ,2]时 ,a ≥x －4x 恒成立 ,而x －4x 在[1 ,2]上单调递增 ,故a≥⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －4x max
＝0. 综上 ,a 的取值范围为[0 ,3]．。