高考物理一轮复习第五章微专题32双星和多星问题

双星和多星问题
1．考点及要求：(1)万有引力定律应用(Ⅱ)；(2)力合成与分解(Ⅱ)；(3)匀速圆周运动向心力(Ⅱ).2.方法与技巧：(1)“双星问题〞隐含条件是两者向心力一样、周期一样、角速度一样；双星中轨道半径与质量成反比；(2)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需向心力是由它
们之间万有引力合力提供，即F 合＝m v 2
r
，以此列向心力方程进展求解．
1．(双星问题)(多项选择)宇宙中两颗相距很近恒星常常组成一个系统，它们以相互间万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同圆心做匀速圆周运动，假设它们运转周期为T ，两星到某一共同圆心距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星质量关系是( ) A ．这两颗恒星质量必定相等 B ．这两颗恒星质量之和为
4π
2
R 1＋R 23
GT 2
C ．这两颗恒星质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1
D ．其中必有一颗恒星质量为
4π
2
R 1＋R 23
GT 2
2．(多星问题)宇宙间存在一些离其他恒星较远三星系统，其中有一种三星系统如图1所示，三颗质量均为m 星位于等边三角形三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，以下说法正确是( ) 图1
A ．每颗星做圆周运动角速度为 3Gm
L
3
B ．每颗星做圆周运动加速度与三星质量无关
C ．假设距离L 和每颗星质量m 都变为原来2倍，那么周期变为原来2倍
D ．假设距离L 和每颗星质量m 都变为原来2倍，那么线速度变为原来4倍
3．(多项选择)宇宙间存在一个离其他星体遥远系统，其中有一种系统如图2所示，四颗质量均为m 星体位于正方形顶点，正方形边长为a ，忽略其他星体对它们引力作用，每颗都在同一平面内绕正方形对角线交点O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，那么( ) 图2
A ．每颗星做圆周运动线速度大小为
1＋
24Gm
a
B ．每颗星做圆周运动角速度大小为
Gm 2a
3 C ．每颗星做圆周运动周期为2π
2a
3
Gm
D ．每颗星做圆周运动加速度与质量m 有关
4．2002年四月下旬，天空中出现了水星、金星、火星、木星、土星近乎直线排列“五星连珠〞奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是T 1和T 2，而且火星离太阳较近，它们绕太阳运动轨道根本上在同一平面内，假设某一时刻火星和木星都在太阳同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长时间将第二次出现这种现象( ) A.
T 1＋T 2
2
B.T 1T 2
C.T 1T 2
T 2－T 1
D. T 21＋T 2
2
2
5．宇宙中存在一些离其他恒星较远两颗星组成双星系统，通常可忽略其他星体对它们引力作用．双星系统中星体1质量为m ，星体2质量为2m ，两星体相距为L ，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G .求该双星系统运动周期．
6．宇宙中存在质量相等四颗星组成四星系统，这些系统一般离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们引力作用．四星系统通常有两种构成形式：一是三颗星绕另一颗中心星运动(三绕一)，二是四颗星稳定地分布在正方形四个顶点上运动．假设每个星体质量均为m ，引力常量为G .
(1)分析说明三绕一应该具有怎样空间构造模式．
(2)假设相邻星球最小距离为a ，求两种构成形式下天体运动周期之比．
答案解析
1．BC [对m 1有：G m 1m 2R 1＋R 2
2
＝m 1R 1
4π
2
T 2
，解得m 2＝
4π2R 1R 1＋R 2
2
GT 2
，同理可得m 1＝
4π2
R 2R 1＋R 2
2
GT 2
，故两者质量不相等，应选项A 错误；将两者质量相加得m 1＋m 2＝
4π2
R 1＋R 23
GT 2，应选项B 正确；m 1∶m 2＝R 2∶R 1，应选项C 正确；两者质量之和为
4π
2
R 1＋R 23
GT 2
，那么不可能其中一个质量为
4π
2
R 1＋R 23
GT 2
，应选项D 错误．]
2．C [
任意两星间万有引力F ＝G m 2
L
2，对任一星受力分析，如下图．由图中几何关系和牛顿第二定律
可得：3F ＝ma ＝mω
2
L
3
，联立可得：ω＝ 3Gm
L
3
，a ＝ω
2
L
3
＝
3Gm
L 2
，选项A 、B 错误；由
周期公式可得：T ＝2π
ω
＝2π
L 3
3Gm ，当L 和m 都变为原来2倍，那么周期T ′＝2T ，选项C 正确；由速度公式可得：v ＝ω
L
3＝
Gm
L
，当L 和m 都变为原来2倍，那么线速度v ′＝v ，选项D 错误．]
3．AD [由星体均围绕正方形对角线交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动轨道半径r ＝
2
2
a ，每颗星体在其他三个星体万有引力合力作用下围绕正方形对角线交点做匀速圆
周运动，由万有引力定律和向心力公式得：G
m 22a
2
＋2G m 2a 2cos 45°＝m v 2
2
2
a
，解得v ＝1＋
24Gm a ，角速度为ω＝v
r ＝
2＋
22Gm a 3，周期为
T ＝2π
ω
＝2π
2a
3
4＋2Gm
，加速度a ＝v 2r ＝22＋1Gm
2a 2
，应选项A 、D 正确，B 、C 错误．] 4．C [根据万有引力提供向心力得：GMm r 2＝m 4π2r T 2，解得T ＝2π r 3
GM
，火星离太阳较近，
即轨道半径小，所以周期小．设再经过时间t 将第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周
运动物体追及相遇问题，虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快物体比运动较慢物体多运行2π弧度．所以2πT 1t －2πT 2t ＝2π，解得t ＝T 1T 2
T 2－T 1，选项C 正确．]
5．2πL
L
3Gm
解析 双星系统围绕两星体间连线上某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R ，距星体2为r
对星体1，有G 2mm L 2＝m 4π
2
T
2R
对星体2，有G 2mm L
2＝2m 4π
2
T
2r
根据题意有R ＋r ＝L ，由以上各式解得T ＝2πL
L 3Gm
6．(1)见解析 (2) 4＋2
3－3
4
解析 (1)三颗星绕另一颗中心星运动时，其中任意一个绕行星球受到另三个星球万有引力合力提供向心力，三个绕行星球向心力一定指向同一点，且中心星受力平衡，由于星球质量相等，具有对称关系，因此向心力一定指向中心星，绕行星一定分布在以中心星为中心等边三角形三个顶点上，如图甲所示．
(2)对三绕一模式，三颗星绕行轨道半径均为a ，所受合力等于向心力，因此有
2G m 23a 2
cos 30°＋G m 2a 2＝m 4π2
T 21a 解得T 21
＝
2
3－3π2a
3
Gm
对正方形模式，如图乙所示，四星轨道半径均为
2
2
a ，同理有
2G m 2
a
2cos 45°＋G m 22a
2
＝m 4π
2
T 2
2
·
22
a 解得T 22
＝
4
4－2π2a
3
7Gm
故T 1T 2
＝ 4＋2
3－3
4。