近世代数复习题

近世代数复习题
例1 :写出剩余类加群Z15的
(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}
(2) 全部⽣成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}
(3) 全部⼦加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,
[3]={ [0], [3], [6], [9], [12]} = [6]= [9]= [12].
(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],
-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].
(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]), ([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).
(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}
(7) 全部零因⼦；{ [3], [5], [9], [10], [12]}
(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。

因为有零因⼦。

⼀、选择题
1、设实数在有理数域Q上的极⼩多项式f(x)的次数为n, 则可以⽤圆规直尺作图作出的条件是(A)
(A) n是2的⽅幂；
(B) n是素数；
(C) n是素数的⽅幂；
(D) n>2。

2、设H是群G的正规⼦群，商群G/H中的元素是(C)
(A) H中的元素；
(B) G\H中的元素；
(C) G 关于H 的所有右陪集；
(D) H 的所有共轭1Hg -g.
3、设是环同态, 则同态的核是 (D)
(A) Ker(?)={a ∈S: 有 ?b ∈R, 使得 ?(b )=a }；
(B) Ker(?)={a ∈R: ? (a )=a }；
(C) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=1}；
(D) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=0}。

4、设I 是交换环R 的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是(B)
(A) R ⼀定是特征为3的域;
(B) 商环R/I 中有27个元素;
(C) R 可能是域且I 是R 的⼦域，[R : I]=3;
(D) 商环R/I ⼀定是特征为3的域。

⼆、简答题
5、剩余类环 Z6 是域吗？为什么？
答：Z6不是域。

因为6不是素数。

（或：因为Z6中有零因⼦[2][3]=[0]；或：因为[2]没有逆元。

）
6、环R 的含有单位元的理想有多少个？为什么？
答：只有⼀个。

因为，设I 是R 的任⼀理想，若单位元1∈I ，则??a ∈R ，由理想的吸收性，则 a =a 1 ∈ I ，故必I=R 。

所以，R 的含有单位元的理想只有⼀个，就是R 。

7、300阶群G 有7阶元吗? 为什么？
答：没有。

因为，假如G 有7阶元，
S R →:?
由Largrange 定理，则7 | |G|=300，⽭盾。

8、x 3-2-是实数 -1 在有理域上的极⼩多项式吗？为什么？答：不是。

因为实数， - 1不是x 3-2的根。

9、设有限域F 含有343个元素，说明Z7是F 的素域。

答：因为|F|=343=73，可知F 的特征是7，因⽽Z7是F 的素域。

10、把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表⽰为不相交的轮换的乘积
解：(1365)(3457)(7215)=(17234)(56)
11、计算20072007 (mod 5)
解：2007≡2 (mod 5 )
2007?2007=20074×501+3≡24×501 23 ≡3(mod 5).
12、设f (x )=x 4+x +1∈Z 2[x ],
(1) 求Z 2[x ]中所有⼀次和⼆次不可约多项式;
(2) 证明: f (x )在Z 2[x ]中不可约;
(1) 求Z 2[x]中所有⼀次和⼆次不可约多项式;
解: (1) Z 2[x ]中的⼀次和⼆次多项式只有
x , x +1, x 2 + x + 1, x 2, x 2 + x , x 2 + 1,
其中 x 2 和 x 2+x 显然是可约的, x 2+1= ( x +1) 2 也是可约的,
⽽⼆次多项式 x 2+x +1 在Z 2上没有根, 故不可约.
所以, Z 2[x ] 中的⼀次和⼆次不可约多项式只有:
x , x + 1, x 2 + x + 1.
(2) 证明: f (x ) )=x 4+x +1在Z2[x ]中不可约;
证明. 容易验证, f (x )在Z2上没有根,
3
232
因⽽, 由?( f(x))=4知, f(x)没有⼀次和三次因式.
假设f(x) 是可约的, 则f(x) 只有⼆次不可约因式,
由(1), 即有f(x)= (x2+x+1) 2 = x4+x2+1= x4+x+1= f(x),
⽭盾. 所以, f(x) 在Z2[x] 中不可约。

13、13、设G是群, Z(G)={a∈G: ?g?∈G, g a=a g}是G的中⼼. 证明:
(1) Z(G)是G的正规⼦群;
(2) 如果商群G/Z(G) 是循环群, 则G是交换群。

(1) 证明: 任取?a, b∈Z(G), ?g∈G, 由Z(G)的定义有
ga=ag, bg=gb, 于是
b-1-g = g b-1-, ab-1-g = agb-1- =-gab-1- ,
从⽽得ab -1-∈Z(G), 即Z(G)是G的⼦群.
在由Z(G)的交换性, 易知Z(G)是G的正规⼦群.
(2) 如果商群G/Z(G) 是循环群, 则G是交换群。

证明: 若G/Z(G)是循环群, 则有g∈G 使得G/Z(G)=. ??x, y ∈G, 有正整数k使得x Z(G) = (gZ(G))k = gk Z(G),从⽽有a ∈Z(G) 使得x= gk a.
同理, 有正整数l ∈N 和b ∈Z(G) 使得y = gl b.
于是由Z(G)的交换性有
xy =gk a gl b = gk gl ab = gl gk ba = gl b gk a = yx.
所以, G是交换群.
14、证明：模n 的剩余类环Z n 的每个⼦加群都是理想。

证明：设I是Z n的任⼀⼦加群，
[x]∈I，[m]?∈ Z n，[x][m]= | m |个[x]相加，⽽I关于加运算封闭，故[x][m] ∈ I。

所以，I 是Z n 的理想。

15、就你所知, 《近世代数学》在科研⼯作和⽣产实践中都有哪些应⽤？
答: 就本教材中所介绍, 《近世代数学》在科研⼯作和⽣产实践中的应⽤有:
①群论在物理学、化学、组合计算中的应⽤；
②有限域在计算机科学和密码技术中的应⽤；
③从群论观点对⼏何学进⾏分类；
④域的扩张理论否定了古希腊三⼤⼏何作图难题；
⑤复数域的存在性论证。

⼀、回答下列问题：
1、列出剩余类加群Z10的全部元素；
2、写出加法群Z10的全部⽣成元、全部⼦群；
3、写出剩余类环Z10的全部理想；
4、写出剩余类环Z10的全部可逆元、全部零因⼦；
5、Z10是域吗？说明理由。

⼆、简答题
6、7阶群的⼦群共有多少个?为什么?
答：因为7是素数，所以它的⼦群只有单位群和它本⾝，由lagrange 定理知它只有两个⼦群。

7、除环的理想有多少个?为什么?
答：除环的理想有两个，零理想和它本⾝
8、商环Q[x]/(x2+x+1)是域吗?为什么?。

答：x2+x+1在有理数上不可约，所以它是域。

9、设N是有限群G的正规⼦群,商群G/N与三次对称群S3同构,N≌Z11。

说明: 22 | |G|.答：因为S3的阶为6，Z11的阶为11，Zn有n个元素，|G|=6×11=66,所以22︱|G|。

10、有锐⾓的棱形的对称性群是⼏阶群?
三、计算题
11、复数域C作为实数域R的扩域，求次数[C : R]. [C : R]=2
12、计算20082008(mod 7).
13、把置换ρ=(41536)(3745)(2175)表⽰为不相交的轮换的乘积。

14、如果域E的乘法⼦群E*=E\{0}有⼀个13阶⼦群H, 且[E*:H]=2, 求|E|和域E的特征。

答：|H|=13，|E*|=|E*:H||H|=2×13=26，
所以|E|=27=33，所以E的特征为3.
四、证明题
15、证明：有限域E的特征数p | |E|.
16、设G = ,|a|=n. 证明：G是单群当且仅当n是素数.
17、设GL n(R)是实数域R上的⼀般线性群,
S L n GL (R)={A n(R): |A| = 1}. 证明：
SL n(R)是GL n(R)的正规⼦群;。