2021年江苏省南通市中考数学模拟试卷有答案

2021年江苏省南通市中考数学模拟试卷
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A.
B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A.2a 3⋅3a 2=6a 6
B.(−x)3n ÷(−x)2n =−x n
C.(a +b)3=a 3+b 3
D.(−x 3)4=x 12
3. 有11位同学参加学校举行的歌唱比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不会发生变化的是（ ）
A.中位数
B.平均数
C.众数
D.方差
4. 式子√2x+1x−1
有意义的x 的取值范围是（ ） A.x ≥−12且x ≠1 B.x ≠1
C.x ≥−12
D.x >−12且x ≠1
5. 点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)都在直线y =kx +2(k <0)上，且x 1<x 2，则y 1，y 2的大小关系是( )
A.y 1= y 2
B.y 1 <y 2
C.y 1 >y 2
D.y 1 ≥y 2
6. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，CD 是AB 边上的中线，AC =8，BC =6，则∠ACD 的正切值是( )
A.43
B.35
C.53
D.34
7. 如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110∘，则∠α＝（）
A.70∘
B.110∘
C.120∘
D.140∘
8. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，则△ODE与△AOB的面积比为（）
A.1:2
B.1:3
C.1:4
D.1:5
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A.abc>0
B.b2−4ac<0
C.9a+3b+c>0
D.c+8a<0
10. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是()
A. B. C. D.
11. 舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿
千克，这个数用科学记数法应表示为________．
12. 因式分解：3x3−6x2y+3xy2=________．
13. 已知A(m, 3)、B(−2, n)在同一个反比例函数图象上，则m
n
=________．
14. 分式方程3−2x
x−2+2
2−x
=1的解为________．
15. 如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为________．
16. 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金
8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方
程组为________．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为________．
18. 如图，点A在双曲线y=4
x 上，点B在双曲线y=k
x
(k≠0)上，AB // x轴，过点A作
AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为________．
19. （1）先化简，再求值：(2−x−1x+1)÷
x 2+6x+9x 2−1，其中x ＝2． 19. （2）计算：|√3−2|+20100−(−13)−1+3tan 30∘．
20. 解方程：
（1）x 2−8x +1＝0
（2）x x−3−3
x 2−9=1
（3）解不等式组{x−32+3≥x 1−3(x −1)<8−x
21. “端午节”所示我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不用口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D 粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或
画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是C粽的概率．
22. 在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/m2下降到12
月份的11340元/m2．
(1)求11，12两月平均每月降价的百分率是多少？
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均
价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．
23. 小亮一家到桃林口水库游玩．在岸边码头P处，小亮和爸爸租船到库区游玩，妈妈
在岸边码头P处观看小亮与爸爸在水面划船，小船从P处出发，沿北偏东60∘方向划行，划行速度是20米/分钟，划行10分钟后到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处，
在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37∘的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？（精确到1m，参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√2≈1.41，√3≈1.73）
24. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60∘．
求证：△ADC∽△DEB．
̂上一点E作
25. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过BD
EG // AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．
26. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=CF．
(1)求证：△BOE≅△DOF；
(2)若BD=EF，连接DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论．
27. 已知点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段OB的长是方程x2−2x−8=0
．
的解，tan∠BAO=1
2
(1)求点A的坐标；
(2)点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE= 16．若反比例函数y=k
的图象经过点C，求k的值；
x
(3)在(2)条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28. 如图①已知抛物线y＝ax2−3ax−4a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点（A在B 的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点E．
（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为________，点A的坐标为________；
（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如图②Q(m, 0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2021年江苏省南通市中考数学模拟试卷
一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）
1.
【答案】
A
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
根据中心对称图形的定义旋转180∘后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【解答】
A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
2.
【答案】
D
【考点】
同底数幂的除法
单项式乘单项式
幂的乘方与积的乘方
【解析】
直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式和单项式除法运算法则计算得出答案．
【解答】
解：A、2a3⋅3a2=6a5，故此选项错误；
B、(−x)3n÷(−x)2n=(−x)n，故此选项错误；
C、(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2，故此选项错误；
D、(−x3)4=x12，故此选项正确.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
众数
中位数
算术平均数
方差
【解析】
根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数，可以得到去掉一个最高分和
一个最低分不影响中位数．
【解答】
中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数，
所以去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
4.
【答案】
A
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【解答】
由题意，得
2x+1≥0且x−1≠0，
且x≠1，
解得x≥−1
2
5.
【答案】
C
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
一次函数图象与系数的关系
【解析】
根据直线系数k<0，可知y随x的增大而减小，x1<x2时，y1>y2．
【解答】
解：∵直线y=kx+b中k<0，
∴函数y随x的增大而减小，
∴当x1<x2时，y1>y2．
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
解直角三角形
直角三角形斜边上的中线
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．【解答】
解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠ACB=90∘，BC=6，AC=8，
∴tan∠A=BC
AC =6
8
=3
4
，
∴tan∠ACD的值3
4
．
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
圆周角定理
【解析】
作AB
̂所对的圆周角∠ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠ADB＝70∘，然后根据圆周角定理求解．
【解答】
作AB
̂所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180∘，
∴∠ADB＝180∘−110∘＝70∘，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140∘．
8.
【答案】
A
【考点】
三角形的中线
平行四边形的性质
【解析】
由题意可得：S△AOB＝S△COD，由点E是CD中点，可得S△ODE=1
2S△COD=1
2
S△AOB．即可
求△ODE与△AOB的面积比．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO，
∴S△AOB=S△BOC，S△BOC=S△COD．∴S△AOB=S△COD．
∵点E是CD的中点
∴S△ODE=1
2S△COD=1
2
S△AOB．
∴△ODE与△AOB的面积比为1:2.
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据二次函数的图象求出a<0，c>0，根据抛物线的对称轴求出b＝−2a>0，即可得出abc<0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2−4ac>0；对称轴是直线x=1，
与x轴一个交点是(−1, 0)，求出与x轴另一个交点的坐标是(3, 0)，把x=3代入二次函
数得出y=9a+3b+c=0；把x=4代入得出y=16a−8a+c=8a+c，根据图象
得出8a+c<0．
【解答】
解：A，∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a<0，c>0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴−b
=1，
2a
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故本选项错误；
B，∵图象与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故本选项错误；
C，∵对称轴是直线x=1，与x轴一个交点是(−1, 0)，
∴与x轴另一个交点的坐标是(3, 0)，
把x=3代入二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得：y=9a+3b+c=0，故本选项错误；
D，∵当x=3时，y=0，
∵b=−2a，
∴y=ax2−2ax+c，
把x=4代入得：y=16a−8a+c=8a+c<0，故本选项正确.
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质与判定
动点问题
函数的图象
【解析】
根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即(3<x≤5)，据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．
可判断出y=12
x
【解答】
解：(1)当点P在AB上移动时，
点D到直线PA的距离为：
y=DA=BC=4(0≤x≤3)．
(2)如图1，当点P在BC上移动时，
，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=√32+42=5，
∵∠PAB+∠DAE=90∘，∠ADE+∠DAE=90∘，∴∠PAB=∠ADE，
在△PAB和△ADE中，
{∠PAB=∠ADE，∠ABP=∠DEA，
∴△PAB∼△ADE，
∴PA
AD =AB
DE
，
∴x
4=3
y
，
∴y=12
x
(3<x≤5)．
综上，可得y关于x的函数大致图象是：
．
故选D．
二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）
11.
【答案】
4.995×1010
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】
499.5亿＝49950000000＝4.995×1010．
12.
【答案】
3x(x−y)2
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
先提公因式3x，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】
解：3x3−6x2y+3xy2
=3x(x2−2xy+y2)
=3x(x−y)2.
故答案为：3x(x−y)2.
13.
【答案】
−2 3
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
设反比例函数解析式为y=k
x
(k为常数，k≠0)，根据反比例函数图象上点的坐标特征
得到k＝3m＝−2n，即可得m
n
的值．
【解答】
解：设反比例函数解析式为y=k
x
，
根据题意得：k=3m=−2n，
∴m
n =−2
3
.
故答案为：−2
3
.
14.
【答案】
x＝1
【考点】
解分式方程
【解析】
根据解分式方程的步骤，即可解答．
【解答】
方程两边都乘以x−2，得：3−2x−2＝x−2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x−2＝1−2＝−1≠0，
所以分式方程的解为x＝1，
15.
【答案】
(1, √3)
【考点】
等边三角形的性质
坐标与图形性质
【解析】
过B作BD⊥OA于D，则∠BDO＝90∘，根据等边三角形性质求出OD，根据勾股定理求出BD，即可得出答案．
【解答】
解：过B作BD⊥OA于D，则∠BDO=90∘，
∵ △OAB 是等边三角形，
∴ OD =AD =12OA =12×2=1， 在Rt △BDO 中，由勾股定理得：BD =√22−12=√3，
∴ 点B 的坐标为(1, √3).
故答案为：(1, √3).
16.
【答案】
{5x +2y =10,2x +5y =8
【考点】
由实际问题抽象出二元一次方程组
【解析】
根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【解答】
解：设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，
根据题意得：{5x +2y =10,2x +5y =8.
故答案为：{5x +2y =10,2x +5y =8.
17.
【答案】 2√10−2
【考点】
点与圆的位置关系
圆周角定理
勾股定理
【解析】
由AE ⊥BE 知点E 在以AB 为直径的半⊙O 上，连接CO 交⊙O 于点E′，当点E 位于点E′位置时，线段CE 取得最小值，利用勾股定理可得答案．
【解答】
解：如图，
∵ AE ⊥BE ，
∴ 点E 在以AB 为直径的半⊙O 上，
连接CO 交⊙O 于点E′，
∴ 当点E 位于点E′位置时，线段CE 取得最小值，
∵ AB =4，
∴ OA =OB =OE′=2，
∵ BC =6， ∴ OC =√BC 2+OB 2=√62+22=2√10，
则CE′=OC−OE′=2√10−2.
故答案为：2√10−2.
18.
【答案】
12
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
根据题意可以设出点A的坐标，从而可以表示出点B的坐标，然后根据三角形的相似即可解答本题．
【解答】
设点A的坐标为(a, 4
a )，则点B的坐标为(ak
4
, 4
a
)，
∵AB // x轴，AC＝2CD，∴∠BAC＝∠ODC，
∵∠ACB＝∠DCO，
∴△ACB∽△DCO，
∴AB
OD =AC
DC
，
∴AB
OD =2
1
，
∵OD＝a，则AB＝2a，
∴点B的横坐标是3a，
∴3a=ak
4
，
解得，k＝12，
三、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）
19.
【答案】
(2−x−1
x+1
)÷
x2+6x+9
x2−1
=2(x+1)−(x−1)
x+1
⋅
(x+1)(x−1)
(x+3)2
=2x+2−x+1
1
⋅
x−1
(x+3)2
=x+3
1
⋅
x−1
(x+3)2
=x−1
x+3
，
当x＝2时，原式=2−1
2+3=1
5
；
|√3−2|+20100−(−1
3
)−1+3tan30∘
＝2−√3+1−(−3)+3×√3
3＝2−√3+1+3+√3
＝6．
【考点】
实数的运算
特殊角的三角函数值
分式的化简求值
零指数幂
零指数幂、负整数指数幂
【解析】
（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题；
（2）根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题．【解答】
(2−x−1
x+1
)÷
x2+6x+9
x2−1
=2(x+1)−(x−1)
x+1
⋅
(x+1)(x−1)
(x+3)2
=2x+2−x+1
1
⋅
x−1
(x+3)2
=x+3
1
⋅
x−1
(x+3)2
=x−1
x+3
，
当x＝2时，原式=2−1
2+3=1
5
；
|√3−2|+20100−(−1
3
)−1+3tan30∘
＝2−√3+1−(−3)+3×√3
3
＝2−√3+1+3+√3
＝6．
20.
【答案】
x2−8x+1＝0
x2−8x＝−1，
x2−8x+16＝−1+16，即(x−4)2＝15，∴∴x−4＝±√15，
∴x1＝4+√15，x2＝4−√15；
去分母得，x(x+3)−3＝x2−9，
去括号得，x2+3x−3＝x2−9，
移项、合并同类项得，3x＝−6，
系数化为1得，x＝−2，
经检验，x＝−2是原方程的根；
{
x−3
2
+3≥x
1−3(x−1)<8−x
，
由①x≤3；由②x>−2；
∴原不等式组的解是−2<x≤3．
【考点】
解分式方程
解一元二次方程-配方法
解一元一次不等式组
【解析】
（1）把1移到等号的右边，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解；（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤求出x的值，再把x 的值代入原分式方程的公分母中进行检验；
（3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】
x2−8x+1＝0
x2−8x＝−1，
x2−8x+16＝−1+16，即(x−4)2＝15，
∴∴x−4＝±√15，
∴x1＝4+√15，x2＝4−√15；
去分母得，x(x+3)−3＝x2−9，
去括号得，x2+3x−3＝x2−9，
移项、合并同类项得，3x＝−6，
系数化为1得，x＝−2，
经检验，x＝−2是原方程的根；
{
x−3
2
+3≥x
1−3(x−1)<8−x
，
由①x≤3；
由②x>−2；
∴原不等式组的解是−2<x≤3．
21.
【答案】
60÷10%＝600（人）
答：本次参加抽样调查的居民由600人；
600−180−60−240＝120，120÷600×100%＝20%，100%−10%−40%−20%＝30%
补全统计图如图所示：
8000×40%＝3200（人）
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
如图：
P（C粽）=3
12=1
4
．
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
（1）利用频数÷百分比＝总数，求得总人数；
（2）根据条形统计图先求得C类型的人数，然后根据百分比＝频数÷总数，求得百分比，从而可补全统计图；
（3）用居民区的总人数×40%即可；
（4）首先画出树状图，然后求得所有的情况以及他第二个恰好吃到的是C粽的情况，然后利用概率公式计算即可．
【解答】
60÷10%＝600（人）
答：本次参加抽样调查的居民由600人；
600−180−60−240＝120，120÷600×100%＝20%，100%−10%−40%−20%＝30%
补全统计图如图所示：
8000×40%＝3200（人）
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
如图：
P（C粽）=3
12=1
4
．
22.
【答案】
解：(1)设11，12两月平均每月降价的百分率是x，
则11月份的成交价是14000−14000x=14000(1−x)，
12月份的成交价是
14000(1−x)−14000(1−x)x=14000(1−x)(1−x)=14000(1−x)2，
∴14000(1−x)2=11340，
∴(1−x)2=0.81，
∴x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：11，12两月平均每月降价的百分率是10%；
(2)不会跌破10000元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为：11340(1−x)2=11340×0.81=9184.5<10000．
由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m2．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为14000(1−x)，12月份的房价为14000(1−x)2，然后根据12月份的11340元/m2即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出今年2月份商品房成交均价，然后和10000元/m2进行比较即可作出判断．
【解答】
解：(1)设11，12两月平均每月降价的百分率是x，
则11月份的成交价是14000−14000x=14000(1−x)，
12月份的成交价是
14000(1−x)−14000(1−x)x=14000(1−x)(1−x)=14000(1−x)2，
∴14000(1−x)2=11340，
∴(1−x)2=0.81，
∴x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：11，12两月平均每月降价的百分率是10%；
(2)不会跌破10000元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为：11340(1−x)2=11340×0.81=9184.5<10000．
由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m2．
23.
【答案】
作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ＝30∘．
AP
则AQ=1
2
∵AP＝20×10＝200
∴AQ＝100
∴PQ=√AP2−AQ2=100√3，
，
在Rt△BPQ中，sin B=BQ
BP
∴PB＝100√3÷0.60≈288米
∴此时，小亮与妈妈相距288米．
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ＝30∘．解直角三角形求出PB即可；
【解答】
作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ＝30∘．
AP
则AQ=1
2
∵AP＝20×10＝200
∴AQ＝100
∴PQ=√AP2−AQ2=100√3，
，
在Rt△BPQ中，sin B=BQ
BP
∴PB＝100√3÷0.60≈288米
∴此时，小亮与妈妈相距288米．
24.
【答案】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60∘，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60∘，
∵∠ADE＝60∘，
∴∠ADB＝∠BDE+60∘，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB．
【考点】
等边三角形的性质
相似三角形的判定
【解析】
依据△ABC是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60∘，再根据∠CAD＝∠BDE，即可判定△ADC∽△DEB．
【解答】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60∘，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60∘，∵∠ADE＝60∘，
∴∠ADB＝∠BDE+60∘，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB．
25.
【答案】
如图，连接OE，
∵FG＝EG，
∴∠GEF＝∠GFE＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵CD⊥AB，
∴∠AFH+∠FAH＝90∘，
∴∠GEF+∠AEO＝90∘，
∴∠GEO＝90∘，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线；
连接OC，设⊙O的半径为r，
∵AH＝3、CH＝4，
∴OH＝r−3，OC＝r，
则(r−3)2+42＝r2，
解得：r=25
6
，
∵GM // AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴AH
EM =HC
OE
，即3
EM
=425
6
，
解得：EM=25
8
．
【考点】
切线的判定与性质
勾股定理
垂径定理
【解析】
（1）连接OE，由FG＝EG得∠GEF＝∠GFE＝∠AFH，由OA＝OE知∠OAE＝∠OEA，根
据CD⊥AB得∠AFH+∠FAH＝90∘，从而得出∠GEF+∠AEO＝90∘，即可得证；（2）连接OC，设OA＝OC＝r，再Rt△OHC中利用勾股定理求得r=25
6
，再证△
AHC∽△MEO得AH
EM =HC
OE
，据此求解可得．
【解答】
如图，连接OE，
∵FG＝EG，
∴∠GEF＝∠GFE＝∠AFH，∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵CD⊥AB，
∴∠AFH+∠FAH＝90∘，∴∠GEF+∠AEO＝90∘，∴∠GEO＝90∘，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线；
连接OC，设⊙O的半径为r，∵AH＝3、CH＝4，
∴OH＝r−3，OC＝r，
则(r−3)2+42＝r2，
解得：r=25
6
，
∵GM // AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴AH
EM =HC
OE
，即3
EM
=425
6
，
解得：EM=25
8
．
26.
【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=CO.
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
在△BOE和△DOF中，
{
OB=OD,∠BOE=∠DOF, OE=OF,
∴△BOE≅△DOF(SAS).
(2)解：矩形.
∵BO=DO，OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
∵BD=EF，
∴平行四边形BEDF是矩形．
【考点】
全等三角形的性质与判定
矩形的判定
平行四边形的判定
平行四边形的性质
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得出BO＝DO，AO＝OC，求出OE＝OF，根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）根先推出四边形EBFD是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可．
【解答】
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO.
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
即：OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
{
OB=OD,∠BOE=∠DOF, OE=OF,
∴△BOE≅△DOF(SAS). (2)解：矩形.
∵BO=DO，OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴ 平行四边形BEDF 是矩形．
27.
【答案】
解：(1)∵ 线段OB 的长是方程x 2−2x −8=0的解，
∴ OB =4，
在Rt △AOB 中，tan ∠BAO =OB OA =12，
∴ OA =8，
∴ A(−8, 0)．
(2)∵ EC ⊥AB ，
∴ ∠ACD =∠AOB =∠DOE =90∘，
∴ ∠OAB +∠ADC =90∘，∠DEO +∠ODE =90∘，
∵ ∠ADC =∠ODE ，
∴ ∠OAB =∠DEO ，
∴ △AOB ∼△EOD ，
∴ OA OE =OB OD ，
∴ OE:OD =OA:OB =2，
设OD =m ，则OE =2m ，
∵ 12⋅m ⋅2m =16，
∴ m =4或−4（舍弃），
∴ D(−4, 0)，E(0, −8)，
∴ 直线DE 的解析式为y =−2x −8，
∵ A(−8, 0)，B(0, 4)，
∴ 直线AB 的解析式为y =12x +4， 由{y =−2x −8,y =12x +4, 解得{x =−245,y =85, ∴ C(−245, 85)，
∵ 若反比例函数y =k x 的图象经过点C ，
∴ k =−19225．
(3)如图1中，当四边形MNPQ 是矩形时，
∵OD=OB=4，
∴∠OBD=∠ODB=45∘，
∴∠PNB=∠ONM=45∘，
∴OM=DM=ON=2，
∴BN=2，PB=PN=√2，
∴P(−1, 3)．
如图2中，当四边形MNPQ是矩形时（点N与原点重合），
易证△DMQ是等腰直角三角形，OP=MQ=DM=2，P(0, 2)；如图3中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，
易知直线BD的解析式为y=x+4，
则易得R(−1, 3)，可得P(0, 6)；
如图4中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交y轴于R，
易知PR=MR，可得P(2, 6)．
综上所述，满足条件的点P坐标为(−1, 3)或(0, 2)或(0, 6)或(2, 6).
【考点】
相似三角形的性质与判定
一次函数的综合题
一次函数图象上点的坐标特点
解直角三角形
一元二次方程的解
矩形的判定
待定系数法求反比例函数解析式
【解析】
（1）解方程求出OB 的长，解直角三角形求出OA 即可解决问题；
（2）求出直线DE 、AB 的解析式，构建方程组求出点C 坐标即可；
（3）分四种情形分别求解即可解决问题；
【解答】
解：(1)∵ 线段OB 的长是方程x 2−2x −8=0的解，
∴ OB =4，
在Rt △AOB 中，tan ∠BAO =OB OA =12，
∴ OA =8，
∴ A(−8, 0)．
(2)∵ EC ⊥AB ，
∴ ∠ACD =∠AOB =∠DOE =90∘，
∴ ∠OAB +∠ADC =90∘，∠DEO +∠ODE =90∘，
∵ ∠ADC =∠ODE ，
∴ ∠OAB =∠DEO ，
∴ △AOB ∼△EOD ，
∴ OA OE =OB OD ，
∴ OE:OD =OA:OB =2，
设OD =m ，则OE =2m ，
∵ 12⋅m ⋅2m =16，
∴ m =4或−4（舍弃），
∴ D(−4, 0)，E(0, −8)，
∴ 直线DE 的解析式为y =−2x −8，
∵ A(−8, 0)，B(0, 4)，
∴ 直线AB 的解析式为y =12x +4，
由{y =−2x −8,y =12x +4, 解得{x =−245,
y =85, ∴ C(−245, 85)，
∵ 若反比例函数y =k x 的图象经过点C ，
∴k=−192
．
25
(3)如图1中，当四边形MNPQ是矩形时，
∵OD=OB=4，
∴∠OBD=∠ODB=45∘，
∴∠PNB=∠ONM=45∘，
∴OM=DM=ON=2，
∴BN=2，PB=PN=√2，
∴P(−1, 3)．
如图2中，当四边形MNPQ是矩形时（点N与原点重合），
易证△DMQ是等腰直角三角形，OP=MQ=DM=2，P(0, 2)；如图3中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，
易知直线BD的解析式为y=x+4，
则易得R(−1, 3)，可得P(0, 6)；
如图4中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交y轴于R，
易知PR=MR，可得P(2, 6)．
综上所述，满足条件的点P坐标为(−1, 3)或(0, 2)或(0, 6)或(2, 6).
28.
【答案】
(3
2
, 0),(−1, 0)
如图②中，由题意∠M′CN＝∠NCB，
∵MN // OM′，
∴∠M′CN＝∠CNM，
∴MN＝CM，
∵直线BC解析式为y=−3
4
x+3，
∴M(m，−3
4
m+
，N(m, −3
4m2+9
4
m+(1)，作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=FM
MC =BO
BC
，
∴m
CM =4
5
，
∴CM=5
4
m，
①当N在直线BC上方时，−3
4x2+9
4
x+3−(−3
4
x+(2)=5
4
m，
解得：m=7
3
或0（舍弃），
∴Q1(7
3
, 0)．
②当N在直线BC下方时，(−3
4m+(3)−(−3
4
m2+9
4
m+(4)=5
4
m，
解得m=17
3
或0（舍弃），
∴Q2(17
3
, 0)，
综上所述：点Q坐标为(7
3, 0)或(17
3
, 0)．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y＝0，解方程即可求出点A坐标．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC=
DE BD =OC
OB
，列出方程即可解决．
（3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决．
【解答】
（1）∵对称轴x=−−3a
2a =3
2
，
∴点E坐标(3
2
, 0)，
令y＝0，则有ax2−3ax−4a＝0，∴x＝−1或4，
∴点A坐标(−1, 0)．。