第13章 景区灭火问题

第十三章 带入数据，运用MATLAB拟合出图像，程序如下： clc,clear,close all load('data1.mat') x1 = [data1(2,1:end-1),data1(8,1:4)]; y1 = [data1(3,1:end-1),data1(9,1:4)]; x2 = [data1(8,5:end-1),data1(14,1:end)]; y2 = [data1(9,5:end-1),data1(15,1:end)];
第十三章 表13- 3 图形提取数据点
x y z 0 0 204 319 354 14 16 29 0 0 0 240 512
Matlab数学建模案例分析
1 1
0 0 0
99 110 245 9
250 512
433 111
254 196 330 256 408 69
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第十三章
Matlab数学建模案例分析
第13章 景区灭火问题
第十三章
Matlab数学建模案例分析
本文主要采用数据拟合和插值的方法修复图像最终比较取吻合得最好的图
像；根据等高线图构建Delaunay三角网采用三角形插值的方法由已知点的坐
标插值出其他点空间坐标，从而拟合出一个三维的地图形；利用梯度下降最 快的方法和空间自由曲面两点最短距离和最短路径建立最优途径模型 , 利用
路径就是最佳灭火路线如图13-17所示。
第十三章 13.2 问题提出
Matlab数学建模案例分析
某国家级森林公园的地形等高图如图 13-1所示。由于该风景区植被丰富 ，拥有大量的国家级重点保护动植物，因此旅游管理部门在图 13-1 的A点 设置了景区消防站，当景区发生火灾时能及时控制和消灭火情。
图13- 1 等高图
值的结果效果要好一些，构建了三维地形图符合等高线的规律，生成的
三维图形如图13-13所示。通过对三维图形进行放大处理，构建分块计算 法法模型，利用MATLAB计算出表面积面积为S=2.3788e+05。
问题三中，根据题意知最佳灭火路线为路程最短路线即为地形图上梯
度下降最快的方向，则问题转化为函数已知点按最大速度下降原理求解 函数的最小值一个迭代问题。采用Dijkstra算法进行求解，由这些点构成
第十三章
Matlab数学建模案例分析
说明：
（1）该图水平及竖直方向以10m每像素为单位，山高以50m为单位。
（2）实际图形见附件，为512×512像素。 请你利用所学数学知识回答以下问题：
（1 ）由于人为原因，图13-1所示的等高图出现了局部破损的情况（共5
处），请利用数学模型修补好该地图； （2）在完成第一问的基础上，结合数学模型建立该景区的三维地形图，
yi 利用Newton插值：
195
196
197
200
201
201
200
200
199
199
2 ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1] ( x x0 )( x x1) f [ x0 , x1, x2 ]
for i=114:247 y1(1,j)=interp1(x,y,i,'cubic'); j=j+1; end
图13- 12 等高线图
第十三章 用Hermite插值法进行三次插值生成的三维图见图13-13所示。
Matlab数学建模案例分析
plot([y1,y2],[x1,x2],'b.')
a = polyfit([y1,y2],[x1,x2],2); y = min([y1,y2])-10:max([y1,y2])+10; x = a(1)*y.^2+a(2)*y+a(3); hold on plot(y,x,'r.--','linewidth',2)
Matlab数学建模案例分析
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
图13- 10 散点图
第十三章
Matlab数学建模案例分析
图13- 11 伪彩色图
第十三章
Matlab数学建模案例分析
400 350 300 250 200 150 100 50 0 -50 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
表13- 2 等高线上的点
xi yi xi yi xi yi xi 114 133 139 153 178 177 208 115 135 140 155 179 178 211 118 137 151 161 180 179 212 120 139 153 162 189 184 221 122 139 162 168 190 185 229 123 140 164 169 191 186 231 125 143 165 170 193 187 236 127 144 166 171 194 188 239 135 151 177 176 204 193 240 137 152 247 198 206 194 245
…………………… …………………… ……………………
第十三章 （2）运用分块计算法
Matlab数学建模案例分析
图13- 5 图形分块
图13- 6 斜面梯形
图13- 7 Delaunay三角网
第十三章 画出其散点图如图13-10所示。
400 350 300 250 200 150 100 50 0 50
第十三章
Matlab数学建模案例分析
问题二中，首先从处理后的图中提取出只含有等高线的地图。然后从 等高线中提取若干离散的数据点，利用Delaunay三角网对提取的离散数据
点进行三维建模，然后分别利用线性插值和三次 Hermite插值算法重建了
三维地形图。最后利用 MATLAB对算法进行了检验，并对线性插值和三 次Hermite插值的结果进行了比较，从所得结果来看，利用三次Hermite插
第十三章
Matlab数学建模案例分析
图13- 2 去标记后的等高线图
Leabharlann Baidu
要想把问题解决好，还需对等高线有所了解。在地图上，把陆地表面海 拔高度相等的各点连接成的线，叫等高线。把地面上海拔高度相同的点连 成的闭合曲线。垂直投影到一个标准面上，并按比例缩小画在图纸上，就 得到等高线。等高线也可以看作是不同海拔高度的水平面与实际地面的交 线，所以等高线是闭合曲线。
第十三章
Matlab数学建模案例分析
通过对图像分析，等高线破损处前后提取数据，整理计算如表13-1所示。 表13- 1 37个数据点
i xi yi r1(x) r2(x) r3(x) i xi yi r1(x) r2(x) r3(x) i xi yi r1(x) r2(x) r3(x) 0 222 46 1 222 49284 12 165 71 1 165 27225 24 178 153 1 178 31684 1 217 47 1 217 47089 13 161 74 1 161 25921 25 188 158 1 188 35344 2 212 48 1 212 44944 14 157 79 1 157 24649 26 191 160 1 191 36481 3 207 49 1 207 42849 15 154 82 1 154 23716 27 195 162 1 195 38025 4 201 51 1 201 40401 16 146 115 1 146 21316 28 204 166 1 204 41616 5 197 53 1 197 38809 17 147 120 1 147 21609 29 209 168 1 209 43681 6 192 55 1 192 36864 18 150 125 1 150 22500 30 211 169 1 211 44521 7 185 58 1 185 34225 19 153 130 1 153 23409 31 220 171 1 220 48400 8 182 60 1 182 33124 20 156 134 1 156 24336 32 224 171 1 224 50176 9 178 62 1 178 31684 21 163 140 1 163 26569 33 227 172 1 227 51529 10 173 65 1 173 29929 22 170 147 1 170 28900 34 231 172 1 231 53361 11 168 68 1 168 28224 23 171 152 1 171 29241 35 236 173 1 236 53396 36 243 173 1 243 59049
第十三章
260
Matlab数学建模案例分析
240
220
200
180
160
140
120 20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
其拟合函数为：
图13- 3 数据拟合图
x 0.020442 y 2 4.3788 y 373.48
第十三章 13.6.2 模型的求解
Matlab数学建模案例分析
393
54
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
512 245
512 512 126 111 254 28
0
0 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
435 114 463 171 489 209 500 241 492 304 458 341 405 343 204 319 354 14 16 29
501 257 412 345 112 354 223 232 276 306 206 359 122 171 204 319 53 25 14 16
400 111 254 182 352 256 408 166 468 258 411 323 143 339 218 263 256 307 206 350
并估计该景区的地表面积；
（3 ）某天图13-1 所示的B点发生了火灾，于是需要从景区消防站 A 派遣 消防员去B点灭火，建立模型确定最佳灭火路线。
第十三章 13.4 符号说明
Matlab数学建模案例分析
第十三章 13.5 问题分析
Matlab数学建模案例分析
森林在国民经济中占有重要地位，它不仅能提供国家建设和人民生活所 需的木材及林副产品，而且还肩负着释放氧气、调节气候、涵养水源、保 持水土、防风固沙、美化环境、净化空气、减少噪音及旅游保健等多种使 命。同时，森林还是农牧业稳产高产的重要条件。然而，森林火灾会给森 林带来严重危害。森林火灾位居破坏森林的三大自然灾害（病害、虫害、 火灾）之首。它不仅给人类的经济建设造成巨大损失，破坏生态环境，而 且还会威胁到人民生命财产安全。具体表现在如下的几个方面： （1）烧毁林木；（2）烧毁林下植物资源；（3）危害野生动物；（4） 引起水土流失； （5）使下游河流水质下降；（6）引起空气污染；（7）威胁人民生命财 产安全。 所以说当森林火灾发生时，合理救援是减小损失的最有利的途径，合理 救援即为消防人员用最少的时间到达事故发生地灭火，减少财产损失，故 要从消防站A到着火处B的路程最少，时间最少才能达到减小损失的目的。 修复点等高线上的5出局部破损的情况，但修复时等高线上的数字 1,2,3…8 和字母A 、B会影响对数据的读取，所以通过图形编辑器对图形进 行初步处理得到13-2所示。
第十三章
Matlab数学建模案例分析
13.7 问题二的分析
图13- 4 修复后图像
首先根据数字图像处理方面的技术和方法，从原图中提取了只含有等高线的图。然后 以图像的两边分别为x轴和y轴，垂直图像的方向为z轴建立空间坐标系。则等高线上每点 的空间坐标都是已知的。根据题目要求要生成整个的三维地图，即要求出图像上其他各 点的三维空间坐标。本文采用三角形插值的方法由已知点的坐标插值出其他点空间坐标 ，从而拟合出一个三维的地图形。再根据像素把图形放大到实际大小，建立微分模型， 计算出景区地表表面积。
FSPFFS和DIJKSTRA算法求出最佳灭火路线，并做比较得到相对较好的最佳
灭火路径。 问题一中，首先确定目标：修补好该破损地图。我们根据数字图像处理等
有关技术，将格式为bmp的二值图像转化以含0（黑色）和1（白色）的逻辑
矩阵，通过取点构建一维插值和函数拟合模型修复出破损的函数并比较和原 图像的吻合性选取最优修复图如图13-4所示。