八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法

八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法
一：连接两点构造三角形的中位线
1．如图，点B为A C上一点，分别以A B，B C为边在A C同侧作等边三角形A B D和等边三角形B C E，点P，M，N分别为A C，A D，C E的中点．
(1)求证：P M＝P N；
解：证明：如图，连接C D，A E.由三角形中位线定理可得P M綊1/2C D，P N綊1/2A E.
∵△A B D和△B C E是等边三角形，
∴A B＝D B，B E＝B C，∠A B D＝∠C B E＝60°，
∴∠A B E＝∠D B C.∴△A B E≌△D B C，∴A E＝D C.
∴P M＝P N.
(2)求∠M P N的度数．
解：如图，设P M交A E于F，P N交C D于G，A E交C D于H.由(1)知△A B E≌△D B C，
∴∠B A E＝∠B D C.
∴∠A H D＝∠A B D＝60°，∴∠F H G＝120°.
易证四边形P F H G为平行四边形，
∴∠M P N＝120°.
二：利用角平分线＋垂直构造中位线
2．如图在△A B C中，点M为B C的中点，A D为△A B C的外角平分线，且A D⊥B D，若A B＝12，A C＝18，求D M的长．
解：如图，延长B D，C A交于N.
在△A N D和△A B D中，
∠A D N＝∠A D B＝90°，
∴△A N D≌△A B D(A S A)．
∴D N＝D B，A N＝A B.
∴D M＝1/2N C＝1/2(A N＋A C)＝1/2(A B＋A C)＝15.
3．如图，在△A B C中，已知A B＝6，A C＝10，A D平分∠B A C，B D⊥A D于点D，点E为B C的中点，求D E的长．
解：如图，延长B D交A C于点F，
∵A D平分∠B A C，
∴∠B A D＝∠C A D.
∵B D⊥A D，∴∠A D B＝∠A D F，
又∵A D＝A D，∴△A D B≌△A D F(A S A)．
∴A F＝A B＝6，B D＝F D.
∵A C＝10，∴C F＝A C－A F＝10－6＝4.
∵E为B C的中点，∴D E是△B C F的中位线．
∴D E＝1/2C F＝1/2×4＝2.
三：倍长法构造三角形的中位线
4．如图，在△A B C中，∠A B C＝90°，B A＝B C，△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，M为A F的中点，求证：M E＝1/2C F.
解：证明：如图，延长F E至N，使E N＝E F，
连接B N，A N.易得M E＝1/2A N.
∵E F＝E N，∠B E F＝90°，
∴B E垂直平分F N.∴B F＝B N.
∴∠B N F＝∠B F N.
∵△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，
∴∠B F N＝45°.∴∠B N F＝45°，
∴∠F B N＝90°，即∠F B A＋∠A B N＝90°.
又∵∠F B A＋∠C B F＝90°，
∴∠C B F＝∠A B N.
在△B C F和△B A N中,
B C＝B A
∴△B C F≌△B A N.
∴C F＝A N.∴M E＝1/2A N＝1/2C F.
四：已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
5．如图，在四边形A B C D中，M、N分别是A D、B C的中点，若A B ＝10，C D＝8，求M N长度的取值范围．
解：如图，取B D的中点P，连接P M，P N.
解：证明：如图，取A B的中点H，
连接M H，N H，则M H＝1/2B F，N H＝1/2A E.
解：证明：如图，取N C的中点H，连接D H，过点H作H E∥A D，交B N的延长线于E.
∵A B＝A C，A D⊥B C，
∴D为B C的中点．
又∵H为N C的中点，
∴D H∥B N.
又∵P D∥E H，∴四边形P D H E是平行四边形．∴H E＝P D.又∵P为A D的中点，
∴A P＝P D.
∴A P＝E H，
易证△A P N≌△H E N，∴A N＝N H.
∴A N＝N H＝H C，∴A N=1/2A C.。